樊友景，高始慧

(1．鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院 河南鄭州450001;2．鄭州科技學(xué)院 土木建筑系 河南 鄭州450064)

0 引言

豎向荷載(恒荷載和活荷載)是框架結(jié)構(gòu)最主要的荷載．框架結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中最重要的計(jì)算．常用的計(jì)算方法有分層法和彎矩二次分配法［1－2］等．在分層法計(jì)算中，將上、下柱子的遠(yuǎn)端的剛結(jié)點(diǎn)假定為固定端，為了考慮到桿端剛結(jié)點(diǎn)的彈性約束作用，除底層柱外，將柱子的線剛度均乘以修正系數(shù)0．9，傳遞系數(shù)修正為1/3．這樣的修正沒有考慮桿件遠(yuǎn)端剛結(jié)點(diǎn)處桿件數(shù)目、各桿線剛度及梁柱剛度比值的影響，不夠準(zhǔn)確，因此計(jì)算誤差較大，有時會達(dá)到百分之十幾．另一方面，分層法將每一層作為一個計(jì)算單元，用多結(jié)點(diǎn)力矩分配法計(jì)算，計(jì)算單元多，計(jì)算工作量大，而且精度差．

作者考慮桿件遠(yuǎn)端剛結(jié)點(diǎn)處桿件數(shù)目、各桿線剛度的影響，推導(dǎo)出梁端的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)統(tǒng)一計(jì)算公式．以柱子及其左、右梁組成的單柱結(jié)構(gòu)作為計(jì)算單元，對于多、高層框架結(jié)構(gòu)，計(jì)算單元數(shù)目少，計(jì)算量就少;計(jì)算單元范圍大，與實(shí)際情況更接近，計(jì)算精度更高．

1 分跨法推導(dǎo)

1．1 分跨法計(jì)算的基本假定

如圖1所示框架結(jié)構(gòu)．在豎向荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算問題，可分3步來完成，首先鎖住結(jié)點(diǎn)，得到位移法基本結(jié)構(gòu)，求出基本結(jié)構(gòu)僅在荷載作用下產(chǎn)生的桿端力;然后放松結(jié)點(diǎn)，求結(jié)點(diǎn)位移產(chǎn)生的桿端力;最后將前兩步結(jié)果疊加，得到最終桿端力．

由框架結(jié)構(gòu)精確計(jì)算結(jié)果［1－2］可知，框架結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下產(chǎn)生的側(cè)向位移很小;并且，結(jié)點(diǎn)角位移對與該結(jié)點(diǎn)不相鄰的桿件的桿端彎矩影響很?。缭趫D2(a)中，如假設(shè)各桿線剛度相同，結(jié)點(diǎn)A的力矩MA使A結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生的MAB是MA的1/4，MBA是MA的1/8，引起結(jié)點(diǎn)B處其他桿端的彎矩是MA的1/32，已經(jīng)非常小了［3－4］．為了簡化計(jì)算可以假定:

①忽略豎向荷載作用下的框架結(jié)構(gòu)的水平側(cè)移．

②忽略每根柱子上的結(jié)點(diǎn)角位移對其他柱子桿端彎矩的影響．③假定結(jié)點(diǎn)角位移只引起與其相鄰的結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動．

1．2 分跨法計(jì)算簡圖

根據(jù)上述假定①和②，圖2(a)結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)位移作用下的內(nèi)力計(jì)算，可以簡化為圖2(b)所示的簡圖進(jìn)行，即把各根柱子及其左、右梁組成的單柱結(jié)構(gòu)作為一個獨(dú)立的計(jì)算單元，按力矩分配法計(jì)算．但是，梁的遠(yuǎn)端是不同形式的剛結(jié)點(diǎn)，即屬于彈性支座，下節(jié)推導(dǎo)遠(yuǎn)端為剛結(jié)點(diǎn)時的桿端的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)統(tǒng)一計(jì)算公式．

1．3 分跨法計(jì)算過程

①鎖住結(jié)點(diǎn)，求出梁的固端彎矩，進(jìn)一步求出結(jié)點(diǎn)不平衡力矩，再將它們反向加在結(jié)點(diǎn)上(如圖2(a))．

②將圖2(a)結(jié)構(gòu)分成圖2(b)所示的單柱結(jié)構(gòu)，分別用力矩分配法進(jìn)行計(jì)算．

③在第②步中得到的柱子的彎矩即為其最終彎矩，而梁的最終彎矩為相鄰兩跨求得的梁端彎矩之和，再疊加上固端彎矩．

④疊加后的框架結(jié)點(diǎn)處各桿端彎矩基本上接近平衡，如果結(jié)點(diǎn)不平衡力矩較大，再在結(jié)點(diǎn)處進(jìn)行一次力矩分配，但不傳遞．

圖1 框架結(jié)構(gòu)Fig．1 Structure of the frame

圖2 分跨法計(jì)算簡圖Fig．2 Calculated diagram of divided span method

2 桿端轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)的推導(dǎo)

桿件遠(yuǎn)端剛結(jié)點(diǎn)連接的桿件情況不同，各桿件線剛度不同，梁柱線剛度比不同，對桿件近端的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)的影響也不一樣［4－5］．下面推導(dǎo)桿件遠(yuǎn)端為剛結(jié)點(diǎn)時近端的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)．

為了推導(dǎo)圖2(a)中的AB梁A端的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)，取出ABFGH部分進(jìn)行分析，根據(jù)上述假定③，將交于B點(diǎn)的各桿件的遠(yuǎn)端視為固定端(A端轉(zhuǎn)動對結(jié)點(diǎn)FGH的影響已非常小)，如圖3所示．如遠(yuǎn)端為鉸支座，相應(yīng)桿的線剛度乘以系數(shù)3/4;如為滑動支座，相應(yīng)桿的線剛度乘以系數(shù)1/4．令圖3中A端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角，結(jié)點(diǎn)B隨之也產(chǎn)生轉(zhuǎn)角θB，由此產(chǎn)生的A端彎矩(即為轉(zhuǎn)動剛度SAB)及其他桿端彎矩為

圖3 梁的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)Fig．3 Rotational stiffness and carry-over factor of beam

由B點(diǎn)的力矩平衡方程得到:

由(2)式解出θB=－0．5α，α=iAB/∑i為AB桿的線剛度iAB與交于B點(diǎn)的各桿線剛度之和的比值．將θB代入(1)的前兩式得到桿件AB轉(zhuǎn)動剛度SAB和傳遞系數(shù)CAB為

式中β=1－α/4為考慮桿件遠(yuǎn)端為剛結(jié)點(diǎn)時其線剛度的修正系數(shù)．

由(3)可見桿端的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)與其遠(yuǎn)端剛結(jié)點(diǎn)連接的桿件數(shù)目、各桿線剛度及其梁柱線剛度的比值有關(guān)．

當(dāng)遠(yuǎn)端剛結(jié)點(diǎn)連接的其他桿的線剛度相對很小時，α≈1，β=0．75，C=0，相當(dāng)于遠(yuǎn)端為鉸支座時的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)．當(dāng)遠(yuǎn)端剛結(jié)點(diǎn)連接的其他桿的線剛度很大時，α≈0，β=1，C=0．5，相當(dāng)于遠(yuǎn)端為固定端時的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)．一般情況下，0＜α ＜1，0．75＜β ＜1，0＜C ＜0．5．只有當(dāng)α =0．4時，才有β=0．9，C=1/3，對分層法來說，柱子線剛度是梁線剛度的4倍時，計(jì)算結(jié)果才比較精確．

3 算例［6］

某教學(xué)樓為4層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，跨度、層高、荷載如圖4所示，梁的截面尺寸:250 mm×600 mm，混凝土采用C20(E=2．55×104MPa);柱的截面尺寸:450 mm×450 mm，混凝土采用C30(E=3．0×104MPa)．現(xiàn)澆梁柱，樓蓋為預(yù)應(yīng)力圓孔板．

由于對稱，取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算，桿件編號如圖4．采用文中討論的分跨法計(jì)算，可分為兩個單柱結(jié)構(gòu)計(jì)算．經(jīng)兩輪力矩分配后計(jì)算結(jié)果見表1．如按分層法計(jì)算需要分為4個計(jì)算單元計(jì)算，計(jì)算工作量大．由表1可見，分層法計(jì)算結(jié)果誤差較大，最大為11．19%，而分跨法所得結(jié)果比較精確，最大誤差為4．65%．

圖4 豎向荷載作用下的框架結(jié)構(gòu)Fig．4 Frame structure under vertical loads

表1 框架梁、柱端彎矩計(jì)算結(jié)果對比Tab．1 Comparisons of results by different methods

4 結(jié)語

結(jié)構(gòu)內(nèi)部相鄰部分互為彈性約束，桿端受到的相鄰部分的彈性約束情況與結(jié)點(diǎn)處桿件的數(shù)目及各桿線剛度有關(guān)．作者考慮了遠(yuǎn)端彈性約束的影響，推導(dǎo)出梁端轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)的統(tǒng)一計(jì)算公式．計(jì)算豎向荷載作用下的框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力的分跨法，對梁柱線剛度的比值沒有限制，適用范圍廣，尤其是對高層結(jié)構(gòu)，收斂速度快，精度也高．

［1］ 包世華．新編高層建筑結(jié)構(gòu)［M］．2版．北京:知識產(chǎn)權(quán)出版社，2005:70－73．

［2］ 樊友景，高洪波．結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］．鄭州:鄭州大學(xué)出版社，2012:234－260．

［3］ 陳進(jìn)．規(guī)則框架的一種實(shí)用簡化計(jì)算方法［J］．廣州大學(xué)學(xué)報，2001，15(8):11－14．

［4］ 樊友景，劉金蕊．有側(cè)移斜桿剛架的位移法分析［J］．鄭州大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2010，42(4):116－120．

［5］ 金建洲，樊大為．基于柔度法的兩端固定梁加載全過程分析［J］．鄭州大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2009，41(3):98－103．

［6］ 郭繼武．建筑抗震設(shè)計(jì)［M］．北京:中國建筑工業(yè)出版社，2002:132－140．