譚長明，范希智，成云舟，易迎彥，陳清明，祝霽洺

（1.鞍山師范學(xué)院 商學(xué)院，遼寧 鞍山 114005；2.武漢理工大學(xué) 物理系，湖北 武漢 430070）

引 言

光波是電磁波，是高頻振蕩的電場矢量E和磁場矢量H在空間的傳播。在傳播過程中遇到界面時，光波要發(fā)生變化，產(chǎn)生分光，即一般會出現(xiàn)反射光和折射光。反射光波和折射光波的傳播方向與原光波的傳播方向之間的變化遵從反射、折射定律。而反射光波和折射光波的電場與原光波的電場在量值上的變化關(guān)系則由菲涅耳公式來表達［1－11］。由維納駐波等很多實驗證明了光與非磁性物質(zhì)相互作用時，起很明顯作用的是電場E，磁場H的作用則很微弱，理論上也說明了這一點，因而人們主要關(guān)注光波中電場E的變化，往往不考慮磁場H的變化。但無論如何，當(dāng)光傳播遇到界面時，反射光波和折射光波的磁場H是一定發(fā)生了變化的，所以只關(guān)注光波中電場E的變化是不全面的。關(guān)于電場E的菲涅耳公式并未完全反映光波在界面上的變化情況，因此必須考察磁場H的變化，針對其變化規(guī)律，本文進行了較為詳細(xì)的討論，得出對應(yīng)于光波磁場量的菲涅耳公式，以全面反映光波在界面的變化規(guī)律。

1 光波磁場量的菲涅耳公式

為簡單起見，只討論平面光波（以下簡稱光波）遇到兩種各向同性透明的非磁性均勻媒質(zhì)的界面時磁場H的變化規(guī)律。因為光波中磁場H和電場E是同時存在的，因而討論磁場的變化需借助電場量的變化。電場E和磁場H都是矢量，對于每個矢量，都可將其分解為一對正交的場矢量分量，其中一個分量的振動方向垂直于入射面，稱為‘s’分量；另一個分量的振動方向在或者說平行于入射面，稱為‘p’分量，首先研究入射波僅含‘s’分量和僅含‘p’分量這兩種特殊情況。當(dāng)兩種分量同時存在時，則只要分別先計算由單個分量成分的折射、反射場量，然后根據(jù)矢量疊加原理進行矢量相加即可得到相應(yīng)的結(jié)果。在討論的時候不妨規(guī)定：電場和磁場的s分量垂直于紙面，向外為正，向內(nèi)為負(fù)；而規(guī)定電場和磁場的p分量按其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負(fù)。

1.1 磁場p分量的反射系數(shù)和透射系數(shù)

當(dāng)入射光波只有s電場分量時，反射波和折射波也只有s電場分量，不妨假設(shè)其方向均為正，如圖1所示。根據(jù)E、H、k（k為波矢，其方向代表光波傳播的方向）符合右手定則的要求來確定三個波的磁場方向，此時只存在入射、反射和折射光波磁場H的p分量：Hip、Hrp和Htp。根據(jù)E、H在界面上的切向分量連續(xù)的邊界條件：n×（E2－E1）＝0，n×（H2－H1）＝0（其中E1、E2和H1、H2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的光波電場和光波磁場）可以得到標(biāo)量形式：

圖1 入射光波只有s電場分量時的正向規(guī)定Fig.1 The positive direction supposition when the incident light has only s electrical field component

其中θi、θr和θt分別為入射角、反射角和折射角。在非磁性各向同性介質(zhì)中，E、H之間的量值的關(guān)系為：

其中n為所在媒質(zhì)的折射率，μ0為真空中的導(dǎo)磁率，c為真空中的光速。再考慮到E、H的正交關(guān)系，式（1）可以變成含有H的另外一個形式：

聯(lián)合式（2）和式（4），利用反射定律θr＝θi，可以得到H的p分量的反射系數(shù)rHp和透射系數(shù)tHp：

1.2 磁場s分量的反射系數(shù)和透射系數(shù)

同樣，當(dāng)入射光波只有p電場分量時，反射波和折射波也只有p電場分量。不妨假設(shè)E的p分量對于界面的切向分量一致向右，則入射、反射和折射光波的E的p分量取向如圖2所示，根據(jù)E、H、k組成右手坐標(biāo)系的原則，此時只存在入射、反射和折射光波磁場H的s分量：His、Hrs和Hts，圖2中也標(biāo)示了它們的方向。利用E、H的邊界條件，得：

再利用式（3）以及E、H 之間的正交性，式（8）可變成含有H的另外一個形式：

圖2 入射光波只有p電場分量時的正向規(guī)定Fig.2 The positive direction supposition when the incident light has only pelectrical field component

聯(lián)合式（7）和式（9），利用反射定律θr＝θi，可得H的s分量的反射系數(shù)rHs和透射系數(shù)tHs：

類似于光波電場的菲涅耳公式，不妨稱式（5）、式（6）、式（10）、式（11）為非磁性界面光波磁場量的菲涅耳公式。

2 討 論

本節(jié)首先討論磁場量的菲涅耳公式與光波電場量的菲涅耳公式的關(guān)系。光在界面上反射和折射時，有兩個重要的現(xiàn)象出現(xiàn)，其一就是π位相躍變的產(chǎn)生，其二則是布儒斯特現(xiàn)象的發(fā)生，本節(jié)接下來利用光波磁場量的菲涅耳公式對這兩個現(xiàn)象進行解釋，之后從光波磁場量的角度討論一下光波正入射的情況。

2.1 兩組公式的關(guān)系

將光波磁場量的菲涅耳公式式（5）、式（6）、式（10）、式（11）與光波電場量的菲涅耳公式［2］相比較，不難發(fā)現(xiàn)，磁場量s分量的反射系數(shù)rHs和電場量p分量的反射系數(shù)rEp相同；而磁場量p分量的反射系數(shù)rHp和電場量s分量的反射系數(shù)rEs相同。

作為舉例，圖3（a）繪出了光從空氣（n1＝1）中射入玻璃（n2＝1.5）時rHs、rHp、tHs和tHp隨入射角θi的變化曲線，即按磁場量菲涅耳公式繪制的曲線；圖3（b）繪出了光從空氣（n1＝1）中射入玻璃（n2＝1.5）時rEs、rEp、tEs和tEp隨入射角θi的變化曲線，即按電場量菲涅耳公式繪制的曲線。表1則列出了一些具體入射角下各個系數(shù)按相應(yīng)公式計算的具體數(shù)值。由圖3和表1可以看到：rHs＝rEp；rHp＝rEs。

表1 一些具體入射角下各個系數(shù)的具體數(shù)值Tab.1 Coefficient values at some incident angles

圖3 反射系數(shù)、透射系數(shù)隨入射角θi變化的曲線Fig.3 Curve of reflection and transmission coefficients with angleθiof incidence

由表1和圖3可以看到，磁場量s分量的透射系數(shù)tHs不同于電場量p分量的透射系數(shù)tEp，前者為后者的1.5倍；磁場量p分量的透射系數(shù)tHp也同于電場量s分量的反射系數(shù)tEs，前者為后者的1.5倍。再系統(tǒng)比較兩組菲涅耳公式，發(fā)現(xiàn)透射系數(shù)的比值是固定的，即

對于光從空氣（n1＝1）中射入玻璃（n2＝1.5）的具體情況，即為表1和圖3顯示的結(jié)果。不難理解透射系數(shù)之間存在的式（12）所示的關(guān)系。根據(jù)E、H、k符合右手定則的要求，結(jié)合式（3）及透射系數(shù)的原始定義式（6）和式（11）的左半部等式，容易得到：

將上兩式合并即為式（12），由此即得兩組透射系數(shù)的關(guān)系，并得以解釋。

因為光波是矢量電磁波，既可用電場E的變化來標(biāo)征，也可用磁場H的變化來標(biāo)征。當(dāng)用電場E來標(biāo)征時，光通過界面時出現(xiàn)的反射光、折射光在量值上變化就要用電場值的變化來表示，即由電場量的菲涅耳公式來表示。若光波用磁場H來標(biāo)征，則反射光、折射光在量值上變化就要用磁場量的菲涅耳公式來表示。所以，光波磁場量的菲涅耳公式與光波電場量的菲涅耳公式等價。但是，無論電場E還是磁場H，都是表征光波的一個方面，從這個角度來看，這兩組公式又是相互補充的。

2.2 π位相躍變的解釋

當(dāng)光波從光疏媒質(zhì)通過界面射入光密媒質(zhì)時，反射光波的電場s分量與原入射光波的電場s分量Eis反向，即rEs＜0，稱這種現(xiàn)象為π位相躍變［1－9，12］。這個效應(yīng)也可從磁場H 角度來解釋，根據(jù)式（5），在光波從光疏媒質(zhì)通過界面射入光密媒質(zhì)的情況下，n1＜n2，90°≥θi＞θt≥0°，則cosθi＜cosθt，所以n1cosθi＜n2cosθt，所以rHp＜0，說明反射光磁場的p分量與與原入射光波的磁場p分量Hip反向，反射光的傳播方向即kr的方向是由反射定律確定的，而Er、Hr與kr之間的方向關(guān)系由右手定則確定的，光波磁場的只有p分量時，電場只有s分量，即Ers、Hrp與kr符合右手定則，可見Hrp與Hip反向，Ers肯定與Eis反向，即有π位相躍變。

2.3 布儒斯特現(xiàn)象的解釋

當(dāng)光波以某一角度θB入射時，反射光電場量的p分量為零，只存在電場量的s分量，這種現(xiàn)象稱為布儒斯特現(xiàn)象，相應(yīng)的入射角θB稱為布儒斯特角，θB與界面兩側(cè)媒質(zhì)的折射率n1、n2的關(guān)系為：

布儒斯特現(xiàn)象也可從磁場H角度來解釋。根據(jù)式（10），當(dāng)光波從光疏媒質(zhì)通過界面射入光密媒質(zhì)時，n1＜n2，90°≥θi＞θt≥0°；當(dāng)光波從光密媒質(zhì)通過界面射入光疏媒質(zhì)時，n1＞n2，90°≥θt＞θi≥0°，如論如何，總有一個入射角出現(xiàn)，使得式（10）的分子為零，即使n1cosθt＝n2cosθi。此時rHs＝0，結(jié)合折射定律（n2sinθt＝n1sinθi）即可求得這個特殊的入射角即為布儒斯特角θB。

在以θB入射時，rHs＝0，說明反射光波磁場量的s分量為零，只存在磁場量的p分量。而光波磁場量H與電場量E是相互垂直的，即Er、Hr與kr之間的方向符合右手定則，根據(jù)這個要求可知，反射光波的電場量的p分量為零，只存在電場量的s分量，即發(fā)生了布儒斯特現(xiàn)象。

2.4 正入射的情況

當(dāng)光波正入射界面時，磁場量的菲涅耳公式式（5）、式（6）、式（10）、式（11）將簡并，變?yōu)椋?/p>

可見，在正入射時，光波磁場量的兩個反射系數(shù)、兩個透射系數(shù)相等。特別是，當(dāng)光波從光疏媒質(zhì)通過界面正入射光密媒質(zhì)時，n1＜n2，rHs、rHp＜0，可見，反射光磁場矢量的s分量與入射光磁場的s分量反向，反射光磁場矢量的p分量與入射光磁場的p分量反向，因而反射光磁場矢量與入射光的磁場矢量反向由于光波磁場矢量垂直于電場矢量。反射光電場矢量與入射光的電場矢量也反向，即產(chǎn)生π位相躍變。

總之，通過前面的討論可知，光波磁場量的菲涅耳公式具有實用性，可以用來解釋光波通過界面時出現(xiàn)的π位相躍變效應(yīng)和布儒斯特現(xiàn)象等重要的特征。這組公式等價于電場量的菲涅耳公式，有助于人們?nèi)胬斫夤馔ㄟ^非磁性光學(xué)界面時的規(guī)律，因而具有一定的重要性，只是由于光與非磁性物質(zhì)相互作用時，起很明顯作用的是電場E，磁場H的作用則很微弱，因而光波磁場量的菲涅耳公式往往一些教科書中被忽略不講［1－9］。

3 結(jié) 論

根據(jù)E、H、k符合右手定則尤其E垂直于H的實際，利用非磁性各向同性介質(zhì)中E與H之間的數(shù)值的關(guān)系，結(jié)合E、H在界面上的切向分量連續(xù)的邊界條件，本文推導(dǎo)了光波在非磁性光學(xué)界面上磁場量H的s分量的反射系數(shù)rHs、透射系數(shù)tHs和p分量的反射系數(shù)rHp和透射系數(shù)tHp的表達式，即得出非磁性光學(xué)界面上磁場量H的菲涅耳公式，該組公式與非磁性光學(xué)界面上電場量E的菲涅耳公式是等價的；其中rHs等于電場量E的p分量的反射系數(shù)rEp；而rHp等于電場量E的s分量的反射系數(shù)rEs。利用rHs和rHp，也可以解釋光波在非磁性光學(xué)界面上分光（即反射和折射）時出現(xiàn)的π位相躍變效應(yīng)和布儒斯特效應(yīng)等重要的現(xiàn)象。非磁性光學(xué)界面上磁場量H的菲涅耳公式有助于人們?nèi)胬斫夤馔ㄟ^非磁性光學(xué)界面時的分光規(guī)律，因而是重要的。

［1］梁銓廷.物理光學(xué)［M］.3版.北京：電子工業(yè)出版社，2008：22－31.

［2］謝敬輝，趙達尊，閻吉祥.物理光學(xué)教程［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2005：32－44.

［3］范少卿，郭富昌.物理光學(xué)［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，1990：19－30.

［4］王 楚，湯俊雄.光學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001：28－34.

［5］趙達尊，張懷玉.波動光學(xué)［M］.北京：宇航出版社，1988：51－59.

［6］姚啟鈞.光學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1981：34－39.

［7］潘篤武，賈玉潤，陳善華.光學(xué)（上冊）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1997：41－55.

［8］廖延彪.光學(xué)原理與應(yīng)用［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2006：38－55.

［9］鐘錫華.現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2003：118－121.

［10］郭 軍.菲涅耳公式的驗證性實驗［J］.物理實驗，2009，30（2）：40－43.

［11］文盛樂，易慧先.介質(zhì)表面運動時的菲涅耳公式［J］.大學(xué)物理，2001，20（11）：5－8.

［12］范希智，祝霽洺.分振幅雙光束等傾干涉中半波損失的討論［J］.光學(xué)儀器，2012，34（5）：54－60.