數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂、精髓. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅要掌握數(shù)學(xué)知識，同時(shí)還要掌握數(shù)學(xué)知識中所隱含的思想方法. 本文試對蘇科版九年級上冊第2章“數(shù)據(jù)的離散程度”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想加以分析，以期對提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有所幫助.

一、 分類討論思想

分類討論思想是對事物分情況加以討論的數(shù)學(xué)思想. 一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，稱為這組數(shù)據(jù)的極差. 反過來，如果知道一組數(shù)據(jù)的極差，那么就需要對這組數(shù)據(jù)的大小情況進(jìn)行討論.

例1 一組數(shù)據(jù)2、-1、4、3、x、5的極差為8，則x的值為_______.

【解析】由于這組數(shù)據(jù)中，沒有明確給出哪個(gè)數(shù)據(jù)是最大值、哪個(gè)數(shù)據(jù)是最小值，因此，需要對未知數(shù)x分情況加以討論. 當(dāng)x為最大值時(shí)，則x-（-1）=8，解得x=7；當(dāng)x為最小值時(shí)，則5-x=-3，解得x=-3. 即本題正確應(yīng)該填：-3或7.

【啟迪】在一組數(shù)據(jù)中，所求的數(shù)據(jù)大小不確定性時(shí)，我們通常需要對這個(gè)數(shù)據(jù)分情況討論解答.

二、 用樣本估計(jì)總體的數(shù)學(xué)思想

用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)基本思想，根據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果作出合理的判斷和預(yù)測. 本章能夠較好地滲透應(yīng)用樣本的平均數(shù)、方差估計(jì)總體的平均數(shù)、方差. 如：課本中多次列舉的質(zhì)檢部門對甲、乙兩廠生產(chǎn)的乒乓球直徑問題，都是從總體中分別抽取10只進(jìn)行測量、檢測，從而確定兩廠生產(chǎn)的乒乓球的直徑與標(biāo)準(zhǔn)的誤差更小.

例2 （2013·茂名）小李和小林練習(xí)射箭，射完10箭后兩人的成績?nèi)鐖D所示，通常新手的成績不太穩(wěn)定. 根據(jù)圖中的信息，估計(jì)這兩人中的新手是________.

【解析】根據(jù)平時(shí)射箭練習(xí)過程的統(tǒng)計(jì)，應(yīng)用樣本的數(shù)據(jù)結(jié)論估計(jì)總體的數(shù)據(jù)結(jié)論是新手射擊的成績不太穩(wěn)定. 從小李和小林練習(xí)射箭射完10箭后兩人成績的統(tǒng)計(jì)圖來看，小李的成績沒有小林穩(wěn)定，這樣我們可以應(yīng)用樣本的整體趨勢來估計(jì)總體的整體趨勢，從而估計(jì)這兩人中的新手是小李. 即本題正確應(yīng)該填：小李.

例3 七年級一班和二班各推選10名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，按照比賽規(guī)則，每人各投了10個(gè)球，兩個(gè)班選手的進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答問題.

（1） 分別求一班和二班選手進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；

（2） 如果要從這兩個(gè)班中選出一個(gè)班代表級部參加學(xué)校的投籃比賽，爭取奪得總進(jìn)球數(shù)團(tuán)體第一名，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個(gè)班？如果要爭取個(gè)人進(jìn)球數(shù)進(jìn)入學(xué)校前三名，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個(gè)班？

【解析】（1） 根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果，即一班選手進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為：7，7，7. 二班選手進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為：7，7，7；（2） 爭取奪得總進(jìn)球數(shù)團(tuán)體第一名，可考慮運(yùn)用方差大小進(jìn)行選擇，要爭取個(gè)人進(jìn)球數(shù)進(jìn)入學(xué)校前三名應(yīng)該看各班前三名的平均數(shù). 可以分別求得一班的方差為2.6、二班的方差為1.4. 所以，二班選手水平發(fā)揮更穩(wěn)定，爭取奪得總進(jìn)球數(shù)團(tuán)體第一名，應(yīng)該選擇二班；一班前三名選手的成績突出，分別進(jìn)10個(gè)、9個(gè)、8個(gè)球，如果要爭取個(gè)人進(jìn)球數(shù)進(jìn)入學(xué)校前三名，應(yīng)該選擇一班.

【啟迪】從上述兩例可知：當(dāng)所考查對象的較多時(shí)，我們往往從總體中抽取部分樣本進(jìn)行考查，從中獲取樣本的離散程度，進(jìn)而估計(jì)總體的離散程度，再對總體作出推斷、評論和預(yù)測. 用樣本來估計(jì)總體的思想是可靠的、科學(xué)的，在節(jié)約人力、物力、財(cái)力的同時(shí)，也提高了工作效率. 但要注意，抽樣調(diào)查選取的樣本是否合適：一要保證抽取的樣本有代表性；二是抽取的樣本容量要盡量大些，這樣的估計(jì)才比較準(zhǔn)確，偏差也比較小.