張 俊，顧廣澤?，楊余飛

（1.湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410082；2.長沙學(xué)院 信息與計算科學(xué)系，湖南 長沙 410003）

基于改進(jìn)的Chambolle對偶迭代的圖像分割方法＊

張 俊1，顧廣澤1?，楊余飛2

（1.湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410082；2.長沙學(xué)院 信息與計算科學(xué)系，湖南 長沙 410003）

為了克服基于對偶迭代的分割方法在要求達(dá)到較高精度的分割時收斂較慢的缺點，提出了對二相位分片常數(shù)Mumford-Shah模型的一個子問題采用改進(jìn)的Chambolle對偶迭代進(jìn)行求解.通過對Chambolle對偶迭代和一種修正對偶迭代分別進(jìn)行局部傅立葉分析，證明了所提出的算法的合理性.實驗結(jié)果表明：對于two-cell圖像，dot256圖像，當(dāng)終止準(zhǔn)則精度要求更高時，提出的算法迭代步數(shù)少，收斂更快.

圖像分割；對偶算法；水平集方法；局部傅立葉分析

基于邊緣的圖像分割方法對于噪聲是非魯棒的，一般對帶噪的圖像不得不進(jìn)行光滑化.而基于區(qū)域的圖像分割方法利用了區(qū)域和邊緣信息，它對噪聲是魯棒的.Mumford-Shah模型［1］就是基于區(qū)域的分割模型中最著名的模型之一.后來，Chan和Vese［2］提出了二相位分片常數(shù) Mumford-Shah模型，即CV模型，并提出了CV模型的水平集構(gòu)造，Veset和Chan［3］把它推廣到多相位分片常數(shù) Mumford-Shah模型的力割.

基于Chambolle對偶算法［4］在圖像復(fù)原應(yīng)用中取得了巨大成功，Wang和Gu［5］把Chambolle對偶算法應(yīng)用到了二相位分片常數(shù)Mumford-Shah模型圖像分割中，得到了較好的分割效果.同時，我們注意到采用非線性多重網(wǎng)格算法解ROF模型的對偶問題［6］，其光滑迭代采用改進(jìn)的Chambolle對偶迭代時，收斂速度得到了很大程度的改善.在此基礎(chǔ)上，本文提出對二相位分片常數(shù)Mumford－Shah模型的一個子問題采用改進(jìn)的Chambolle對偶迭代進(jìn)行求解.數(shù)值實驗表明，所提出的算法在進(jìn)行二相位圖像分割時具有一定的優(yōu)勢.

1 問題闡述

本文考慮下述著名的二相位分片常數(shù)Mumford-Shah模型（即CV模型）：

為了描述求解上述最小值問題的分片常數(shù)水平集方法［7－8］，首先引進(jìn)一個不連續(xù)分片常數(shù)水平集函數(shù)，如文［5］所示可將原問題轉(zhuǎn)化為如下3個子問題.

2 局部傅立葉分析

下面給出算法收斂速度的局部傅立葉分析.一般的傅立葉分量為：

2.1 修正對偶迭代的局部傅立葉分析

基于同樣的推導(dǎo)過程，放大矩陣Aα，β和文獻(xiàn)［6］中一樣.在高頻范圍計算光滑速度 maxα，β ρ（Aα，β），計算結(jié)果列在表1，s＝－4提供了很大的改進(jìn).

表1 τ2＝1／8時修正對偶迭代的光滑速度Tab.1 Smoothing rate of the modified dual iteration withτ2 ＝1／8

3 改進(jìn)的Chambolle對偶算法

4 數(shù)值實驗

實驗中采用基于Chambolle對偶迭代的分割方法（用CDA表示）與基于改進(jìn)的Chambolle對偶迭代的分割方法（用MCDA表示）進(jìn)行比較.從相鄰兩次迭代的最大pixel-wise誤差曲線，即

實驗1 采用84×84的two-cell圖像.實驗中兩種算法選擇的參數(shù)值為：λ＝1，μ＝103，θ＝104，γ＝10－2，s＝－4.圖1（a），圖1（b）分別為CDA與MCDA 關(guān)于不同時間 步長的 Emax｛φn＋1，φn｝曲 線圖.τ1＝0.25，τ2＝0.10時，兩種分割方法進(jìn)行比較見圖1（c）.當(dāng)Emax｛φn＋1，φn｝≤10－4時迭代終止，我們發(fā)現(xiàn)兩種算法在迭代86步后得到幾乎相同的分割圖像，見圖1（d），本文提出的算法MCDA保持了快速分割的能力.如圖1（c）所示，當(dāng)終止準(zhǔn)則精度要求更高時，MCDA迭代步數(shù)少，收斂更快，這表明采用MCDA對圖像進(jìn)行分割時顯得更加準(zhǔn)確.

圖1 Two-cell圖像兩種算法分割結(jié)果比較Fig.1 Comparison of the segmentation results of two-cell image

實驗2 改用相當(dāng)復(fù)雜的256×256的dot256圖像進(jìn)行實驗.兩種算法選擇的參數(shù)值與上個實驗選取的參數(shù)值相同.圖2（a），圖2（b）分別為CDA與 MCDA關(guān)于不同時間步長的Emax｛φn＋1，φn｝曲線圖.τ1＝0.10，τ2＝0.11時，兩種分割方法進(jìn)行比較見圖2（c）.當(dāng)Emax｛φn＋1，φn｝≤10－4時迭代終止，我們發(fā)現(xiàn)兩種算法在迭代80步后得到幾乎相同的較滿意的分割圖像，見圖2（d）.如圖2（c）所示，當(dāng)終止準(zhǔn)則精度要求更高時，MCDA收斂更快，這表明采用MCDA對圖像進(jìn)行分割時更加準(zhǔn)確.

圖2 Dot256圖像兩種算法分割結(jié)果比較Fig.2 Comparison of the segmentation results of dot256image

5 結(jié) 語

對基于Chambolle對偶迭代的二相位分片常數(shù)水平集圖像分割方法做了改進(jìn)，提高了分割的質(zhì)量.所提出的方法不僅分割速度快，而且精度高，分割的結(jié)果準(zhǔn)確.two-cell圖像，dot256圖像的分割結(jié)果表明了所提出的方法具有速度較快、分割較準(zhǔn)的特點.

［1］ MUMFORD D，SHAH J.Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems［J］.Comm Pure Appl Math，1989，42（5）：577－685.

［2］ CHAN T F，VESE L A.Active contours without edges［J］.IEEE T Image Process，2001，10（2）：266－277.

［3］ VESE L A，CHAN T F.Amultiphase level set frarnewerk for image seynertation using the munford and shah model international［J］.Journal of Computer Vision，2002，50（3）：271－293.

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［7］ LIE J，LYSAKER M，TAI X C.A binary level set model and some applications to mumford-shah image segmentation［J］.IEEE Trans Image Process，2006，15（5）：1171－1181.

［8］ LIE J，LYSAKER M，TAI X C.Avariant of the level set method and applications ＆image segmentation［J］.Mathematics of Computation，2006，75：1155－1174.

Image Segmentation Method Based on the Improved Dual Iteration of Chambolle

ZHANG Jun1，GU Guang-ze1?，YANG Yu-fei2

（1.College of Mathematics and Econometrics，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China；2.Dept of Information and Computing Science，Changsha Univ，Changsha，Hunan 410003，China）

In order to overcome the slow convergence of the segmentation method based on the Chambolle＇s dual iterations to achieve high precision segmentation，we proposed an improved dual iteration of Chambolle to solve one of the sub-problems arising from the two-phase piecewise constant Mumford-Shah model.By using the LFA of the Chambolle＇s dual iterations and a modified dual iteration respectively，we have proved that the proposed algorithm is very reasonable.Experiment results have shown that，for the two-cell image and the dot256image，when the accuracy of the termination criterion is higher，the number of iterations of the proposed algorithm is less，and it converges faster.

image segmentation；dual algorithm；level set method；local Fourier analysis

TP751

A

1674-2974（2013）05-0099-04

2012-06-10

國家自然科學(xué)基金資助項目（60872129）；湖南省科技計劃項目（2011FJ3003）；長沙市科技計劃項目（K1207023-31）

張 ?。?985－），男，湖北武漢人，湖南大學(xué)博士研究生

?通訊聯(lián)系人，E-mail：to＿gzgu＠163.com