梁萌

(駐馬店高級(jí)技工學(xué)校，河南 駐馬店 463000)

初等變換法是線(xiàn)性代數(shù)中最基本的方法之一。初等變換法是線(xiàn)性代數(shù)中最基本的方法。在解決線(xiàn)性問(wèn)題時(shí)具有步驟簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、易于掌握等優(yōu)點(diǎn)。矩陣的初等變換被普遍用于以下方面:求矩陣的逆矩陣、矩陣的秩以及解線(xiàn)性方程組等。本文闡述了初等變換在多項(xiàng)式理論、向量空間以及二次型等方面的重要應(yīng)用，將有利于全面理解矩陣初等變換乃至高等代數(shù)的思想。

1 矩陣初等變換

矩陣初等變換包括矩陣初等列變換和矩陣初等行變換。［1］

初等列變換是指對(duì)于數(shù)域F上的矩陣A=(aijm×n)作以下三種類(lèi)型的變換:(1)交換矩陣的兩列;(2)以非零數(shù)k乘以矩陣的某一列;(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上。

同理可定義矩陣初等行變換。

2 矩陣初等變換的應(yīng)用舉例

2.1 利用初等變換求n個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式

我們?cè)谇蠖囗?xiàng)式的最大公因式時(shí)一般采用的是輾轉(zhuǎn)相除法，而輾轉(zhuǎn)相除法的實(shí)質(zhì)就是反復(fù)利用帶余除法。設(shè)f(x)、g (x)為兩個(gè)多項(xiàng)式，

f(x)=q(x)g(x)+r(x)，(?(r(x)＜?(g(x)))。

如果引入多項(xiàng)式矩陣

則對(duì)其進(jìn)行初等行變換可化為

由最大公因式的定義，可知矩陣初等行變換并不能改變兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。因此，我們可以利用矩陣的初等變換來(lái)求多項(xiàng)式的最大公因式。

定理1［2］設(shè)多項(xiàng)式矩陣

經(jīng)過(guò)初等行變換化為

則d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，且d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式。

證明:由于對(duì)多項(xiàng)式矩陣實(shí)行初等變換不會(huì)改變兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)和g(x)的最大公因式，因此，多項(xiàng)式矩陣

經(jīng)過(guò)初等行變換化為:

d(x)=(d(x)，0)=(f(x)，g(x))。即存在一系列初等矩陣P1(x)，P2(x)，…，P1(x)使得:

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，其中d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式。

我們可以將這個(gè)結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法推廣到n個(gè)一元多項(xiàng)式的情形。

2.2 初等變換在向量空間中的應(yīng)用

2.2.1 初等變換求極大無(wú)關(guān)組

在求一組向量的極大無(wú)關(guān)組時(shí)，我們常用初等變換的方法，

定理3［3］設(shè)向量α1，α2，…，αn為m維列向量，矩陣A= (α1，α2，…，αn)經(jīng)初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，…，βn)，則α1，α2，…，αn的任一部分組αi1，αi2，…，αin與βi1，βi2，…，in的線(xiàn)性關(guān)系一致，即同時(shí)線(xiàn)性無(wú)關(guān)(或線(xiàn)性相關(guān))。

證明 (1)若αi1，αi2，…，αin線(xiàn)性相關(guān)，則矩陣(αi1，αi2，…，αin)的秩為r。而矩陣A經(jīng)初等行變換化為矩陣B時(shí)，矩陣(αi1，αi2，…，αin)就化為矩陣(βi1，βi2，…，βin)。因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩，故矩陣(βi1，βi2，…，βin)的秩也是r。從而向量組βi1，βi2，…，βin線(xiàn)性無(wú)關(guān)。反之亦然。

(2)向量組 αi1，αi2，…，αin線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣(αi1，αi2，…，αin)的秩小于r，而矩陣(αi1，αi2，…，αin)經(jīng)初等行變換化為矩陣(βi1，βi2，…，βin)，故矩陣(βi1，βi2，…，βin)的秩也小于r，所以向量組βi1，βi2，…，βin也線(xiàn)性相關(guān)。反之亦然。

推論1 若矩陣A=(α1，α2，…，αn)經(jīng)初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，…，βn)，則向量組βi1，βi2，…，βin是向量組β1，β2，…，βn的極大無(wú)關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng)向量組αi1，αi2，…，αin是向量組α1，α2，…，αn的極大無(wú)關(guān)組。

定理3［4］設(shè)α1，α2，…，αn為m維的秩為r的列向量組，不妨設(shè)前r個(gè)向量就是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則矩陣A=(α1，α2，…，αn)經(jīng)一系列的初等行變換可化為矩陣

且對(duì)任j＞r，αj=b1jα1+b2jα2+…+brjαr。

2.2.2 判斷兩個(gè)向量組的等價(jià)性

設(shè)有兩個(gè)向量組A∶α1，α2，…，α5及B∶β1，β2，…，βt。若向量組B中每個(gè)向量都能由向量組A線(xiàn)性表出，那么稱(chēng)向量組B能夠由向量組A線(xiàn)性表出。如果向量組A與向量組B能夠互相線(xiàn)性表出，那么稱(chēng)這兩組向量等價(jià)。

定理4 若向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs均線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為s。

推論2 若向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs的秩均為r，則這兩個(gè)向量組等價(jià)的充分必要條件是向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩也為r。

由此可知，對(duì)于兩個(gè)具體的向量組，我們可以利用初等變換的方法驗(yàn)證它們是否等價(jià)。

2.3 初等變換在二次型中的應(yīng)用

用非退化的線(xiàn)性替換化二次型為平方和與求對(duì)稱(chēng)的雙線(xiàn)性函數(shù)在某基下的矩陣是對(duì)角陣屬于同一個(gè)問(wèn)題，它們又都可歸結(jié)為這樣一個(gè)問(wèn)題:已知n階矩陣A，求可逆矩陣C，使C' AC為對(duì)角陣。而且我們知道在數(shù)域P上，任一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣。

令C=P1P2…PS，其中Pi(i=1，2，…，s)為初等矩陣。從而C'=P's…P'2P'1，則

C'AC=P's…P'2P'1AP1P2…PS=D。(D為對(duì)角矩陣)

同樣C=EP1P2…PS，C'=P's…P'2P'1E。

值得指出的是，前兩種類(lèi)型的初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:P'(i，j)=P(i，j);P'(i(c))=P(i(c))，(c≠0)。因此A右乘P(i，j)左乘P'(i，j)，A右乘P(i(c))左乘P'(i(c))表明對(duì)A施相同的初等行與初等列變換。至于第三種類(lèi)型的轉(zhuǎn)置矩陣:P' (i，j(k))=P(j，i(k))，因此右乘P(i，j(k))表明對(duì)A施第j列k被加到第i列的初等變換，而A左乘P'(i，j(k))相當(dāng)于第i列的k倍加到第j列的變換。

由此得到求對(duì)稱(chēng)矩陣A合同于對(duì)角矩陣D的初等變換法:

定理5［5］對(duì)任意的二次型f(x1，x2，…，xn)一定存在可逆線(xiàn)性替換X=CY將其化為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1，x2，…，xn)=λ1y+λ2y+…+λny，其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩陣A的n個(gè)特征值，即存在可逆矩陣C使

3 結(jié)束語(yǔ)

利用矩陣的初等變換可以將高等代數(shù)中復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使問(wèn)題的求解更加方便。

［1］張志讓?zhuān)瑒?線(xiàn)性代數(shù)與空間解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2004.4.

［2］楊純富.矩陣的初等變換在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用［J］.重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，27(4):55-57.

［3］吳明芬.初等變換的應(yīng)用［J］.工科數(shù)學(xué)，2001，17(3): 93-96.

［4］楊子胥等.高等代數(shù)習(xí)題解(上冊(cè))［M］.濟(jì)南:山東科技出版社，1987.

［5］王長(zhǎng)群，趙振云，李夢(mèng)如.線(xiàn)形代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2001.