張 磊，龔曉南，俞建霖

（1.西安建筑科技大學 土木工程學院，西安710055；2.浙江大學 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點試驗室，杭州310058）

對于承受水平荷載的樁基礎(chǔ)，許多學者做了大量研究［1－7］。為了計算樁身響應，中國樁基規(guī)范［8］建議采用m法，并編制了相關(guān)表格。由土體沉積特點可知，土抵抗側(cè)向變形的能力一般隨深度的增加而增大。m法假定地基反力系數(shù)沿深度線性增加，近似體現(xiàn)了地基土體這一特點。實測及計算結(jié)果均表明，水平荷載樁的樁身位移一般上部較大，下部較小。m法假定地表處地基反力系數(shù)為零，對上部土體抵抗側(cè)向變形的能力考慮不周，導致上部土體強度較高時，如為巖石或硬黏土等，計算結(jié)果與實測值相差較大［9］。另外，該法為線彈性地基反力法的一種，只適用于地面處樁身位移小于10mm的情況［10］。當樁身位移較大時，如海洋工程中的樁基礎(chǔ)［11］，土體的非線性特性表現(xiàn)的非常明顯，此時計算誤差就較大。Matlock［12］和 Reese等［13］基于實驗結(jié)果提出p－y曲線法。該法通過量測樁身響應，總結(jié)出土反力與樁身位移的關(guān)系曲線，可以考慮土體變形的非線性與彈塑性，并在一定程度上考慮了土彈簧之間的相互作用，計算精度較高；但由于計算復雜，參數(shù)選取困難等原因，未能推廣使用［14］。Hsiung等［15－16］通過簡化p－y 曲線，把地基土分為上部的塑性段和下部的彈性段，求得地基反力系數(shù)為常數(shù)且樁頂自由條件下樁身響應的解析解，常林越等［17］求得樁頂固定時的解，張磊等［18］求得考慮樁身軸力影響的解；Guo［19－20］考慮了土彈簧之間的相互作用，求得樁身響應的解析解。然而，以上研究［15－20］均假定地基反力系數(shù)為常數(shù)，一般適用于超固結(jié)黏土和密實砂土。對于正常固結(jié)土、欠固結(jié)土以及松砂，考慮地基反力系數(shù)沿深度的變化，對提高計算精度及研究樁土相互作用機理具有重要意義。

基于Poulos［21］的建議，考慮土體屈服，針對地基反力系數(shù)在地表處不為零并沿深度線性增加的情況，求得樁身響應的解，并用FORTRAN語言編制了計算程序。與現(xiàn)場實測值及Hsiung解［15－16］的計算結(jié)果對比，還分析了一些因素對樁身響應的影響。

1 控制方程及求解

1.1 方程的建立

水平承載單樁分析模型如圖1所示，樁頂作用水平力Q0和力矩M0。上部土體由于樁身位移超過土體屈服位移而進入塑性流動狀態(tài)，下部土體仍處于彈性狀態(tài)［15－17］。塑性段樁長為 H1，彈性段樁長為H2。采用的樁土相互作用分析模型如圖2（a）所示，土反力與樁身位移的關(guān)系如圖2（b）所示。塑性段土反力為

式中：b為樁的寬度；u＊為土體屈服位移；k1（z′）＝m（z0＋z′），為地基反力系數(shù)，z0為地面處當量深度，m為比例系數(shù)。

由文獻［12］，黏土的屈服位移可取為

式中：εc為應變，根據(jù)土的狀態(tài)取值，一般為0.005～0.02。由文獻［13］，砂土的屈服位移可取為

彈性段土反力與樁身水平位移成正比：

式中：u為樁身位移；k2（z）＝m（z0＋H1＋z），為彈性段地基反力系數(shù)。

圖1 水平承載樁示意圖

圖2 樁土相互作用

假定：位移以向右為正，轉(zhuǎn)角以向左傾斜為正，彎矩以樁身右側(cè)受壓為正，剪力以繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正。基于歐拉梁理論，水平荷載樁塑性段樁身撓曲線微分方程為

式中：u′為塑性段樁身位移；EI為樁的抗彎剛度。同理，彈性段樁身的撓曲線微分方程為

1.2 方程解答

式（5）可求得解析解，另由歐拉梁理論中轉(zhuǎn)角、彎矩和剪切力與橫向位移的關(guān)系，得塑性段樁身變形和內(nèi)力的解為

式中：U′＝ ｛u′，φ′，M′，Q′｝T，φ′、M′和Q′分別為z′處樁的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪切力u0和φ0分別為地表處樁的位移和轉(zhuǎn)角；

式（6）不能求得解析解。彈性段樁身水平位移可采用冪級數(shù)形式表示：

式中：a為待定系數(shù)。把式（8）代入式（6）進行求解，并利用歐拉梁理論中轉(zhuǎn)角、彎矩和剪切力與橫向位移的關(guān)系，得彈性段樁身變形和內(nèi)力的解為

式中：U＝ ｛u，φ，M，Q ｝T，φ、M和Q分別為z處樁的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪切力；Uh＝ ｛uh，φh，Mh，Qh｝T，uh、φh、Mh和Qh分別為彈性段樁身頂端的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪切力；， ，式中c可按下 式 計 算：c1，0＝1c1，1＝00；其余項的遞推公式為：

求得式（7）和式（9）后，樁頂未知的邊界值可通過樁頂和樁底已知的邊界值，以及樁的變形和內(nèi)力在彈塑性分界點處的連續(xù)性求得，樁身任一點處的變形和內(nèi)力也可通過式（7）和式（9）求得。彈塑性分界點的位置可由二分法求得。另外，還可采用二分法近似求得樁身剪切力為零的點，也即樁身彎矩的微分為零的點，再比較該點彎矩和樁頂彎矩以得到最大彎矩。

2 算例驗證

基于所得解，采用計算機語言FORTRAN編制了計算程序。為了驗證解及程序的可靠性，以下與現(xiàn)場實測值及Hsiung解［15－16］的計算結(jié)果進行對比。Mohan等在1971年報道了一組水平荷載樁現(xiàn)場實測結(jié)果［22］，樁身由鋼管制成，樁長為5.25m，樁徑為10cm，抗彎剛度EI＝313.6kN·m2，樁頂和樁底的約束條件均為自由。地面至地面以下3.3m范圍內(nèi)為砂土，其下為黏土。由于水平荷載樁的位移一般發(fā)生在樁身上部，土體屈服位移按砂土取值：u＊＝3.75mm。本文解土體參數(shù)取值：m＝24.0 MN／m4，z0＝0.3m；Hsiung解［15－16］中地基反力系數(shù)：k＝15.8MN／m3。樁頂施加水平力Q0＝4.9 kN，力矩M0＝0kN·m。樁的水平位移和彎矩沿樁身分布的實測值及計算值如圖3所示。

圖3可見，Hsiung解［15－16］計算出的地面處樁身位移約比實測值大11.2%，計算出的樁身最大彎矩約比實測值小14.2%；而解計算出的地面處樁身位移只比實測值大2.0%，樁身最大彎矩比實測值小2.3%。

3 影響因素分析

另以某工程鋼管樁為例分析，樁長為20m，直徑為0.61m，抗彎剛度EI＝170.2MN·m2；土體屈服位移u＊＝1cm，z0＝0.2m，m＝40MN／m4；樁底約束條件為自由。

3.1 水平荷載及樁頂約束條件的影響

圖3 計算值與現(xiàn)場實測值對比圖

假定樁底自由，針對自由和固定兩種樁頂約束條件及不同的荷載大小，計算得到的樁身水平位移和彎矩沿樁身的分布如圖4所示。由于樁頂固定時樁身彎矩的最大值為負值，為繪圖方便，該條件下的彎矩反號。隨著水平力和力矩的增加，樁身位移和彎矩都非線性增大。地面處樁身位移最大，距離地面的距離越大樁身位移越小，距地面的距離超過10倍樁徑時樁身響應極小，可忽略不計，且樁身響應較大的樁段長度不隨荷載大小和樁頂約束條件的改變而發(fā)生變化。樁頂約束條件的影響很大。樁頂位移最大。樁頂固定時，樁頂彎矩最大；樁頂自由時，最大彎矩發(fā)生在樁頂以下某點處，其位置隨力矩的增加而向上移動，隨水平力的增加而向下移動。

圖4 樁身響應沿深度分布圖

3.2 土體屈服位移及參數(shù)m的影響

假定作用在樁頂?shù)乃搅?00kN，力矩為200kN·m，樁頂自由，在不同的m值下樁的最大位移和最大彎矩與土體屈服位移的關(guān)系如圖5所示。由圖5（a）可見，樁頂位移隨土體屈服位移的增加而減小，且其變化的幅度隨土體屈服位移的增加而減小。這是因為土體屈服位移越大，極限土反力就越大，土也越難以屈服，樁頂位移就越小。m值越大，極限土反力及土為彈性狀態(tài)時相同水平位移下的反力就越大，也即土抵抗側(cè)向變形的能力就越強，因而樁頂位移就越小；反之，m值越小，土抵抗側(cè)向變形的能力就越弱，在相同的荷載作用下樁頂位移就較大。由圖5（b）可見，最大彎矩隨土體屈服位移的增加而減小，且其變化的幅度隨土體屈服位移的增加而減??；最大彎矩隨m值的增加而減小。這主要是因為最大彎矩所在深度隨土體屈服位移及m值的增加而減小。

圖5 不同m值下樁身響應－土體屈服位移曲線圖

4 結(jié) 論

1）既考慮了土體屈服，又采用沿深度線性增加并能較好的體現(xiàn)上部土體抵抗側(cè)向變形能力的地基反力系數(shù)，求得樁身響應的解并編制了計算程序。所得成果可應用于目前使用日益廣泛的大變形條件下水平荷載單樁的設(shè)計與計算。

2）隨著水平力和力矩的增加，樁身位移和彎矩都非線性增大。

3）地面處樁身位移最大，距離地面的距離越大樁身位移越小，距地面的距離超過10倍樁徑時樁身響應極小，可忽略不計，且樁身響應較大的樁段長度不隨荷載大小和樁頂約束條件的改變而發(fā)生變化。

4）樁頂約束條件的影響很大。樁頂位移最大。樁頂固定時，樁頂彎矩最大；樁頂自由時，最大彎矩發(fā)生在樁頂以下某點處，且其位置隨力矩的增加而向上移動，隨水平力的增加而向下移動。

5）樁的最大位移和最大彎矩均隨土體屈服位移的增加而減小，且其變化的幅度隨土體屈服位移的增加而減小。

6）樁的最大位移和最大彎矩均隨比例系數(shù)m的增加而減小。

7）計算發(fā)現(xiàn)本文解計算結(jié)果與現(xiàn)場實測值吻合度很高，比已有解更優(yōu)，所得解及程序是可靠的。

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