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        繼承和構(gòu)造思想在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

        2013-04-29 21:17:19蘇旭景
        學(xué)周刊·下旬刊 2013年9期
        關(guān)鍵詞:增函數(shù)小題導(dǎo)數(shù)

        蘇旭景

        “導(dǎo)數(shù)”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一,是高中數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分,高考每年必考,而且在解答題中一定出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)素養(yǎng)、提升學(xué)生解題能力和創(chuàng)新精神中發(fā)揮著重要作用。導(dǎo)數(shù)是整套試題的制高點(diǎn)和難點(diǎn),有些同學(xué)談導(dǎo)數(shù)色變,覺得它高不可攀,敬而遠(yuǎn)之,致使一些分?jǐn)?shù)眼睜睜的拿不到手,無可奈何。面對導(dǎo)數(shù)問題如何多得分?jǐn)?shù),掌握靈活、實(shí)用的解題方法和策略是學(xué)好導(dǎo)數(shù)知識的關(guān)鍵,本文談?wù)劺^承和構(gòu)造思想在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用,希望能夠?qū)Υ蠹矣兴鶈⑹尽?/p>

        一般來講,一道導(dǎo)數(shù)解答題中會設(shè)計(jì)2至3個小題,在解決后續(xù)問題時,往往需要用到前一小題既得的結(jié)論才能使得問題得以解決,這就是所謂的繼承思想。

        例如:已知函數(shù)f(x)=2x2,g(x)=alnx(a>0),且不等式f(x)≥g(x)恒成立。

        (1)求a的取值范圍;

        (2)求證:■+■+…+■<■(其中e為無理數(shù),約為2.71828)。

        [思考流程] (條件)函數(shù)解析式→ (目標(biāo))一個是不等式恒成立、一個是證明不等式 →(方法)構(gòu)造函數(shù),然后使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得出參數(shù)范圍和所證不等式。

        解:(1)令F(x)=f(x)-g(x)=2x■-alnx,

        F′(x)=4x-■,

        令F′(x)=0,得x=■,所以F(x)的減區(qū)間為■,增區(qū)間為■,

        F(x)■=F(x)■=F(■)=■-aln■,

        只要■-aln■≥0即可,得a≤4e

        又a>0,∴a的取值范圍為(0,4e]。

        [思考流程] (條件)函數(shù)解析式→(目標(biāo))一個是不等式恒成立、一個是證明不等式→(方法)構(gòu)造新函數(shù),然后使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得出參數(shù)范圍,繼承(1)所得結(jié)論證明不等式。

        (2)證明:由(1)得2x■≥4elnx,即■≤■,

        所以■+■+…+■≤■(■+■+…+■)

        <■(■+■+…+■)<■

        本題通過導(dǎo)數(shù)研究不等式,達(dá)到求參數(shù)取值范圍,證明不等式的目的,其基本思想是構(gòu)造出函數(shù),通過對構(gòu)造函數(shù)性質(zhì)(極值,最值)的研究,得一關(guān)于參數(shù)恒成立的不等式,最后求出參數(shù)的取值范圍。

        尤其第(2)問的證明繼承了第(1)問的結(jié)果可以輕松得證。

        再如:已知函數(shù)f(x)=lnx+■

        (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍。

        (2)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)在■,2上的最大值和最小值;

        (3)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n>1,不等ln n>■+■+■+…■式都成立。

        解:(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞)

        f′(x)=■,a>0

        f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)

        ∴當(dāng)時x∈[1+∞),f′(x)=■a≥0即a≥■恒成立。

        ∵當(dāng)時x∈[1+∞),■的最大值為1∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)。

        (2)當(dāng)a=1時,由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)。

        ∴當(dāng)x∈[■,1)時,f′(x)<0即f(x)在區(qū)間[■,1)上是減函數(shù)

        當(dāng)x∈[1,2]時,f′(x)>0即f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)

        又f(■)-f(2)=1-ln2-(ln2-■)=■-2ln2=■>0

        ∴f(■)>f(2)

        ∴f(x)在[■,2]上的最小值為f(1)=0,最大值為f(■)=1-ln2。

        (3)當(dāng)a=1時,由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)。

        ∴當(dāng)x∈[1+∞)時,f(x)>f(1)=0

        即lnx+■>0即lnx>■

        令■=■,n>1則x=■>1 ∴l(xiāng)n■>■

        ∴l(xiāng)n■+ln■+ln■+ln■>■+■+■+…+■

        ∴l(xiāng)n n>■+■+■+…+■

        ∴對任意的正整數(shù)n>1,不等式ln n>■+■+■+…+■都成立。

        本題在解決第(2)小題時,注意觀察a=1時適用于(1)的結(jié)論,所以繼承第(1)的結(jié)論,f(x)在[■,2]上單調(diào)性直接可得,進(jìn)而f(x)在上的最值得解。

        在解決第(3)小題時,注意觀察a=1時適用于(1)的結(jié)論,所以繼承第(1)的結(jié)論,構(gòu)造與求證式相近的形式,通過對構(gòu)造形式進(jìn)行賦值,得證恒成立的不等式。

        通過以上兩例體現(xiàn)繼承和構(gòu)造思想在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用,所以在解決類似問題時,要有繼承上一問題結(jié)論的意識,樹立構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造形式的意識,達(dá)到盡最大可能多得分?jǐn)?shù)的目的。

        【責(zé)編 閆 祥】

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