楊川，謝延敏，隆強(qiáng)

(西南交通大學(xué)，四川成都610031)

代理模型作為分析工具和優(yōu)化算法之間的接口，得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。所謂代理模型，是指在不降低精度的情況下構(gòu)造的一個(gè)計(jì)算量小、周期短，但計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析或物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果相近的數(shù)學(xué)模型[1]。它是利用已知點(diǎn)(樣本)的響應(yīng)信息來(lái)預(yù)測(cè)未知點(diǎn)響應(yīng)值的一類模型，其實(shí)質(zhì)是以擬合精度和預(yù)測(cè)精度為約束，利用近似方法對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行逼近的數(shù)學(xué)模型。代理模型的構(gòu)造在數(shù)學(xué)上可以通過(guò)擬合和插值來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體方法有多項(xiàng)式擬合、插值和級(jí)數(shù)擬合等經(jīng)典方法，也有徑向基函數(shù)插值與Kriging 插值等新方法。其中，徑向基函數(shù)插值被證明是一種高精度的代理模型構(gòu)造方法[2－3]。

作者提出了基于徑向基函數(shù)(RBF)的代理模型方法，并結(jié)合U形薄板零件的沖壓成形參數(shù)進(jìn)行正交試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)，利用徑向基函數(shù)建立代理模型[4－5]。U形件是一種具有代表性的沖壓成形件。對(duì)此類零件的成形技術(shù)和沖壓成形過(guò)程中回彈的研究，對(duì)其他更復(fù)雜車身覆蓋件沖壓成形和沖壓模具開(kāi)發(fā)，有一定的借鑒與參考價(jià)值。

1 利用Dynaform 進(jìn)行成形模擬及回彈分析

以國(guó)際著名的數(shù)值模擬會(huì)議NUMISHEET’93的U形件成形為例，模具結(jié)構(gòu)如圖1所示，應(yīng)用Dynaform 對(duì)U形件的成形及回彈進(jìn)行模擬[6]。

圖1 模具結(jié)構(gòu)圖

板料采用鋁合金板材，長(zhǎng)度為350 mm，寬度為35 mm，厚度為1 mm，拉延深度為70 mm。

材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系見(jiàn)下式:

σ=K(ε0+ε)n

式中:σ為應(yīng)力;

K為材料常數(shù);

ε0為初始應(yīng)變;

ε為塑性應(yīng)變;

n為加工硬化系數(shù)。

材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

1.1 模型驗(yàn)證

(1)利用UG 對(duì)U形件的凸凹模及板料進(jìn)行CAD建模。

(2)然后通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換接口IGES 將曲面模型導(dǎo)入Dynaform中。建立對(duì)應(yīng)模型及網(wǎng)格劃分，如圖2所示。

圖2 有限元模型圖

(3)凸模沖壓速度為2 m/s，板料壓邊力為2 kN，工具間摩擦因數(shù)定義為0.12，進(jìn)行模擬計(jì)算，模擬后的成形極限圖如圖3所示，厚薄圖如圖4所示。

圖3 成形極限圖

圖4 厚薄圖

由圖3可以看出:上述條件下，沖壓成形后零件各部分均處于安全區(qū)域。圖4顯示零件的最小厚度為0.919 mm，變薄率在10%以內(nèi)，所以只需考慮回彈而不用擔(dān)心其他如拉裂、起皺等缺陷的產(chǎn)生。

回彈模擬結(jié)束后，以圖5中θ1和θ2為評(píng)價(jià)指標(biāo)[3]，測(cè)量相關(guān)回彈變形尺寸如表2所示。將文中得到的模擬結(jié)果與NUMISHEET’93的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以看出，文中得到的結(jié)果與會(huì)議給出的結(jié)果比較接近。因此文中采用的U形件彎曲回彈數(shù)值模擬技術(shù)是可行的。

圖5 回彈的評(píng)價(jià)方法

表2 真實(shí)試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果

1.2 影響因子及水平的確定

影響U形件成形回彈的因子包括:沖壓速度、壓邊力、摩擦因數(shù)、模具間隙、凹模圓角、相對(duì)彎曲半徑[7]，根據(jù)相關(guān)的設(shè)計(jì)手冊(cè)及設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，U形件成形回彈正交試驗(yàn)中影響因子水平選取如下:

(1)沖壓速度。文中取沖壓速度水平為2、3、4 m/s。

(2)壓邊力。文中取壓邊力水平為2、3、4 kN。

(3)摩擦因數(shù)。文中取摩擦因數(shù)水平為0.11、0.12、0.13。

(4)模具間隙。文中取模具間隙水平為1.05、1.1、1.15 mm。

1.3 正交表的選取及U形件成形正交試驗(yàn)結(jié)果

由于文中設(shè)有4個(gè)因子，而每個(gè)因子有3個(gè)水平，為了節(jié)省試驗(yàn)次數(shù)，一般應(yīng)盡量選用較少次數(shù)正交表，現(xiàn)在選取L9 (34)。將上述試驗(yàn)參數(shù)代入正交表可得試驗(yàn)方案表如表3所示[8－9]。

表3 試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果分析表

1.4 試驗(yàn)方案數(shù)據(jù)模擬

將表3中試驗(yàn)方案代入Dynaform 中以回彈角度y為響應(yīng)因子進(jìn)行回彈分析(如圖3所示)，可得試驗(yàn)回彈結(jié)果如圖6所示。

圖6 回彈分析圖

2 基于徑向基函數(shù)代理模型建立及優(yōu)化

徑向基函數(shù)模型方法就是尋找f(x)，x∈Rn來(lái)近似n維變量實(shí)值函數(shù)F(x)，用φ(r)作為函數(shù)f(x)的基函數(shù)，φ(r)由x與每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi徑向距離r 決定，其基本思想是:首先確定一組樣本點(diǎn)x=(x1，x2，…，xm)(i=1，2，…，m)，然后以這些樣本點(diǎn)為中心，以徑向基函數(shù)為基函數(shù)，通過(guò)這些函數(shù)的線性疊加來(lái)計(jì)算待測(cè)x 處的響應(yīng)值。通過(guò)歐氏距離，徑向基函數(shù)可以很容易地把一個(gè)多維問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為歐式距離自變量的一維問(wèn)題[10]。

徑向基函數(shù)的基本形式如下:

式(1)中:ri=‖x－xi‖是x與第i個(gè)采樣點(diǎn)xi在設(shè)計(jì)空間的距離，φ(·)為基函數(shù)，‖·‖為歐氏范數(shù)，c為非負(fù)常數(shù)，β為距離基函數(shù)φ(·)的加權(quán)系數(shù)。由于一般情況下任何函數(shù)都可以表示成一組基函數(shù)的加權(quán)和，所以可以實(shí)現(xiàn)從輸入樣本到基函數(shù)輸出之間的一種非線性映射[11]。

徑向基近似模型一般可表達(dá)如下:

用式(2)作為預(yù)測(cè)模型時(shí)，它要滿足如下的插值條件:

將式(3)代回式(2)，令rij=‖xi－xj‖(i，j=1，2，…，m)可以得到方程組:

文中用到的核函數(shù)多為二次函數(shù)，如下式所示:

式中:c是給定的大于零的常數(shù)參數(shù)，取核函數(shù)在c=1時(shí)的函數(shù)。

由式(4)、式(6)及表3可得:

式(4)在樣本點(diǎn)不重合、且函數(shù)φ(r)為正定函數(shù)時(shí)存在唯一解，即:

所以由上可得徑向基函數(shù)，利用MATLAB 中fmincon函數(shù)x優(yōu)化計(jì)算，各參數(shù)取值范圍為:1 ＜A ＜4，1 ＜B ＜4，0.11 ＜C ＜0.13，1.05 ＜D ＜1.15，可得優(yōu)化參數(shù):

A=2.885 6 m/s，B=3.044 2 kN，C=0.130 0，D=1.050 0 mm，y=1.172 9°

3 Dynaform 回彈的數(shù)值模擬驗(yàn)證

將優(yōu)化參數(shù)A=2.885 6 m/s，B=3.044 2 kN，C=0.130 0，D=1.050 0 mm，y=1.172 9°，代入模型進(jìn)行模擬仿真，測(cè)量回彈角y=1.28°，誤差率為9.3%。

4 結(jié)束語(yǔ)

首先確定回彈角為響應(yīng)因子，以壓邊力、沖壓速度、摩擦因數(shù)、凸凹模間隙為影響因子，進(jìn)行正交試驗(yàn)方案設(shè)計(jì);然后利用Dynaform軟件進(jìn)行回彈模擬，得出不同試驗(yàn)方案的回彈角;用徑向基函數(shù)建立代理模型，經(jīng)MATLAB 中fmincon函數(shù)優(yōu)化分析得出了優(yōu)化的影響因子值及回彈角，然后將優(yōu)化后的影響因子代入模型進(jìn)行模擬，驗(yàn)證了文中介紹的方法的可行性。

【1】楊逢瑜，婁磊，王順，等.基于改進(jìn)的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合控制在電液伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].機(jī)床與液壓，2009，37(9):187－189.

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【3】WANG Liping，BEESON Don，WIGGS Gene.A Comparison of Meta-modelling Methods Using Practical Industry Requirements[C]//AIAA 2006－1811.

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【5】王征.一種新型徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在模型辨識(shí)方面的應(yīng)用[J].機(jī)床與液壓，2005(12):130－131，51.

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【11】安治國(guó).徑向基函數(shù)模型在板料成形工藝多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[D].重慶:重慶大學(xué)，2009.