李娜娜，彭軍

(中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京100095)

0 引言

對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)，一方面是為了掌握系統(tǒng)誤差規(guī)律，建立誤差模型，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的使用精度;另一方面是可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在設(shè)計(jì)和制造中的缺陷，為改進(jìn)系統(tǒng)提供了重要的依據(jù)。一般情況下，慣導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)是在不同頻率的正弦角振動(dòng)激勵(lì)下，通過與標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試臺(tái)的幅頻和相頻特性進(jìn)行對(duì)比來實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)還可以得到系統(tǒng)的靈敏度、帶寬等動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

一些慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出的角速度量值是有限長(zhǎng)數(shù)字序列，所以必須對(duì)數(shù)字序列進(jìn)行估計(jì)，才能得到其相頻和幅頻特性。大部分慣導(dǎo)系統(tǒng)都是均勻采樣的，但是仍有一些是非均勻采樣的。因此本文介紹了兩種在均勻和非均勻采樣狀態(tài)下都適用的估計(jì)算法，給出了慣導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)時(shí)算法選擇的建議，以供探討。

1 曲線估計(jì)算法

1.1 正弦信號(hào)四參數(shù)估計(jì)法

基于最小二乘法的四參數(shù)估計(jì)法是正弦信號(hào)曲線［1］擬合常用的算法。這種算法抗干擾性強(qiáng)、精度高、算法簡(jiǎn)單，適用于對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的曲線擬合。

設(shè)采樣序列在tk時(shí)刻的估計(jì)值為y(k)，則擬合后的信號(hào)可寫為

式中:A0表示正弦信號(hào)幅值;ω0表示信號(hào)角頻率;θ0表示信號(hào)相位;C0表示信號(hào)直流偏移。

式(1)可以寫為

對(duì)比式(1)和式(2)，有

C=C0

采樣序列在tk時(shí)刻的值為y0(k)，那么真實(shí)值和估計(jì)值之間的誤差平方和:

當(dāng)已知或估計(jì)出信號(hào)角頻率ω0后，再利用最小二乘法，使式(3)誤差平方和取最小，那么得到的信號(hào)幅值、相位和直流偏移量就是要估計(jì)的三個(gè)參數(shù)［2］。

正弦信號(hào)頻率估計(jì)的算法有很多，如基于FFT 估計(jì)法、相關(guān)累加法、遺傳算法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，使用最多的就是頻率迭代法?？紤]到慣導(dǎo)系統(tǒng)有均勻采樣和非均勻采樣(即采樣時(shí)間間隔不等)兩種情況，本文利用頻率迭代法和最小二乘法相結(jié)合的方法估計(jì)信號(hào)的四個(gè)參數(shù)，見參數(shù)文獻(xiàn)［3］。為了更精確地得到信號(hào)頻率，對(duì)測(cè)量序列先做DFT 變換，再利用Rife 和Q-Rife 方法估計(jì)信號(hào)的初始頻率［4］。

1.2 直接法

正弦信號(hào)四參數(shù)估計(jì)法在系統(tǒng)均勻采樣時(shí)準(zhǔn)確度很高，但是在非均勻采樣且非均勻程度較大時(shí)，精度就會(huì)下降。另一方面，當(dāng)系統(tǒng)采樣點(diǎn)數(shù)多時(shí)，四參數(shù)估計(jì)法耗時(shí)比較大。因此為了彌補(bǔ)四參數(shù)估計(jì)法的不足，在慣導(dǎo)系統(tǒng)校準(zhǔn)時(shí)也可以采用直接法。直接法也同時(shí)適用于均勻采樣和非均勻采樣。

根據(jù)式(1)，直接法分段求出測(cè)量序列的極值，將各段極值的平均值作為擬合信號(hào)的幅值A(chǔ)0，采樣序列的均值為正弦信號(hào)的直流分量C0，利用相關(guān)相位法求相位差。

以下是相關(guān)相位法求相位差的原理。

假設(shè)原始信號(hào)的采樣序列為x，測(cè)量序列為y，則

當(dāng)不考慮兩信號(hào)延遲量時(shí)，互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)只與它們的相位差φ 有關(guān)，由此就可以求得兩個(gè)信號(hào)的相位差。因此有

當(dāng)τ→0 時(shí)，有

因此

相關(guān)相位法求相位差的前提是必須同時(shí)采集慣導(dǎo)系統(tǒng)輸出信號(hào)和正弦激勵(lì)信號(hào)。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

通過Matlab 工具編寫算法并進(jìn)行仿真:

1)對(duì)同一正弦信號(hào)進(jìn)行采樣和仿真實(shí)驗(yàn)，原始信號(hào)的頻率均為50 Hz，幅值為1，初始相位為0°，信號(hào)中加信噪比為40 dB 的高斯白噪聲。

2)設(shè)定均勻采樣時(shí)刻為tk=kTs，k=0，1，…，N-1。其中，Ts=1/fs，fs為采樣率。

3)設(shè)定非均勻采樣時(shí)刻為tk=tk-1±iTs，k=0，1，2，…，N-1。其中，Ts=1/fs，i為從［1，3］之間隨機(jī)選取的一個(gè)整數(shù)。

4)直接法和四參數(shù)估計(jì)法的采樣時(shí)間均為5 s，這樣采集的正弦信號(hào)周期數(shù)相同，在采樣率低時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)少，采樣率高時(shí)采樣點(diǎn)數(shù)多。

2.1 均勻采樣的仿真實(shí)驗(yàn)

均勻采樣時(shí)，直接法、四參數(shù)估計(jì)法兩種算法的幅值相對(duì)誤差、相位差比較見表1。

表1 均勻采樣50 Hz 正弦信號(hào)時(shí)的估計(jì)結(jié)果(幅值相對(duì)誤差和相位差)

從表1 中可以看出:

1)均勻采樣時(shí)無論每個(gè)周期采樣點(diǎn)數(shù)多或少(在符合采樣定理的條件下)，四參數(shù)估計(jì)法的精度都很高，幅值相對(duì)誤差不超過0.1%，相位差不超過1°，而且估計(jì)的信號(hào)頻率精度很高;

2)直接法每周期采樣點(diǎn)數(shù)在10 個(gè)以下時(shí)，精度不高;采樣點(diǎn)數(shù)越多，精度越高。

在仿真過程中，信號(hào)頻率為50 Hz，采樣時(shí)間為5 s。對(duì)于四參數(shù)估計(jì)法，當(dāng)采樣率為200 Hz 時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)為1000，運(yùn)算時(shí)間為2.27 s;當(dāng)采樣率為1200 Hz 時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)為6000，此時(shí)運(yùn)算時(shí)間為57.11 s。可見，采樣點(diǎn)數(shù)增多，四參數(shù)估計(jì)法的運(yùn)算速度變得很慢。相比之下直接法的運(yùn)算速度很快，無論采樣點(diǎn)數(shù)多少，運(yùn)算時(shí)間都不超過1 s。

慣導(dǎo)系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)時(shí)要受外界環(huán)境噪聲和系統(tǒng)自身噪聲的影響，兩種算法的抗干擾性比較見表2。

表2 均勻采樣50 Hz 正弦信號(hào)時(shí)的估計(jì)結(jié)果(抗干擾性)

從表2 中可以看出，相比直接法，四參數(shù)估計(jì)法的抗干擾性強(qiáng)很多。

2.2 非均勻采樣的仿真

表3 和表4 分別給出非均勻采樣時(shí)，兩種算法幅值相對(duì)誤差、相位差和抗干擾性的比較。

表3 非均勻采樣50 Hz 正弦信號(hào)時(shí)的估計(jì)結(jié)果(幅值相對(duì)誤差和相位差)

由表3 可以看出:

1)由于采樣非均勻性的影響，當(dāng)每周期采樣點(diǎn)數(shù)少時(shí)，四參數(shù)法的擬合失真度較大;如果每周期采樣點(diǎn)數(shù)增加，就可以減弱這種非均勻采樣的影響，可見四參數(shù)估計(jì)法受采樣非均勻程度的影響較大;

2)非均勻采樣對(duì)直接法影響不大，采樣點(diǎn)數(shù)越多，計(jì)算精度越高，同均勻采樣相同，運(yùn)算時(shí)間基本不超過1 s。

表4 非均勻采樣50 Hz 正弦信號(hào)時(shí)的估計(jì)結(jié)果(抗干擾性)

從表4 中可以看出，在非均勻采樣時(shí)四參數(shù)估計(jì)法的抗干擾性較強(qiáng)。

3 實(shí)測(cè)試驗(yàn)

用數(shù)字存儲(chǔ)示波器作為數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，設(shè)定采樣速率為1000 Hz。選用信號(hào)發(fā)生器作為激勵(lì)，激勵(lì)正弦信號(hào)的幅度為1 V，不同頻率下采集5000 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，分別用兩種算法對(duì)采樣數(shù)據(jù)的幅值進(jìn)行估算，結(jié)果見表5。

表5 用數(shù)字存儲(chǔ)示波器采樣數(shù)據(jù)的幅值估計(jì)結(jié)果

從表5 中可以看出，用四參數(shù)估計(jì)法得到的幅值相對(duì)誤差明顯小于直接法的估計(jì)結(jié)果。

4 建議

依據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表6 給出了兩種曲線估計(jì)算法的適用情況。在對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)時(shí)，可根據(jù)校準(zhǔn)要求和實(shí)際校準(zhǔn)情況選擇合適的估計(jì)算法。

表6 慣導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)曲線估計(jì)算法選擇的建議

［1］梁志國，孫璟宇.正弦波模型化測(cè)量方法及應(yīng)用［J］.航空計(jì)測(cè)計(jì)術(shù)，2001，21(6):3-8.

［2］梁志國，張大治，孫璟宇，等.四參數(shù)正弦波曲線擬合的快速算法［J］.計(jì)測(cè)技術(shù)，2006，26(1):4-7.

［3］吳義華，楊俊峰，程敬原，等.正弦信號(hào)四參數(shù)的高精度估計(jì)算法［J］.中國科技技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，36(6):625-629.

［4］胥嘉佳，劉渝，鄧振淼.任意點(diǎn)正弦波信號(hào)頻率估計(jì)的快速算法［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，40(6):794-798.