“松下問童子，言師采藥去，只在此山中，云深不知處. ”初讀無所獲，再讀有指向（意在言外）. 在數(shù)學(xué)國度里，我們時(shí)常會(huì)有“似曾相識(shí)”而又不可及的感覺，這是源于沒有思考指向（思想方法）. 只有抓住問題的本質(zhì)，洞察真正的指向，方能學(xué)得順心、做得順意. 于此可見，累積數(shù)學(xué)思想方法顯得尤為關(guān)鍵和至關(guān)重要.

一、 分析和綜合的思考方法

經(jīng)歷“中心對(duì)稱圖形（一）”的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了本章圖形的一些性質(zhì)和獲得了一些結(jié)論，是通過“做”的方式得到的. 事實(shí)上，僅憑直覺經(jīng)驗(yàn)得來的結(jié)論有時(shí)是靠不住的，還必須經(jīng)過嚴(yán)密的推理，才能讓我們的認(rèn)識(shí)到達(dá)一個(gè)理性層面. 源于此，課本特設(shè)了兩個(gè)欄目“思考與表述”、“證明的途徑”. 前者告訴我們“怎么想”和“怎么寫”，后者引導(dǎo)我們逐步學(xué)會(huì)綜合的思考方法. 怎么想是分析過程，怎么寫是有條理的表達(dá)過程，兩者是互逆思維. 其實(shí)，尋找證明思路的過程就是交替地運(yùn)用分析和綜合的思考方法的過程，不僅僅是單向思維，常常需要從兩個(gè)方向思考：“證明結(jié)論，需要什么條件？”“從已知條件可以推出哪些證明結(jié)論所需的事項(xiàng)？”（即由因索果和執(zhí)果索因）這樣有利于探索并獲得證明的思路. 這些思考方法是我們學(xué)好本章內(nèi)容必須具備的思維品質(zhì). 思想方法總是與具體知識(shí)共生共長，不是憑空產(chǎn)生的. 于是，我們繼續(xù)站在五個(gè)基本事實(shí)的平臺(tái)上，經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證、說理等活動(dòng)過程，習(xí)得了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)以及平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、等腰梯形的性質(zhì)和判定. 在交流證明思路的過程中，我們要考慮證明的出發(fā)點(diǎn)（源頭）和過程（路徑），縝密地完成證明過程.

二、 分類的思想方法

例如探索一個(gè)矩形、菱形是正方形的條件，可以分為：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形；還可以通過對(duì)角線分類：對(duì)角線垂直的矩形是正方形、對(duì)角線相等的菱形是正方形. 按照“對(duì)稱性”可將圖形分為軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形. 常見的軸對(duì)稱圖形有：線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓、箏形；常見的中心對(duì)稱圖形有：線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓.

分類有助于我們把握問題的本質(zhì)，了解研究對(duì)象的共性和差異，分類是探索數(shù)學(xué)研究對(duì)象性質(zhì)的有效途徑. 特別是對(duì)于幾何圖形的分類，有利于培養(yǎng)幾何的直觀性和思維的層次性.

三、 轉(zhuǎn)化、類比的思想方法

在學(xué)習(xí)“等腰三角形的判定”時(shí)，通過回憶將一個(gè)等腰三角形剪出等腰梯形的過程，引導(dǎo)我們感受將一個(gè)有待推證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題，是解決問題的一個(gè)重要策略. 其實(shí)，研究四邊形問題，常常要把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題，這就把一個(gè)有待解決的新問題轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的問題. 我們?cè)谘芯刻菪蔚闹形痪€性質(zhì)時(shí)，類比三角形中位線的性質(zhì)；在證明梯形中位線的性質(zhì)定理時(shí)，是通過添加輔助線，把梯形中位線轉(zhuǎn)化為三角形的中位線.

事實(shí)上，轉(zhuǎn)化、類比的思想方法是我們獲得新知的重要途徑. 有理數(shù)運(yùn)算就是通過引入絕對(duì)值的概念，將它轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算；通過引入相反數(shù)和倒數(shù)的概念，將有理數(shù)的減法和除法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法和乘法運(yùn)算；整式加減的實(shí)質(zhì)就是通過同類項(xiàng)的概念轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加減即化式的運(yùn)算為數(shù)的運(yùn)算. 解一元一次方程的過程，就是通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)等操作步驟，將所給方程轉(zhuǎn)化為最簡方程的過程. 解一次方程組的過程就是用代入消元或加減消元，將“多元”轉(zhuǎn)化為“一元”的過程. 還有，我們類比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)分式、類比一元一次方程學(xué)習(xí)一元一次不等式等.

四、 正難則反的思想方法

本章多處滲透了“正難則反”（也稱“反證法”）的思想. 穿插在課本中的閱讀欄目“倒過來想”、“生活中的一些判斷與推理”就是一種逆向思考方法，有助于我們更好地理解“正難則反”的本質(zhì).

在研究角平分線的性質(zhì)時(shí)，就是借助簡單的數(shù)學(xué)事例（“如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離不相等，那么這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上. ”你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？）說明運(yùn)用反證法也是獲得結(jié)論正確性的一種重要方法，進(jìn)而從側(cè)面幫助我們理解“角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上”這一性質(zhì).

“舉反例”的方法，能幫助我們?cè)诒容^和區(qū)別中體會(huì)反證法的含義. 比如：你認(rèn)為“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”這個(gè)結(jié)論正確嗎？為什么？顯然，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的. 因?yàn)榈妊菪沃幸唤M對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，而等腰梯形不是平行四邊形. 又如：為了深化我們對(duì)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的理解，給出了“對(duì)角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形”的問題推證，借助反證法的“三段論”形式（假設(shè)……，那么……. 所以……）獲得結(jié)論的合理性（具體推證過程是：假設(shè)四邊形是平行四邊形，那么其對(duì)角線必然互相平分，這與條件“對(duì)角線不互相平分”矛盾. 所以該四邊形不是平行四邊形）. 這些反例都有助于我們切實(shí)理解反證法的原生本質(zhì)和意義所在，為我們提供了反常規(guī)的思考方法.

五、 從“一般”到“特殊”和從“特殊”到“一般”的方法

矩形、菱形具備了平行四邊形的一般性質(zhì)外，還具有自身的特殊性質(zhì)（矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角）；正方形具有平行四邊形的一般性質(zhì)，還具有矩形和菱形的特殊性質(zhì). 事實(shí)上，特殊圖形具有一般圖形的性質(zhì)和它的特殊性質(zhì)，一個(gè)圖形越特殊，它的判定需要的條件就越多. 比如判定一個(gè)四邊形是正方形的方法可以是“對(duì)角線互相平分且相等且垂直的四邊形是正方形”，也可以是“四條邊相等且四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形”.

我們知道，四邊形和平行四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形；矩形和等腰梯形的中點(diǎn)四邊形都是菱形；菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；正方形的中點(diǎn)四邊形仍是正方形. 但不可以認(rèn)為中點(diǎn)四邊形是菱形的，原四邊形就是矩形，因?yàn)榈妊菪蔚闹悬c(diǎn)四邊形也是菱形；同樣不可以認(rèn)為中點(diǎn)四邊形是正方形的，原四邊形就是正方形，因?yàn)橐话闼倪呅沃灰膶?duì)角線垂直且相等，則其中點(diǎn)四邊形就是正方形；顯然，一個(gè)對(duì)角線相等的四邊形，其中點(diǎn)四邊形就是菱形；一個(gè)對(duì)角線垂直的四邊形，其中點(diǎn)四邊形就是矩形. 我們?cè)谔剿髦邪l(fā)現(xiàn)了一系列連接各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀與原四邊形兩條對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系有關(guān)，從中可以體會(huì)到在圖形的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系從“一般”到“特殊”的變化中，常常伴隨著圖形從一般到特殊的變化，關(guān)注圖形的這一變化規(guī)律有利于我們深入、全面地認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì).

思想方法是具體知識(shí)的靈魂，唯有內(nèi)化，才能獲得“萬變不離其宗”的方法. 既然“身在此山中”，何愁“云深不知處”？可見，找到思想方法，就找到了問題解決的關(guān)鍵.