韓擁軍

1 泛函微分方程的發(fā)展概論

1.1 泛函微分方程的概論和發(fā)展

除了理想情形,只要是具有反饋的動力系統(tǒng)均會出現(xiàn)滯后現(xiàn)象,如果采用傳統(tǒng)的常微分方程對一些物理系統(tǒng)進(jìn)行描述只會形成近似的情況,且還存在了一定的條件,在這種情況下就需要考慮含帶滯后量的微分方程,比如一些具有滯后量的積分微分方程、一些存在相對復(fù)雜的偏差變元的微分方程和微分差分方程等。泛函微分方程是以上一類方程的抽象和概括。

最早的泛函微分方程是L.歐拉所提的幾何問題,求一條和曲線的漸縮線相似的曲線,這樣的一條曲線就滿足了特殊的泛函微分方程。20世紀(jì)40年代的時候,主要研究的是微分差方程解析解,在50年代,開始轉(zhuǎn)變?yōu)樘接懫浞€(wěn)定性的研究,在H.H.克拉索夫斯基于函數(shù)空間內(nèi)建立了解映射開始,滯后型泛函微分方程被確立。1978年之后加藤敏夫和赫爾共同奠立了泛函微分方程(具有無窮滯后性的)。

1.2 泛函微分方程的定理

x′(t)+[1+x(t)]F(t,[x(·)]α)=0，t≥0,α≥1 (1)的零解全局吸引性進(jìn)行了分析。

在式(1)中,[0,∞]×Ct上的連續(xù)泛函為F(t,φ),x(·) 和t在[g(t),t]上的數(shù)值是F唯一依賴的數(shù)值,且x(t)的右導(dǎo)數(shù)由X'(t)來表示。F(t,0)≡0,t≥0。它們還要滿足式(2):

-a(t)Mt(-φ)≤F(t,φ)a(t)Mt(φ),

t≥0,φ∈Ct

(2)

式(2)中的Mt(φ)=max{0,sups∈[g(t,t)]φ(s)},a∈C([0,∞],(0,∞))。如果讓a=-g(0),那么式(1)的相應(yīng)初始條件即:

x(t)=φ(t),t∈[-a,0]

(3)

式(3)中的φ∈C([-a,0],[-1,∞)),并且φ(0)>-1,可以證明以下定理:

F(t,φ)≥ηa(t)和F(t,-φ)≥ηa(t)

(4)

在泛函微分方程式(1)中包含了多種生態(tài)數(shù)學(xué)模型,而下述的廣義時滯Logistic型泛函微分方程式(5)

x′(t)+a(t)[1-x(t)][x(g(t))]α=0,t≥0

(5)

其中在α≥1的情況下,是兩個正奇數(shù)的比,a(t)和g(t)同前,我們可以發(fā)現(xiàn),在式(5)中,F(t,φ)=a(t)[φ(·)]α難以滿足式(2)的條件,所以定理1并不適用于式(5)。Li G[2]和王志成[3]等對式(5)解的非振動性和振動性等進(jìn)行了研究,Chen[4]等對式(5)基于初始條件式(3)狀況下的零解全局性進(jìn)行了研究,并證明了以下定理2和定理3,如下:

(6)

本文研究的主要目的就是將條件(7)進(jìn)行改善,保證方程更具一般性,當(dāng)出現(xiàn)如下包含式(1)和式(5)的泛函微分方程式(8)

x′(t)+[1+x(t)]F(t,[x(·)]α)=0,t≥0

(8)

的狀況下,α同式(1),F(t,φ)同式(1)。獲得如下結(jié)論:

(9)

其中式(9)中的δ0為超越方程x+e-x=1-ln2的根,則式(8)和式(3)的各解趨近于零。

若在方程式(5)中應(yīng)用上述的定理1.1,那么條件(7)將會被比它更弱的條件(9)所取代。

2 泛函微分方程的基本引理

為了證明定理4,下面將相關(guān)的幾個引理羅列如下.

引理1 如果式(2)成立,那么初值問題式(8)和式(3)的解x(t;0,φ)是存在的[5],在[0,∞)上,此解還滿足x(t;0,φ)>-1,t≥0。

(10)

成立，那么初值問題式(8)和式(3)的解x(t)=x(t;0,φ)滿足

-1+exp[-M(eM-1)α]

引理4 不等式組

在區(qū)域{(x,y)：0≤x<1,y≥0}內(nèi)僅有唯一的一個解[6],即x=y=0。

3 泛函微分方程的定理證明

現(xiàn)在，我們來證明定理4。

假定x(t)=x(t;0,φ)為式(8)和式(3)的解,依據(jù)引理1可知,x(t)是存在的,在[0,∞)上,而且還滿足了x(t)>-1,t≥0的條件,可證明

(11)

依據(jù)引理2可知,如果x(t)是非振動性,那么式(3)是成立的,所以,只需假設(shè)x(t)為振動，使

(12)

依據(jù)引理3可知,υ的取值范圍在0-1之間,u的取值范圍在0和∞之間[7],對任意0<ε<1-υ,依據(jù)式(9)和式(12)可知存在t0=t0(ε)>0,保證式(13)和式(14)成立:

(13)

-υ1≡-υ-ε

(14)

x'(t)/[1+x(t)]≤a(t)υ1,t≥t0

(15)

(16)

如果在ξn≤t≤Pn的情況下,依據(jù)上式(16)和式(2)可知

由此可得

x'(t)/[1+x(t)]≤min{a(t)υ1,a(t)

其中ξn≤t≤Pn。

4 結(jié)束語

泛函微分方程應(yīng)用在多個領(lǐng)域,如自動控制理論、醫(yī)學(xué)問題、經(jīng)濟(jì)問題、生物學(xué)問題、人口理論等,因此研究泛函微分方程的意義重大,可在眾多領(lǐng)域中更好的發(fā)揮作用。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 庾建設(shè).一類泛函微分方程零解的全局吸引性及應(yīng)用[J].中國科學(xué)，1996，26(1):23-33．

[2] Li G.Oscillation Behavior of Solutions to a Generalized Nonautonomous Delay Logistic Equation[J].Ann.of Diff. Eqs.,1991(7):432-438．

[3] 王志成,庾建設(shè),黃立宏.時滯Logistic方程非振動解的存在性[J].高中應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1992，7(4):517-524．

[4] Chen M P, Yu J S, Zeng D G, Li J W. Global Attractivity in a Generalized Nonautonomous Delay Logistic Equation. Bulletin of Institute of Mathematics Academia Sinica,1994,22(2):91-99．

[5] 王永民．一類四階泛函微分方程解的全局漸近穩(wěn)定性[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2007．

[6] 唐先華,周英告．一類非線性泛函微分方程的周期解及全局吸引性[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報中文版.2006.49(4):899-908．

[7] 汪 凱．中立型泛函微分方程周期解的存在性與全局吸引性[D].蕪湖：安徽師范大學(xué)，2007．

[8] Shao Yuanfu.Periodic Solutions and Global Attractivity of Functional Differential Equations with Impulsive and Delays [J]. Journal of Ningxia University(Natural Science Edition)，2011，32(3):217-221．