侯春枝 楊 肖 宋海珍 盧 成 李根全

（南陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，河南 南陽 473061）

物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常需要處理大量的重要實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然而數(shù)據(jù)的處理卻往往十分繁瑣.不僅如此，數(shù)據(jù)處理過程中容易出現(xiàn)錯誤，并且出現(xiàn)錯誤之后很難發(fā)現(xiàn).如果采用傳統(tǒng)的手工作圖的處理方法，工作量很大，耗時也很長，手工實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果粗糙且會引入附加誤差，這樣會大大影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果.因此選用合理高效的數(shù)據(jù)處理方法就顯得尤為重要.Matlab（Matrix Laboratory）軟件是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件［1］.相對于其他科技應(yīng)用軟件，Matlab具有強(qiáng)大的繪圖和數(shù)據(jù)分析功能，僅需簡單計算機(jī)語言便可實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)編輯、整理、統(tǒng)計分析以及圖形的繪制.這樣不僅工作效率高，而且還大大增強(qiáng)結(jié)果分析的準(zhǔn)確性，最大程度上減少了實(shí)驗(yàn)誤差.

目前，已有一些關(guān)于運(yùn)用Matlab 軟件對物理 實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù) 處 理 的 報 道.［2－7］譬 如，劉［3］等 人 利 用Matlab 語言通過最小二乘法進(jìn)行曲線擬合對銅－鐵熱電偶的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，討論了Matlab處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn).藍(lán)［4］等人運(yùn)用Matlab語言進(jìn)行循環(huán)編程，繪制出了鈉原子的能級圖.劉［5］等人利用Matlab的GUI圖形編輯器工具，方便快捷地計算出了光柵常數(shù)及角色散率.以單擺測重力加速度實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理為例，姚［7］探討了用Matlab 語言對物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法的處理.但是關(guān)于Matlab軟件的線性回歸和交互式繪圖的研究卻很少.本文以霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)為例，主要介紹了利用Matlab軟件的線性回歸、曲線擬合和交互式繪圖的方法，說明Matlab軟件可以通過簡單編程擬合出霍爾電壓隨工作電流的變化曲線，進(jìn)而得出霍爾系數(shù)和霍爾靈敏度，能有效避免手工繪圖處理帶來的誤差.

1 實(shí)驗(yàn)原理

置于磁場中的載流體，如果電流方向與磁場方向垂直，則在垂直于電流和磁場的方向會產(chǎn)生一附加橫向電場，這個現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng).本文以N 型半導(dǎo)體試樣為例，設(shè)e為載流子（電子）電量，v為載流子在電流方向上的平均定向漂移速率，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，F(xiàn)1為洛倫茲力，其方向豎直向下.則試樣中載流子將受洛倫茲力的大小為

此時試樣中載流子將受一個與F1方向相反的橫向電場力F2，其大小為

從式（2）可以看出，F(xiàn)2的大小是隨電荷的積累而增大，達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時，兩個力平衡，即載流子所受的橫向電場力eE 與洛倫茲力evB 大小相等，方向相反，故有

假設(shè)試樣的寬度為b，厚度為d，載流子濃度為n，則電流強(qiáng)度IS與v 的關(guān)系為

由式（3）、（4）可得

即霍爾電壓UH與ISB 乘積成正比且與試樣厚度d 成反比.其中RH可表示為

它是反映材料霍爾效應(yīng)強(qiáng)弱的重要參數(shù)，即霍爾系數(shù).且K 為圖線UH－IS的斜率，b為圖線UH－IS的截距.霍爾靈敏度用KH來表示，即

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)處理

由霍爾電壓UH與霍爾工作電流IS的關(guān)系，利用Matlab軟件繪制UH－IS曲線.保持勵磁電流IM不變，大小恒為0.6A，IS取值1.00～4.00mA，厚度d 為0.5mm，B 為0.2388T.其中UH＝（U1－U2＋U3－U4）/4.表1為實(shí)驗(yàn)測得的IS與UH的數(shù)據(jù)表.

表1 與霍爾工作電流對應(yīng)的4個不同方向的霍爾電壓和平均電壓

2.1 多元線性回歸方法

實(shí)驗(yàn)中，一種現(xiàn)象常常與多個因素相聯(lián)系，由多個自變量的最優(yōu)組合共同來預(yù)測或估計自變量，稱為多元線性回歸.在Matlab的Comand Window 中輸入指令：

圖1 霍爾電壓隨工作電流的變化曲線圖

圖2 殘差分析圖

從程序的結(jié)果可知b＝0.0067，K＝－3.3707；b的置信區(qū)間是［－0.0027，0.0161］，K 的置信區(qū)間為［－3.3752，－3.3662］，說明b和K 都是合理的，又p＝0＜0.05，因此圖1的回歸模型為y＝0.0067－3.3707x.從殘差分析圖2中可以看出，除少數(shù)幾個數(shù)據(jù)點(diǎn)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明回歸模型y＝0.0067－3.3707x 能較好地符合原始數(shù)據(jù).所以霍爾靈敏度KH為－14.1152，霍爾系數(shù)RH為－0.0071.由以上的數(shù)據(jù)處理可知，Matlab軟件的多元線性回歸可以有效地處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，具有簡單快捷的特點(diǎn).

2.2 曲線擬合方法

擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值，通過調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)，使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的差別最小.為得到UH－IS的擬合曲線，我們在Matlab軟件的M 文件中輸入程序：

將程序保存之后再運(yùn)行，可以得到如下結(jié)果：

圖3 霍爾電壓隨工作電流的變化曲線圖

由結(jié)果可知，擬合直線方程式為y＝0.0067－3.3707x，擬合直線的相關(guān)系數(shù)r＝1，所以霍爾靈敏度KH為－14.1152，霍爾系數(shù)RH為－0.0071.圖3為UH－IS擬合曲線，圖3中“o”表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，“＋”表示擬合直線.從運(yùn)行結(jié)果可以看出，所測量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)無錯誤數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)合理地分布在擬合直線上，相關(guān)系數(shù)r等于1.說明用線性回歸函數(shù)比較合理，從而說明了UH和IS的線性相關(guān)性較好.

根據(jù)Matlab軟件繪制霍爾電壓與工作電流之間的變化關(guān)系圖，再利用曲線擬合所有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，并在直線上取任意兩點(diǎn)求出直線的斜率，進(jìn)而很容易得出霍爾系數(shù)和霍爾靈敏度，因此在實(shí)驗(yàn)前，如果能編好一個實(shí)驗(yàn)程序就可以處理大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

2.3 交互式繪圖方法

首先在Matlab的Comand Window 中輸入如下指令：

再按回車鍵，出現(xiàn)操作界面中曲線，如圖4所示.

由圖4的散點(diǎn)圖可知，這些點(diǎn)近似趨于一條直線，因此采用線性擬合方法.從圖4 可得，擬合曲線方程式為y＝－3.4x＋0.0067，誤差為0.052751，遠(yuǎn)小于1，說明擬合的曲線很合理.所以求得的霍爾靈敏度KH為－14.2379，霍爾系數(shù)RH為－0.0071.由以上操作可知，Matlab軟件的交互式繪圖不僅提供了一個完美的圖形用戶界面，用戶不需計算機(jī)數(shù)據(jù)專業(yè)知識即可操作完成，而且可以方便快捷地處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)造出物理圖像，并利用殘差分析使學(xué)生更好地理解物理現(xiàn)象及物理規(guī)律.因此，Matlab軟件具有提供迅速、準(zhǔn)確的信息，清晰的圖形［8－10］，簡單直觀的可視化操作過程和開放性強(qiáng)的特點(diǎn).

圖4 Matlab操作界面中曲線

3 結(jié)語

Matlab軟件簡單易學(xué)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛.文章以霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)為例，通過運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行簡單編程，對實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，展示了其在大學(xué)物理教學(xué)中的成功應(yīng)用.Matlab計算與圖形功能強(qiáng)大，不僅給物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)帶來了極大的方便，同時也使物理實(shí)驗(yàn)變得更加生動.在實(shí)驗(yàn)課程中加入Matlab軟件輔助教學(xué)，可以更加直觀地反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這對物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)起到了較大的促進(jìn)作用，適合在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)用.

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