歷年各地中考壓軸題大都是以某個數(shù)學模型為背景的綜合題目，其綜合難度令許多學生望而卻步.作為一線教師，如果能在教學中選取典型數(shù)學模型，從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，根據(jù)學生的認知發(fā)展規(guī)律，設計以某個數(shù)學模型為主線索的系列題組，對學生進行潛移默化的訓練，使學生能熟練分析、探索、解決以其為背景的相關綜合題目，那么，中考壓軸題的突破絕非難事.

“廣東省初中畢業(yè)生學業(yè)考試”十年來未曾出現(xiàn)“撞桌球問題”（原名為“軸對稱求最短距離”）的考點，故筆者結合本地考試大綱難度要求，選取以此數(shù)學模型為背景的題組設計為例，談談“通過設計以某個數(shù)學模型為主線的變式題組，提高中考壓軸題的解題效率”的教學經驗.

數(shù)學模型變式題組的設計應該就近幾年某數(shù)學模型所出現(xiàn)的題型，結合本地中考的難度、所教學生的程度，按其所涉及的問題，歸為三類題型，題型采用階梯式處理，由易到難，由淺到深，層層遞進，從不同地角度訓練學生掌握數(shù)學模型，并解決與數(shù)學模型為背景的相關問題.

1. 根據(jù)幾何知識問題編制基礎題型

此類題型主要培養(yǎng)學生遇到一個問題時，要善于捕捉問題所蘊含的信息，包括顯性和隱性的，然后進行模式識別，和熟悉的知識模型建立聯(lián)系，從而獲得解題思路的能力.

當我們學習三角形、四邊形、圓等軸對稱圖形時，會遇到大量的以“撞桌球問題”為背景的幾何基礎題目.

例1：如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是________.

例2： 如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上的一動點，則EF+BF的最小值為____.

例3：如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一動點P，則PD+PE的最小值是_______________.

例4：如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，則EM+CM的最小值為_________.

例5：如圖，已知⊙O的直徑CD為4，弧AD所對圓心角的度數(shù)為60°，點B是弧AD的中點，請你在直徑CD找一點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值是_______.

設計意圖：①訓練學生熟練掌握該模型的作圖方法，考慮選擇在圖中作出對稱點或在圖中找到對稱點，找出最短路線.培養(yǎng)學生的動手操作能力，符合考試大綱的要求.②以上例題通過變換問題背景，提高學生快速識別、分析模型，運用模型的性質，結合背景圖形的幾何知識解決問題的能力，不但可深化問題，而且能挖掘知識內容，既鞏固了基礎知識，開拓了解題思路，又提高了學生舉一反三、觸類旁通的能力，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性，為綜合題的解決打下堅實的幾何基礎.

2. 根據(jù)理解運用問題編制閱讀理解題型

近幾年各地中考注重考查學生的閱讀、理解、猜想、歸納、類比、運用等能力，特別是近幾年“廣東省初中畢業(yè)生學業(yè)考試”每年均出現(xiàn)一道閱讀理解的綜合題.故此，對于具有較強典型性和遷移性的數(shù)學模型，我們應當選擇以其為發(fā)生、發(fā)展源泉的閱讀理解題型，培養(yǎng)學生將問題進行拓展、引申與推廣，概括出模型的原理或規(guī)律，將其遷移至類似問題的能力.

“撞桌球問題” 解決原理運用的最好體現(xiàn)是閱讀理解題型.

例6：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.

提示：如圖，可以作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，此時△CDE的周長是最小的.這樣，你只需求出OE的長，就可以確定點E的坐標了.

點評：第（2）小題用軸對稱轉化后，DE+CF的長轉為D'E+CF，根據(jù)原模型的解決原理應將點C平移至D'E所在的直線，使對稱點D'與定點C共線，故將CF平移至EG的位置，使D'E+CF=D'E+GE=D'G.

設計意圖：例6通過閱讀理解的方式，引導學生歸納出數(shù)學模型的解決策略，然后改變問題的背景條件，對結論進行延伸拓展，培養(yǎng)了學生的動手操作能力、對函數(shù)幾何的運用能力、運用問題轉化問題的能力，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識.

3. 根據(jù)數(shù)形結合問題編制綜合題

中考的壓軸題大多是考查學生運用數(shù)形結合思想巧妙地解決函數(shù)問題和幾何運動型問題，注重考查學生的綜合能力和轉化問題的能力.當我們在不同幾何背景中強化某個數(shù)學模型的應用訓練并總結解法后，就要將其運用到綜合題型中，強化學生運用數(shù)形結合思想去探索、解決問題.此時，教師要結合考綱難度，選擇最具代表性的類型對學生進行強化訓練，緊防“滑過”現(xiàn)象.

“撞桌球問題” 根據(jù)考綱的難度，在綜合題中最典型的問題是：在拋物線上構建此模型，將軸對稱問題、全等或相似問題、坐標點問題和函數(shù)問題相結合，考查學生的綜合能力和轉化問題的能力.其難點問題是求點坐標的代數(shù)法和幾何法的選擇.

例7：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）.（1）試求出拋物線的解析式；（2）問：在拋物線的對稱軸上是否存在一個點Q，使得△QAC的周長最小，試求出△QAC的周長的最小值，并求出點Q的坐標.

點評：①利用拋物線的對稱性找最短距離.②求點的坐標有兩個方法：代數(shù)法（聯(lián)立兩個函數(shù)方程）和幾何法（運用幾何知識求點到坐標軸上的垂線段長，一般利用相似或勾股定理）.③利用相似和勾股定理即可求得最短距離.

例8：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點P的坐標為（1，-■x■），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，-■）.（1）求拋物線的表達式.（2）把△ABC繞AB的中點E旋轉180°，得到四邊形ADBC.判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由.（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得△FBD的周長最小？若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

點評：第三小題作出最短距離后，采用逆向思維轉化問題：①考慮選擇用代數(shù)法或幾何法求點的坐標.②作FM⊥y軸于點M，運用數(shù)形結合思想，從軸對稱性及矩形的性質、全等的知識發(fā)現(xiàn)點F是AC的中點.③從解題方法的優(yōu)化角度考慮應選擇幾何法求動點F的坐標.

例9：如圖，拋物線y=

-■x■-■■x+■交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D.（1）求A、B、C的坐標.（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉180°，得到四邊形AEBC：①求E點坐標.②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由.（3）試探索：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由？

點評：逆向思維：①比較代數(shù)法或幾何法，此題應采用代數(shù)法求點P的坐標.②轉化問題：確定直線A'D的表達式→求點A'的坐標→結合RT△AOC的位置，作A'F⊥x軸于點F，結合相似采用幾何法求點A'的坐標.

設計意圖：①根據(jù)學生的認知發(fā)展規(guī)律由易到難，循序漸進地培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合的思想，掌握求點坐標的兩個方法，培養(yǎng)學生對函數(shù)、方程、全等、相似等幾何知識的綜合運用能力.②例8和例9從結論入手，通過問題的層層轉化來指向題設條件，使問題解決簡單化，鍛煉了學生的逆向思維.③著眼于解題方法的優(yōu)化及對比，讓學生更有效地感受數(shù)形結合思想化繁為簡的神奇，提高了學生運用數(shù)形結合思想解決函數(shù)問題的能力，培養(yǎng)了學生思維的靈活性及深刻性.④3個例題集一次函數(shù)、軸對稱、二次函數(shù)等知識于一體，主要培養(yǎng)學生的實踐操作能力、探索能力、想象能力及數(shù)學運用能力，符合考試大綱對綜合題的難度要求.

最后，從深入掌握技能，培養(yǎng)學優(yōu)生的角度來看，以數(shù)學模型為主線的題組設計不能只立足于中考難度，應提供該模型關于質同形異和形同質異的更深一層的問題，培養(yǎng)學生思維的深刻性和創(chuàng)造性.

責任編輯 羅 峰