李 想

(成都理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 四川 成都 610059)

Banach空間上的雙參數(shù)正則化

李 想

(成都理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 四川 成都 610059)

在Banach空間中,研究了非線性不適定問題的正則化.引入并且推廣了一種雙參數(shù)的Tiknonv正則化方法,討論了這種方法解得存在性、穩(wěn)定性和收斂性.

非線性; 不適定問題; 雙參數(shù)正則化; 收斂性

0 引言

Tikhonov正則化方法是求解非線性不適定算子方程

F(u)=v0

(1)

的常用工具.本文假設(shè)U、V是自反的嚴(yán)格凸的Banach空間,算子F:D(F)?U→V.Grasmair M.[1]考慮了罰項(xiàng)為lq的稀疏正則化;楊宏奇等[2]研究了Banach空間中的多值算子;李招文等[2]對于求解 Hilbert 空間非線性不適定問題引入了雙參數(shù)正則化方法,即用極小化問題

其中α>0,β>0的解去逼近問題(1) 的解.本文將用雙參數(shù)正則化問題解決Banach空間非線性不適定問題,將極小化泛函推廣為

(2)

其中α>0,β>0,并研究其適定性.

為了下文敘述的方便,首先給出相關(guān)定義和假設(shè)條件.

定義2u0是方程(1) 的一個(gè)u*-極小范數(shù)解(u*-MSS),即對于v0∈V,u*∈D(L),滿足F(u0)=v0,并且‖Lu0-Lu*‖=min{‖Lu-Lu*‖:F(u)=v0}.

定義3 在D(L) 中引入一個(gè)新的范數(shù)‖u‖L=‖u‖U+‖Lu‖W,記為空間H=(D(L),‖·‖L).易知,H仍是一個(gè)Banach空間.

本文假定下列條件滿足

(i)D(F)?D(L);

(ii) (F,L):D(F)?U→V×W弱序列閉,即,任意序列{un}?D(F),若

(iii) {un}?D(F),若{F(un),Lun}有界,則{un}有界;

1 最小化問題解的存在性和穩(wěn)定性

這部分我們將證明最小化問題解的存在性和穩(wěn)定性.

又根據(jù)范數(shù)的弱下半連續(xù)性可知

而

定理2 若假設(shè)條件(ii)、(iii)滿足,對于給定的α,β,{vn}?V,vn→v0,un為極小化問題

(3)

的一個(gè)解,則序列{un}一定存在一個(gè)在H中收斂的子序列{unk},且其極限是極小化問題(2) 的一個(gè)解.

‖F(xiàn)(u)-v0‖p+α‖Lu-Lu*‖q+β‖u‖r,

由范數(shù)弱下半連續(xù)性有

(4)

所以,存在正整數(shù)N,使得k≥N時(shí)有

又由vnk→v0,可知‖F(xiàn)(u)-vnk‖p→‖F(xiàn)(u)-v0‖p,故k≥N時(shí)有

即

由(4) 知,當(dāng)k≥N時(shí)有

‖F(xiàn)(unk)-vnk‖p+α‖Lunk-Lu*‖q+β‖unk‖r+ε-βρ<

‖F(xiàn)(unk)-vnk‖p+α‖Lunk-Lu*‖q+β‖unk‖r,

2 正則解的收斂性

這部分我們將證明最小化問題解的存在性和穩(wěn)定性.

則對δk→0αk=α(δk),βk=β(δk),我們有結(jié)論

所以F(uk)有界,從而{(uk,F(uk),Luk)}在空間U×V×W有界.

[1] Grasmair M, Haltmeier M, Scherzer O. Sparse regularization with lqpenalty term[J]. Inverse Problems, 2008, 24(5): 55-20.

[2] 楊宏奇, 侯宗義. 非線性不適定算子方程的雙參數(shù)正則化方法[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2004, 24A(1): 129-134.

[3] 李招文, 李景, 劉振海. 非線性不適定問題的雙參數(shù)正則化[J]. 中國科學(xué), 2007, 37(9): 1117-1124.

[4] Groetsch C W.The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the First Kind[M]. Boston: Pitman,1984.

Two-parameterRegularizationMethodinBanachSpace

LI Xiang

(Department of Applied Mathematics, Chengdu University of Technology, Chengdu Sichuan 610059, China)

This paper deals with the regularization of a nonlinear ill-posed problem in Banach space. We present and popularize a kind of two-parameter regularization method, and discuss the existence, stability, convergence of the solution of this method.

nonlinear; ill-posed problem; two-parameter tikhonov regularization; convergence rate

2012-10-12

李想(1989-), 女, 山東威海人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)閼?yīng)用泛函分析.

O177.91; O241.7

A

1671-6876(2013)01-0021-04

[責(zé)任編輯李春紅]