劉建廠 張秀強

（海司信息化部，北京100841）

引 言

天線在艦艇無線通信中起著重要作用，艦艇由于空間狹小，使用尺寸合適的線天線具有實際意義，研究對稱振子是研究線天線的基礎(chǔ).天線參數(shù)有很多，輸入阻抗是天線的重要參數(shù)，只有知道了天線的輸入阻抗，才可以選取合適的饋電傳輸線與其連接［1-2］.

用解析方法嚴格求解天線的輸入阻抗是很困難的，因為首先必須準確計算天線上的電流分布.在工程應(yīng)用中，對于對稱振子天線，經(jīng)常使用一些近似方法，如坡印廷矢量法、等效傳輸線法和感應(yīng)電動勢法等，但這些近似方法比較適用于細振子天線，對于直徑較大的振子，誤差較大，此時，比較準確計算對稱振子的輸入阻抗只能使用數(shù)值計算方法，如矩量法、時域有限差分法和有限元法［3］等.矩量法在天線數(shù)值計算領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，求解過程簡單，步驟統(tǒng)一，一般情況下，可以給出在實驗誤差精度內(nèi)的結(jié)果.

分析了前面提到的3種近似方法，重點是等效傳輸線法［3-6］.對解析方法——海倫積分法［1，5，7-8］求解對稱振子輸入阻抗的計算過程進行了研究，并與矩量法的數(shù)值計算結(jié)果進行了比較，最后計算了邊靠邊不等長平行對稱振子的互阻抗.

1 對稱振子的輻射阻抗

計算對稱振子的輸入阻抗，首先必須計算它的輻射阻抗，而計算輻射阻抗又必須確定對稱振子的電流分布.如圖1所示的細對稱振子，振子半徑為

圖1 對稱振子示意圖

a，一臂長為l，總長度為L＝2l，總是假定其上電流近似于正弦分布，可以寫作

式中：Ⅰm為電流波腹點的復(fù)振幅；k＝2π／λ為自由空間相移常數(shù).隨著振子半徑增大，電流分布與正弦分布出現(xiàn)偏差.對稱振子輻射場的計算，可以參考相關(guān)教材，這里直接給出歸算于波腹電流的輻射電阻Rr和輻射電抗

2 對稱振子的輸入阻抗

天線的阻抗特性包括輻射電阻和輸入阻抗，如果不考慮天線的自身損耗，輸入電阻等于歸算于饋電點電流的輻射電阻［3］.

解析求解對稱振子的輸入阻抗是一個邊值型問題，就是根據(jù)天線表面的邊界條件和激勵條件求解麥克斯韋方程組，常用的三種方法是長旋轉(zhuǎn)橢球天線法、對頂雙錐天線法和圓柱天線法［1，5］.長旋轉(zhuǎn)橢球天線法尤其適用于分析粗振子天線；對頂雙錐天線法適用于分析細振子天線，但這兩種方法不能用來分析多根振子組成的天線；而圓柱天線法能用來分析多根振子組成的復(fù)雜天線［1］.

工程上計算對稱振子的輸入阻抗，一般使用前文所述的坡印廷矢量法、感應(yīng)電動勢法和等效傳輸線法等近似方法.

坡印廷矢量法是在天線的遠場區(qū)對坡印廷矢量進行積分，將天線的輻射功率等效為一個電阻吸收的功率，這個等效電阻就是天線的輻射電阻，該方法只能得到輻射電阻，無法求得輻射電抗，得出的輻射電阻形式如式（2）所示.

感應(yīng)電動勢法是在天線表面對坡印廷矢量進行積分，因而可以得到輻射電抗，在振子較細的情況下，所得輻射電阻結(jié)果與式（2）相同，輻射電抗結(jié)果如式（3）所示，對稱振子輻射電阻和輻射電抗隨長度的變化曲線如圖2所示.

圖2 對稱振子輻射電阻和輻射電抗隨長度變化曲線

結(jié)合坡印廷矢量法和感應(yīng)電動勢法得到的輸入阻抗為［9］：

因為在工程上使用等效傳輸線法計算對稱振子的輸入阻抗比較簡便，下面重點分析此方法.

2.1 等效傳輸線法

等效傳輸線法是將長度為2l、半徑為a的對稱振子天線看作距雙線傳輸線終端l長的一段向相反方向張開90°形成的，因而可以等效為具有一定平均特性阻抗且終端開路的有耗傳輸線［2-3，5-6］.

如圖1所示對稱振子的平均特性阻抗

有耗傳輸線的傳播常數(shù)

式中：α為衰減常數(shù)；β為相位常數(shù)；R1為單位長度電阻.忽略介質(zhì)的漏電損耗和導(dǎo)線的熱損耗，即G1＝0，且R1／ωL1?1時，式（7）可表示為

此時

另外一種推導(dǎo)方式，求解方程組

可以看出，兩種方式所得的衰減常數(shù)是一致的，而相位常數(shù)的形式有所不同.實際上，式（11）通過兩次級數(shù)展開，也能得出如式（10）形式的β值，此處采用式（11）形式的β值.

將對稱振子的輻射功率等效為傳輸線分布電阻，即單位長度電阻R1的損耗功率，根據(jù)對稱振子的損耗功率等于天線的輻射功率這一條件，即

將式（1）帶入式（13）可得

進一步得到衰減常數(shù)

經(jīng)過推導(dǎo)，得到輸入阻抗為

當0＜l／λ≤0.35和0.65≤l／λ≤0.85時［5］，式（16）可以化簡為

式（17）的實部與式（4）形式相同，只是相位常數(shù)不同.

2.1.1 分析比較

由式（11）可以看出：β＞k，這代表著天線上波長縮短了，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因，一方面是由于對稱振子的輻射引起了電流衰減，使得電流相速減小，線上相移常數(shù)大于自由空間相移常數(shù)；另一方面，對于有一定線徑的對稱振子，因為末端效應(yīng)的存在，等效于振子長度增加了，也會造成波長縮短［2-6］.本文前面求得的相位常數(shù)實際上只考慮了第一個因素.波長縮短因子的計算非常復(fù)雜，一般靠實驗數(shù)據(jù)得到［2-3，5］.

圖3是根據(jù)式（16）計算所得的輸入阻抗隨振子長度的變化關(guān)系，對于半徑a＝0.001λ的半波振子，通過計算得到的輸入阻抗為（73-j2.7）Ω，可以看出輸入阻抗是容性的，而實際上細半波振子的輸入阻抗是感性的.這說明只考慮第一個因素，得到的結(jié)果誤差比較大，有必要對第二個因素，即天線末端效應(yīng)引起的誤差進行修正，此處直接引用文獻［6］的結(jié)果，對誤差進行修正.

圖3 對稱振子輸入阻抗隨振子長度變化的關(guān)系

2.1.2 等效傳輸線法的修正

考慮到對稱振子的末端效應(yīng)，振子末端電流值實際并不為零，這相當于振子變長了，振子一臂增加的長度［6］為

振子一臂長度變?yōu)?/p>

將式（16）重寫如下

使用式（16）和式（20）分別對半徑a＝0.01λ和a＝0.001λ的對稱振子計算其輸入阻抗，得到的數(shù)據(jù)如圖4所示，圖中實線是使用式（16）得到計算結(jié)果，虛線是使用式（20）得到的計算結(jié)果.可以看出，使用式（20）所得數(shù)據(jù)畫出的曲線向左移動了，阻抗特性得到了改善，對于線徑較大的半波振子，電抗值變?yōu)楦行粤?

作為比較，下面使用海倫積分法和矩量法來求解對稱振子的輸入阻抗.

圖4 修正前后對稱振子輸入阻抗與振子長度的關(guān)系

2.2 海倫積分法

對于圖1所示的細對稱振子，根據(jù)海倫積分方程［1，3，5，7-8］

經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到電流分布的級數(shù)解為［1，5，7-8，10］

式中，V是輸入端的電壓.當z＝0時，得到輸入阻抗二階解為

式中：Ω1＝2ln（2l／a）；p1＝F1（l）；p2＝F2（l）；

令

進而得到：

G1（z）和G1（l）形式與F1（z）和F1（l）分別相同.

式中：

G2（z）和G2（l）形式與F2（z）和F2（l）分別相同.

在a?l，ka?1時，可以將r寫作r＝｜z′-z｜，對于具有一定線徑的天線，這樣處理會使得電流分布在天線兩端附近產(chǎn)生很大誤差［7］，但在離開天線兩個端點距離為天線半徑的3～4倍后，誤差就變得很小了.在這種情況下可以得出F1（l）、G1（l）、F1（z）和G1（z）的解析表達式［7，10］：

進一步得到

經(jīng)過這樣處理，可以得到輸入阻抗一階解析解，但在求解二階解時，積分過程非常容易產(chǎn)生奇異值，使輸入阻抗二階解很不穩(wěn)定，故文章中取r＝（a2＋（z-，采用原始積分法求解輸入阻抗.

2.3 矩量法

在使用矩量法［3，5，11-14］過程中，選用反應(yīng)積分方程，采用分段正弦基函數(shù)，應(yīng)用伽略金法.

對如圖1所示半徑a＝0.001λ的對稱振子使用三種方法計算輸入阻抗所得結(jié)果如圖5所示，圖中實線是按照公式（20）計算所得結(jié)果；虛線是使用海倫積分法所得結(jié)果；星形線是矩量法的計算結(jié)果.可以看出，應(yīng)用公式（20）所得結(jié)果與使用海倫積分法求得的二階解差別不大，但與文獻［15］中矩量法的計算結(jié)果還是存在一定差距，特別是在振子長度為0.8～1.3個波長時.相信隨著階數(shù)的增加，矩量法與海倫積分法求得數(shù)據(jù)的一致性應(yīng)該很好.

圖5 三種方法計算的對稱振子輸入阻抗隨長度變化關(guān)系

對于半波振子，公式（20）給出的輸入阻抗值為（73.4＋j43.1）Ω，海倫積分法給出的輸入阻抗二階解為（79.4＋j40.3）Ω，矩量法給出的數(shù)值解為（83.9＋j43.3）Ω，由此可見，對于半徑不是很大的半波長左右的對稱振子，使用公式（20）可以得出比較準確的結(jié)果.

3 對稱振子的互阻抗

文章只分析了如圖6所示的兩邊靠邊不等長平行對稱振子的互阻抗.以振子2波腹電流為參考，振子1在振子2的輸入端感應(yīng)的開路電壓［9，16］

圖6 邊靠邊不等長平行對稱振子示意圖

歸算于振子1和振子2波腹電流的互阻抗為

根據(jù)文獻［9］的結(jié)果

r1、r2和r分別是振子1的兩個端點和中點到觀察點的距離，對于如圖6所示的兩平行對稱振子來說，可以看作是分別到振子2上某點的距離，即可以寫作

將式（1）和（31）代入式（30），得到歸算于振子1和振子2波腹電流的互阻抗

而歸算于輸入電流的互阻抗

L1＝0.5λ、L2＝0.45λ和L1＝0.6λ、L2＝0.4λ的兩組邊靠邊不等長平行對稱振子歸于輸入電流的互阻抗隨間距變化的曲線如圖7所示.

由圖7可以看出：對稱振子的互阻抗與振子半徑無關(guān)，隨著間距的增加，逐漸變得很?。磺一プ杩箤φ褡娱L度的變化不是很敏感，在對精度要求不是很高時，兩半波長左右邊靠邊不等長平行對稱振子的互阻抗可以用兩邊靠邊平行半波振子的互阻抗來代替.

4 結(jié) 論

圖7 邊靠邊不等長平行對稱振子互阻抗隨間距變化曲線

輸入阻抗是一個重要的天線參數(shù)，振子粗細對輸入阻抗的影響較大.文章詳細分析了求解對稱振子輸入阻抗的各種理論和方法，包括近似方法（坡印廷矢量法、等效傳輸線法和感應(yīng)電動勢法）、解析方法（海倫積分法）和數(shù)值方法（矩量法），并著重對等效傳輸線法和海倫積分法進行了研究.

對等效傳輸線法的不足提出了實用的修正方法，分析了海倫積分法求解對稱振子輸入阻抗的過程，并推導(dǎo)了求解過程中各個重要參數(shù).

通過將修正方法的計算結(jié)果與海倫積分法和矩量法的計算結(jié)果進行比較，證明了除去諧振點附近的點，對于一般對稱振子，修正后的方法能得到比較準確的計算結(jié)果.下一步的研究重點是繼續(xù)對復(fù)雜天線的輸入阻抗求解理論和方法進行研究.

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