石海平

(廣東建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東廣州 510450)

0 引言

記N,Z及R分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集和實(shí)數(shù)集.任取a,b∈Z滿足a≤b,定義Z(a)=狖a,a+1,…狚,Z(a,b)=狖a,a+1,…,b狚.k為某個正整數(shù).*表示向量的轉(zhuǎn)置.Δ是向前差分算子.

考慮四階非線性差分方程

及邊值條件

其中pn是Z上的正實(shí)值函數(shù),f∈C(Z×R3,R).

近年來,作為描述眾多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,差分方程已廣泛出現(xiàn)在科學(xué)研究的各個領(lǐng)域中,如概率論、矩陣論、電路分析、組合分析、排隊(duì)論、數(shù)論、心理學(xué)與社會學(xué)等[1].

方程(1)可看作如下微分方程的離散情形:

與上述方程(3)相似的方程曾經(jīng)在研究格動力系統(tǒng)孤立波的存在性中出現(xiàn)過.例如,Smets和Willem[2]研究了類似方程(3)孤立波的存在性.當(dāng)pn≡1,房輝和趙大鵬[3]以及陳鵬和唐先華[4]分別研究了方程(1)的特殊形式非平凡同宿軌的存在性.

四階微分方程的邊值問題在彈性力學(xué)和工程物理中有著廣泛的應(yīng)用[5].李東、方海文及方秀男等[6]研究了四階微分方程邊值問題的正解.在工程實(shí)踐中,梁的變形計(jì)算常常是通過對相應(yīng)的四階梁方程的差分格式運(yùn)用計(jì)算機(jī)迭代的方法進(jìn)行的.為了避免迭代的盲目性,在迭代之前對相應(yīng)差分方程解的存在性的研究則顯得十分重要.有鑒于此,本文將應(yīng)用臨界點(diǎn)理論給出一類四階差分方程混合邊值問題解的存在性和多重性的充分條件.研究的主要結(jié)果如下.

定理1 對任意的n∈Z(1,k),假設(shè)下列條件成立:

(F1)存在泛函F∈C1(Z×R2,R)且F(0,?)=0,滿足

(F2)存在常數(shù)β＞2,使得

則邊值問題(1)～(2)至少存在兩個非平凡解.

注1 (F2)蘊(yùn)涵存在常數(shù)α1＞0,α2＞0,使得

1 變分框架及基本引理

為了應(yīng)用臨界點(diǎn)理論,將引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖兎挚蚣芗敖o出一些證明結(jié)論所需的引理.首先,介紹一些基本概念.

當(dāng)k＞2時(shí),對任意的u∈Rk,考慮定義在Rk上的泛函J

由微積分基本知識及簡單的計(jì)算,J的Fréchet導(dǎo)數(shù)為

因此,u是J在Rk的臨界點(diǎn),即J′(u)=0當(dāng)且僅當(dāng)滿足u0,…,uk+2)*是邊值問題(1)～(2)的解.因此,尋求邊值問題(1)～(2)解的存在性等價(jià)于尋求在Rk上泛函J臨界點(diǎn)的存在性.

注2 當(dāng)k=1和k=2時(shí),結(jié)論顯然成立.為簡便起見,省略其證明過程.

定義Rk上的范數(shù)為,定義Rk上的另一種范數(shù)為‖u‖r=.則存在常數(shù)c1,c2,使得c2＞c1＞0,且c1‖u‖≤‖u‖r≤c2‖u‖.

記

由矩陣?yán)碚撝?D是正定矩陣.設(shè)它的特征值為λj＞0,j=1,2,…,k.不妨設(shè)

設(shè)E是實(shí)的Banach空間,J∈C1(E,R),即J是定義在E上的連續(xù)Fréchet可微的泛函.稱泛函J滿足Palais-Smale條件(簡稱P.S.條件),如果對任意的序列狖u(l)狚?E,若狖J(u(l))狚有界且J′(u(l))→0(l→∞),則狖u(l)狚在E中存在收斂的子列.

記Bρ表示在E上中心在原點(diǎn)半徑為ρ的開球,?Bρ表示Bρ的邊界.記

引理1(山路引理[7]) 設(shè)E是實(shí)Banach空間,且J∈C1(E,R)在E上滿足P.S.條件,J(0)=0,且

(J1)存在常數(shù)ρ,α＞0,使得

(J2)存在e∈EBρ使得J(e)≤0.

引理2 若條件(F1)及(F2)成立,則J(u)在Rk上滿足P.S.條件.

證明 設(shè)u(l)∈Rk,l∈Z(1)且狖J(u(l))狚有界.則存在常數(shù)M1＞0,使得對任意的l∈Z(1),有-M1≤J(u(l))≤M1.由(F′2),有

因此

由β＞2知,存在M1＞0,使得對任意的l∈N,有‖u(l)‖≤M1.因此,狖u(l)狚在Rk上有界.從而存在Rk中的收斂子列,即P.S.條件成立.證畢.

2 主要結(jié)論的證明

定理1 的證明 由假設(shè)易知,J(0)=0.由引理2知,J滿足P.S.條件.由(F1),對存在δ＞0,使得當(dāng)時(shí),有設(shè)

為了利用山路引理,下面驗(yàn)證條件(J2).由P.S.條件的證明過程,知

注3 最后,給出一個例子來應(yīng)用所得的結(jié)論.

對任意的n∈Z(1,k),假設(shè)

及邊值條件(2),其中β＞2.易證,定理1的所有條件成立,故邊值問題(2)及問題(4)至少存在兩個非平凡解.

[1] Agarwal R P.Difference equations and inequalities:Theory,methods and applications[M].New York:Marcel Dekker,1992.

[2] Smets D,Willem M.Solitary waveswith prescribed speed on infinite lattices[J].J Funct Anal,1997,149(1):266-275.

[3] Fang H,Zhao D P.Existence of nontrivial homoclinic orbits for fourth-order difference equations[J].Comput MathAppl,2009,214(1):163-170.

[4] Chen P,Tang X H.Existence of many homoclinic orbits for fourth-order difference systems containing both advance and retardation[J].Comput Math Appl,2011,217(9):4408-4415.

[5] 唐榮榮.一類伴有邊界攝動的非線性奇攝動四階微分方程三點(diǎn)邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(2):231-238.

[6] 李東,方海文,方秀男,等.一類帶有兩個參數(shù)變號四階多點(diǎn)邊值問題的正解[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,11(6):122-128.

[7] Rabinowitz P H.Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations[M].New York:Amer Math Soc Providence,RI,1986.