江 平， 洪為琴

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

三角域上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式及其與Bernstein基的轉(zhuǎn)換

江 平， 洪為琴

（合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

為了更好的解決三角域上的Bézier曲面在CAGD中的最佳一致逼近問(wèn)題，構(gòu)造出了三角域上的雙變量Chebyshev正交多項(xiàng)式，研究了與單變量Chebyshev多項(xiàng)式相類似的性質(zhì)，并且給出了三角域上雙變量Chebyshev基和Bernstein基的相互轉(zhuǎn)換矩陣。通過(guò)實(shí)例比較雙變量Chebyshev多項(xiàng)式與雙變量Bernstein多項(xiàng)式以及雙變量Jacobi多項(xiàng)式的最小零偏差的大小，闡述了雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的最小零偏差性。

三角域；Bernstein基；Chebyshev多項(xiàng)式

在CAGD中，有限域上的正交多項(xiàng)式對(duì)最小平方逼近問(wèn)題起了十分重要的作用。在單變量情況下，Rababah[1-2]研究了 Chebyshev多項(xiàng)式和Jacobi多項(xiàng)式與 Bernstein多項(xiàng)式之間的轉(zhuǎn)換公式，并利用構(gòu)造的多項(xiàng)式演示了CAGD中Bézier曲面的最小平方逼近問(wèn)題的求解過(guò)程；Faruoki[3]研究了Legendre多項(xiàng)式與Bernstein多項(xiàng)式之間的轉(zhuǎn)換公式；利用約束Jacobi基作為工具，蔡華輝等[4]推導(dǎo)了 Jacobi基與 Bernstein基的轉(zhuǎn)換公式。在雙變量情況下，F(xiàn)aruoki等[5]構(gòu)造出了三角域上的 Legendre多項(xiàng)式；Sawer[6]給出了三角域上Jacobi多項(xiàng)式的Bernstein基表示；Lewanowicz等[7]給出了三角域上Jacobi基與Bernstein基之間的轉(zhuǎn)換公式；后來(lái)蔡華輝等[8]更簡(jiǎn)捷地構(gòu)造出了三角域上的Jacobi多項(xiàng)式并給出了它與Bernstein基之間的轉(zhuǎn)換公式。

曲線或曲面的基本表示形式都可以由Bernstein-Bézier基的線性組合來(lái)表示[9]，它具有計(jì)算穩(wěn)定性等特點(diǎn)，但Bernstein多項(xiàng)式的非正交性使得它在最小平方逼近問(wèn)題的求解過(guò)程十分的煩瑣。因此研究二者之間的相互轉(zhuǎn)換公式也是十分必要的。由于Bernstein多項(xiàng)式在CAGD中的特殊應(yīng)用和研究背景，因此文章考慮了構(gòu)造三角域上的雙變量Chebyshev多項(xiàng)式。

受文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)，在文章第一部分，結(jié)合單變量Chebyshev多項(xiàng)式的表達(dá)式構(gòu)造出了三角域上的雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的表達(dá)式；然后在第二部分研究了它的性質(zhì)，使得構(gòu)造的多項(xiàng)式具有理論意義；進(jìn)一步，在文章第三部分利用文獻(xiàn)[1]中單變量情況下 Chebyshev基與Bernstein的基的轉(zhuǎn)換公式，給出了三角域上的雙變量情況下的基的轉(zhuǎn)換公式，其中轉(zhuǎn)換公式的系數(shù)是由單變量系數(shù)給出的，這使得構(gòu)造的多項(xiàng)式便于實(shí)際的應(yīng)用。

1 三角域上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的構(gòu)造

其中， u + v + w= 1。

三角域A上的Bernstein基函數(shù)[5]為：

三角域A上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式具有下面的分層排序：

一共有(n+1)(n+2)/2個(gè)多項(xiàng)式，這些多項(xiàng)式就形成了中的三角域 A上的雙變量 Chebyshev多項(xiàng)式在Chebyshev權(quán)下的一組正交基。

定義1 對(duì)于所有的n=0,1,2,…；r=0,1,2,…,n，三角域A上的雙變量Chebyshev多項(xiàng)式為

由于單變量Jacobi多項(xiàng)式[2]為

由文獻(xiàn)[1]中單變量Chebyshev多項(xiàng)式知，雙變量Chebyshev多項(xiàng)式可以改寫為

其中，Tr(u)為單變量Chebyshev多項(xiàng)式。

在三角域上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式Tn,r(u, v, w)（其中,w=1-u- v）當(dāng)n=0,1,2,3時(shí)的結(jié)果如下表：

為了更直觀的了解雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的特點(diǎn)和性質(zhì)，下面畫出當(dāng) n= 4時(shí)，的圖像：

圖1 當(dāng)n=4(r=0, 1, 2, 3, 4)時(shí)，三角域A上的雙變量Chebyshev多項(xiàng)式—Tn,r(u, v, w)

三角域上的雙變量Jacobi多項(xiàng)式由下面的式子給出[8]：

顯然，Tn,r(u, v, w)在A的一條邊界(w = 0)上恰好退化為權(quán)為時(shí)的單變量Chebyshev多項(xiàng)式 Tr( u)，且很容易可以看出定義中的 Tn,r(u, v, w)與文獻(xiàn)[8]中當(dāng)α = β =- 1 2,γ = 0時(shí)的雙變量Jacobi多項(xiàng)式是一致的。

2 三式角性域質(zhì)上雙變量Chebyshev多項(xiàng)

下面研究三角域A上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式與單變量情況下相類似的性質(zhì)：

證明 當(dāng) r = n, n ≥ 2時(shí)，由式(2)和文獻(xiàn)[1]有：

當(dāng) r = n - 1,n≥1時(shí)，

另外，當(dāng) r ≥ n -2,n ≥ 2時(shí)，由文獻(xiàn)[10]知單變量Jacobi多項(xiàng)式當(dāng)自變量x∈[-1,1]時(shí)的遞推公式為

證畢

與單變量情況下的遞推關(guān)系式是一致的。

則在三角域A上有下面的結(jié)論成立：

雙變量C he by sh ev多項(xiàng)式 T（u, v, w ）中n,r un（n≥ 1）和 vn（n≥ 1）的系數(shù)分別為（-1）n-rC和（-1 ）nC ；

證明：將 Tn,r（u, v, w）按u的次數(shù)從高到低排列，考慮u的最高次項(xiàng)，

即Tn, r（u, v, w）關(guān)于v的最高次項(xiàng)系數(shù)為

證畢

則首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式的零偏差定義為

根據(jù)定理2以及零偏差的定義知

則由表 1可以給出當(dāng) n=4時(shí)，三角域上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式、Jacobi多項(xiàng)式和Bernstein多項(xiàng)式的零偏差的大小的比較。

表1 當(dāng)n=4時(shí)，三角域上雙變量Chebyshev多項(xiàng)式、Jacobi多項(xiàng)式和Bernstein多項(xiàng)式的零偏差的大小的比較

通過(guò)上表不難看出，相較于首項(xiàng)系數(shù)為1的雙變量Jacobi多項(xiàng)式和Bernstein多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，雙變量Chebyshev多項(xiàng)式在三角域上具有最小零偏差性，我們?cè)诮窈蟮墓ぷ髦锌梢赃M(jìn)一步的研究最小零偏差性的證明過(guò)程。

定理3雙變量多項(xiàng)式Chebyshev在三角域上帶權(quán)正交，即

則有

證畢

3 三角域上雙變量Chebyshev基與Bernstein基的轉(zhuǎn)換公式

令

當(dāng)12,n n都是大于0的整數(shù)時(shí)，其中

在文獻(xiàn)[1]中有公式

其中

在文獻(xiàn)[8]中有公式

其中

于是可以得到如下定理：

定理1

其中，

公式中的riN ,由式(10)和式(11)給出

證明：

證畢

定理2

其中，

證畢

顯然定理1 和定理2 的結(jié)論與文獻(xiàn)[8]中當(dāng)α = β = -1 2,γ = 0的結(jié)果一致。由文獻(xiàn)[8]知道矩陣Μ中第行、第列元素就是，矩陣Μ 中第-1行，第列元素就是，即,其中

例1 當(dāng)n=1時(shí)，設(shè)

若

則由式(12)知

而由式(13)可以解出，

即有，

不難驗(yàn)算出下列等式成立，

4 結(jié) 語(yǔ)

文章給出了用重心坐標(biāo)構(gòu)造出的三角域上的雙變量Chebyshev加權(quán)正交基，研究了它與單變量情況相類似的性質(zhì)，并利用單變量的Chebyshev基與Bernstein基的轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)出了雙變量情況下二者的轉(zhuǎn)換公式。并且通過(guò)給出具體的實(shí)例闡述了首項(xiàng)系數(shù)為 1的雙變量Chebyshev多項(xiàng)式與首項(xiàng)系數(shù)為 1的雙變量Jacobi多項(xiàng)式以及Bernstein多項(xiàng)式相比較具有最小零偏差性。在單變量 Chebyshev中，第一類Chebyshev多項(xiàng)式還有可以用三角函數(shù)來(lái)表示，文章并沒(méi)有給出雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的三角函數(shù)表示，可以進(jìn)一步研究雙變量情況下的三角函數(shù)表示，那樣在研究它的值域和遞推關(guān)系式等等情況下會(huì)簡(jiǎn)便很多。另外，文章構(gòu)造出的雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的最小零偏差性是通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)例來(lái)給出的，并沒(méi)有給出具體的證明過(guò)程，而且文章提及的 Chebyshev多項(xiàng)式都是指第一類Chebyshev多項(xiàng)式。因此，今后可以進(jìn)一步研究雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的最小零偏差性以及構(gòu)造第二類雙變量Chebyshev多項(xiàng)式的構(gòu)造公式及其應(yīng)用。

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[9] Farin G. Curves and surfaces for CAGD: a practical guide [M]. 5th ed. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2002.

[10] 孫慧娟, 趙小香. 有關(guān)雅克比多項(xiàng)式一些性質(zhì)的研究[J]. 四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 22 (6):37-41.

Bivariate Chebyshev Polynomials and Transformation of Chebyshev-Bernstein Basis on Triangular Domains

Jiang Ping, Hong Weiqin
( School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

For solving least squares approximation problem of Bézier surface effectively and simply on triangular domains in CAGD, we present a polynomial representation, bivariate Chebyshev polynomials, adapted to a triangular domain, with properties similar to the univariate Chebyshev form．We convert and compare this representation to the Bernstein-Bézier and Jacobi representations．We also give some examples to illustrate that the deviation of the bivariate Chebyshev polynomials compared with zero is the least than of the bivariate Bernstein polynomials and bivariate Jacobi polynomials.

triangular domains; Bernstein basis; Chebyshev polynomial

TP 391

A

2095-302X (2013)06-0022-08

2013-02-25；定稿日期：2013-03-25

江 平（1972-），女，安徽樅陽(yáng)人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：jiangping_72@sina.com

洪為琴（1987-），女，安徽宿松人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。E-mail：494786700@qq.com