曹經(jīng)富

三角形是幾何中最重要的知識(shí)，熟練掌握三角形的概念、性質(zhì)、定理，領(lǐng)會(huì)三角形涉及的數(shù)學(xué)思想方法，是繼續(xù)學(xué)習(xí)多邊形的必要前提。下面給同學(xué)們介紹與三角形有關(guān)的計(jì)算與探究問題。

一、與三角形邊有關(guān)的計(jì)算

例1 小紅準(zhǔn)備用一段長56米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的菜地。已知第一條邊長為ɑ米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多4米。

（1）請(qǐng)用ɑ表示第三條邊長；

（2）請(qǐng)問第一條邊長可以為12米嗎？請(qǐng)說明理由；

（3）能否使得圍成的菜地是等腰三角形？若能，說明你的圍法；若不能，請(qǐng)說明理由。

解析 （1）已知第一條邊為ɑ，由題意得第二條邊長為2ɑ+4，

第三條邊長為56-ɑ-（2ɑ+4）=52-3ɑ。

（2）不可以是12。

理由：因?yàn)楱?12時(shí)，另兩邊長為：2ɑ+4=28，52-3ɑ=16，又因?yàn)?2+16=28，不滿足三角形三邊之間的關(guān)系，所以不能構(gòu)成三角形。

（3）能圍成等腰三角形。

當(dāng)ɑ=2ɑ+4時(shí)，不符合實(shí)際，不存在；

當(dāng)ɑ=52-3ɑ時(shí)，解得ɑ=13，

三邊為13、13、30，不滿足三邊之間的關(guān)系，故不存在；

當(dāng)2ɑ+4=52-3ɑ時(shí)，解得ɑ=，

三邊為、、，滿足三邊之間的關(guān)系，故存在。

二、與三角形內(nèi)角有關(guān)的計(jì)算

例2 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E。

（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論無需證明。

解析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理：∠B=35°，∠ACB=85°，求得∠BAC=60°，再根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC=30°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC=65°，進(jìn)一步求得∠E=25°；

（2）中，根據(jù)第（1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系：

∠E=（∠ACB-∠B）或∠E=（∠B-∠ACB）。

三、 與三角形外角有關(guān)的計(jì)算

例3 如圖，把△ABC的紙片沿著DE折疊。

（1）若點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部點(diǎn)A′的位置（如圖2），且∠1=40°，∠2=24°，求∠A′的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部（BE的上方）點(diǎn)A′的位置（如圖3），則∠A′與∠1、∠2有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明你的理由；

（3）若點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部（CD的下方）點(diǎn)A′的位置（如圖4），則∠A′與∠1、∠2又有怎樣的關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論。

解析 如圖2，（1）連接AA′，因?yàn)椤?=40°，∠2=24°，所以2∠A′=64°，∠A′=32°；

（2）如圖3，連接AA′，因?yàn)椤?=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，所以∠2-∠1=2∠A′；

（3）如圖4，連接AA′，則∠1-∠2=2∠A′。

四、與三角形內(nèi)角有關(guān)的探究題

例4 （1）如圖5，已知△ABC中，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，且BO、CO相交于點(diǎn)O，試探索∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

（2）如圖6，已知BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，BO、CO相交于O，試探索∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

解析 （1）∠BOC=90°+∠A。理由如下：延長BO交AC于點(diǎn)D，

因?yàn)锽O、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，所以∠A+2∠1+2∠2=180°，

∠BDC=∠A+∠1，∠BOC=∠BDC+∠2，

所以∠BOC=∠A+∠1+∠2=90°+∠A。

（2）∠BOC=90°-∠A。理由如下：

因?yàn)锽O、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，所以∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，所以

2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，

又因?yàn)椤?+∠2+∠BOC=180°，所以2∠BOC=180°-∠A，

即∠BOC=90°-∠A。