楊秦男，張延惠* ，蔡祥吉，沈志朋，徐學友

(1.山東師范大學物理與電子科學學院，山東 濟南 250014;2.山東省科學院情報研究所，山東 濟南 250014)

混沌體系區(qū)別于經(jīng)典周期體系，由于對初始條件的敏感依賴性，其內(nèi)部結構是無限精細的，即存在著無限復雜性。自相似性是指混沌體系內(nèi)部存在局部形態(tài)與整體相似的結構，是混沌體系非線性行為中的重要規(guī)律。伴隨混沌及其分形理論的發(fā)展，越來越多的混沌體系被發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部存在著分形自相似結構。Hansen等［1］研究了彈道軌跡從一個開放花瓶狀腔中的逃逸，在最終的逃逸－時間圖像中得到了“韻律分形”的自相似結構。Suhan Ree等人［2］研究了粒子在開放的切圓臺球體系中的傳輸特性，記錄了粒子出射窗口與其入射角的函數(shù)關系，并發(fā)現(xiàn)了其曲線中的分形自相似結構。我們研究小組對粒子在開放Sinai臺球中輸運過程的研究中也發(fā)現(xiàn)了其中存在的自相似結構［3－4］。以上研究表明自相似性及其結構在混沌體系中是廣泛存在的，為分形自相似的進一步研究提供了理論基礎。

在本文研究的RIKEN介觀器件中，粒子的逃逸曲線存在混沌性質(zhì)以及很好的自相似性。由于混沌體系的非周期性難以定量直觀表述，而其中的自相似結構便于數(shù)值化表征以及定量分析，因而通過自相似結構對其混沌體系進行定量分析及表征成為一種好的手段。基于逃逸曲線中自相似結構的標度不變性［5］，其相似比隨器件參數(shù)的變化規(guī)律，以及相似比與逃逸曲線混沌性質(zhì)的關系等性質(zhì)更易于研究。

1 粒子在RIKEN器件中的混沌逃逸

圖1為本文采用的RIKEN介觀器件的電鏡掃描圖，由于器件底部兩個開口的尺度小于入射粒子尺度，因此粒子輸運過程中無法通過，兩開口可近似視為勢壘。器件理論模型如圖2所示，二維器件腔可視為無限深勢阱，直線和底部圓弧為勢壘，粒子在腔內(nèi)與器件壁的碰撞視為完全彈性碰撞且運動軌跡遵從反射定律［6］。定義器件腔長為圖2中頂端到底端的距離，本文以下的討論主要基于器件腔長的變化來分析相似比及混沌性質(zhì)的變化;粒子的入射角度如圖2標注所示。粒子從器件左側開口入射，當粒子到達器件兩側開口的任意位置時逃逸器件腔。由于粒子在器件腔中逃逸性質(zhì)對粒子入射的初始位置依賴很弱，因此在以下的研究中我們均默認入射位置為左側開口的中央。

由于底部圓弧區(qū)域的存在，當入射角存在微小差異的兩個粒子射到圓弧上時，它們反射軌跡的夾角及距離會進一步增大，從而導致了粒子逃逸前碰撞次數(shù)的明顯差異(如圖2實虛兩條逃逸軌跡所示)。統(tǒng)計不同入射角度下的碰撞次數(shù)，得到如圖3示的粒子逃逸器件腔前碰撞次數(shù)隨入射角的變化曲線(以下簡稱為逃逸曲線)，由于碰撞次數(shù)大于60次的點較少，同時為方便研究曲線的混沌性質(zhì)，因此逃逸曲線的碰撞次數(shù)只取到60次。可以看到圖中有若干黑帶區(qū)域，這是由逃逸前粒子的碰撞次數(shù)隨入射角劇烈變化形成的。黑帶區(qū)域的集合為混沌吸引子［7］，黑帶交錯分布產(chǎn)生混沌，該逃逸過程亦稱之為“混沌逃逸”［1］。

由于標度不變性的存在，混沌逃逸曲線中自相似圖形得以出現(xiàn)，其局部形態(tài)與整體(指定區(qū)域)形態(tài)相似。同時這種自相似性存在于一定標尺(尺度)范圍內(nèi)，其兩端受到某種特征尺度的限制。具有自相似性的范圍叫做無標度區(qū)［4］，自相似圖形所謂的“整體”就是指無標度區(qū)，而非整條混沌逃逸曲線。經(jīng)反復研究發(fā)現(xiàn):圖3中的虛線框所示區(qū)間為該混沌逃逸曲線中自相似性所存在的無標度區(qū)，超越這個區(qū)域雖然仍存在混沌，但是自相似性不復存在。

2 相似比的恒定性探究

在無標度區(qū)內(nèi)，混沌體系的自相似性得到很好的體現(xiàn)，圖4、圖5為在無標度區(qū)內(nèi)發(fā)現(xiàn)的兩組不同的自相似結構。可以看到在每種自相似結構中，不同相似級之間混沌吸引子的分布區(qū)間是一致的，每個相似級都是上一相似級局部放大后的再現(xiàn)。在每個相似級上，放大區(qū)域的位置以及放大倍數(shù)也是基本一致的。這說明混沌體系的自相似性不僅存在于逃逸曲線的形態(tài)上，在標度空間及放大尺度上也存在。

為定量研究自相似結構各級標度區(qū)域間的關系，定義第n個相似級區(qū)間長度為Ln，相鄰兩個相似級之間關系定義為對于不相鄰的兩個相似級定義β=。β即為自相似結構的相似比，如果已知第n個相似級區(qū)間長度，則第m個相似級區(qū)間長度為Lm=Lnβ(m－n)。以上關系成立的條件是每組自相似結構中的相似比β為一個恒定值。

將圖4、圖5的兩組自相似結構進行統(tǒng)計，得到表1。可以看到在每組自相似結構中相似比β都是趨于穩(wěn)定的，由于統(tǒng)計誤差的存在，β值有小幅度波動。對兩組自相似結構的相似比分別求平均值可以得到更準確的β值:=0.2170=0.2150;同時利用誤差公式 η =×100% 可計算β1與β2的誤差率η =0.926%。

圖4 無標度區(qū)存在的第一種自相似結構Fig.4 The first self-similar structure of a scaling region

圖5 無標度區(qū)存在的第二種自相似結構Fig.5 The second self-similar structure of a scaling region

表1 兩種自相似結構的比較Table 1 Comparisons of two self-similar structures

3 混沌體系的相似比表征

當混沌體系發(fā)生變化時，其內(nèi)部的自相似結構隨之改變，同時自相似性所存在的無標度區(qū)也是不同的。本節(jié)主要探討在RIKEN器件的腔長變化時，逃逸曲線的混沌性質(zhì)和相似比的變化規(guī)律，以及相似比與體系混沌性質(zhì)的關系，以尋找一種新的混沌性質(zhì)的表征方法。

圖6為改變RIKEN器件腔長條件后的粒子逃逸曲線比較，右側為對應的器件腔長，每條逃逸曲線中的虛線框區(qū)域為其自相似結構所存在的無標度區(qū)?？梢钥吹诫S著器件腔長的增加，逃逸曲線中黑帶的比例逐漸增加，自相似性所存在的無標度區(qū)范圍逐漸變窄。

體系的混沌性質(zhì)一般采用分形維數(shù)來定量描述，對于逃逸曲線這類統(tǒng)計混沌曲線，我們使用盒計數(shù)法來計算其分形維數(shù)，亦稱之為豪斯多夫維數(shù)［3，8］。得到的分形維數(shù)隨器件腔長變化曲線如圖7所示，隨著腔長的增加分形維數(shù)呈現(xiàn)增大趨勢，對應逃逸曲線的混沌性質(zhì)也就越強。由于計算誤差的存在，分形維數(shù)在局部呈現(xiàn)一定的波動性。

當器件腔長改變時 ，逃逸曲線的無標度區(qū)范圍及位置隨之改變 ，無標度區(qū)內(nèi)自相似結構的相似比也有所區(qū)別。采用第3節(jié)的方法，結合圖6中各無標度區(qū)的范圍，可以尋找每條逃逸曲線中的自相似結構。由于在同一個無標度區(qū)內(nèi)相似比存在恒定性，所以我們根據(jù)它的任意一組自相似結構均可得到其相似比比值。圖8為腔長在0.50～1.00時各混沌逃逸曲線對應自相似結構的相似比，可以看到，隨著器件腔長的增加相似比數(shù)值單調(diào)減小，同時自相似性所存在的無標度區(qū)范圍逐漸減小。

用分形維數(shù)取代腔長，得到圖9的相似比β-分形維數(shù)Df關系曲線，由于圖7中計算誤差引起的波動性，β-Df曲線也呈現(xiàn)出一定的波動性。將圖7中的曲線做平滑處理(即摒棄計算誤差影響)后，利用不同腔長條件下分形維數(shù)的理論值，得到圖10的β-Df曲線。逃逸曲線的分形維數(shù)Df隨相似比β的增大而逐漸減小，而且在0.50～1.00的腔長區(qū)間內(nèi)二者存在著很好的線性相關性。

綜上可知，在RIKEN器件中隨著腔長的增加，粒子逃逸曲線的混沌性質(zhì)逐漸增強，自相似性存在的無標度區(qū)范圍及相似比的數(shù)值均減小;分形維數(shù)與相似比線性相關，且相似比較容易統(tǒng)計得到，計算過程相對簡單，因此相似比可以代替分形維數(shù)來表征體系的混沌性質(zhì)。

4 結論

(1)通過對RIKEN介觀器件腔中粒子逃逸曲線的研究，發(fā)現(xiàn)了自相似結構及其所存在的無標度區(qū)，證明了同一無標度區(qū)內(nèi)相似比存在恒定性。

(2)隨著器件腔長增加，逃逸曲線的無標度區(qū)范圍減小，無標度區(qū)內(nèi)自相似結構的相似比減小。

(3)逃逸曲線的分形維數(shù)與其相似比線性相關，分形維數(shù)越大相似比越小，體系的混沌性質(zhì)越強。

(4)相似比比分形維數(shù)更容易測量和計算，對于混沌體系的統(tǒng)計規(guī)律以及混沌性質(zhì)的定量表征有重要意義。

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