張 泰，沈 君

(海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南?？?71158)

子矩陣是研究矩陣性質(zhì)十分重要的方法，利用它可以推測有關矩陣奇異性、特征值等方面的性質(zhì)，因而在矩陣研究和應用中起著非常重要的作用。近年來其相關研究在國內(nèi)外非?；钴S。本文對正定矩陣的子矩陣給出一些性質(zhì)。

一 概念、符號和引理

設Cm×n表示所有m×n的復方陣所成之集，N={1，2，3，…，n}，設矩陣 =A=(aij)∈Cn×n，對于任意α，β∈N，我們規(guī)定A(α)為A中對應于集合α的主子矩陣，A(α，β)為A中行對應集合α且列對應集合β的子矩陣。用記號A≥B表示A－B是半正定矩陣，A＞B表示是正定矩陣，特別A＞0表示A正定。記A的特征值集合為σ(A)={λ1，…，λn}，當A為半正定時，約定 λ1≥λ2≥…λn。記A的奇異值集合為記的奇異值集合為sv(A)={σ1，…，σn}，其中 σ1≥σ2≥…σn。ρ(A)為A的譜半徑。若A=A*，則A稱為Hermite矩陣。

如果對于所有矩陣A和所有酉陣U和V，都成立‖UAV‖=‖A‖，則稱范數(shù)‖·‖為酉不變范數(shù)。設‖·‖是定義在Cm×n上的酉不變范數(shù)，若A∈Cr×s，其中 1≤r≤m，1≤s≤n則規(guī)定［2］

定義 1［1］設矩陣A=(aij)∈Cn×n，對于正整數(shù)k≤n，定義指標集合

Γ(k，n)={(i1，i2，…ik)|1≤i1＜ … ＜ik≤n}將 Γ(k，n)中的元素按字母順序排列為 α1，α2，…，則A的k級復合矩陣記做Ck(A)，是一個)階矩陣，Ck(A)的(i，j)位置的元素定義為det A(αi，αj)，1≤i，j≤ ()。。對于非方陣有相同定義。

定義 2［2］設矩陣A=(aij)∈Cm×n，記Rn+↓={x=［xi］∈Rq:x1≥…≥xn≥0}，設 α =［αi］∈↓，則定義‖A‖a= α1σ1( A) + … + αqσq( A)，其中q=min{m，n}。

引理 1［1］設A=(aij)∈Cm×n，1≤k≤min{m，n}，則

(1)若A為正定陣，則Ck(A)也是正定陣。

(2)若sv(A)={σ1，…，σn}，則sv(Ck(A))={σi1σi2|1≤i1＜i2＜…ik≤n}。

(3)Ck(A*)=(Ck(A))*，Ck(A－1)=(Ck(A))－1。

(4)Ck(A)Ck(B)=Ck(AB)

引理2［3］若A，B是正定矩陣，則A≥B的充分和必要條件為ρ(BA－1)≤1。

引理 3［2］設 α1，α2，…，αn和 β1，β2，…，βn是非負數(shù)，且滿足

α1≥α2≥…≥αn≥0，β1≥β2≥…≥βn≥0

引理 4［2］σ1(A)=max{|x*Ay|:x∈Cm，y∈Cn，x*x=y*y=1}。

引理 5［3］設A∈Cn×n為 Hermite 矩陣，則λmax= λ1(A)=max{x*Ax:x∈Cm，x*x=1}

引理 6［4］若 α1≥α2≥…≥αn，β1≥β2≥…≥βn，則有

引理 7［2］設f(t1，…，tk):→R+是有k個非負實自變量的非負實值函數(shù)，并且關于每個自變量是單調(diào)增的，即對于任意t1，t2，…，tk，ε≥0，有:

設A，B1，…Bk∈Cm×n，q=min{m，n}，則對于任意酉不變范數(shù)有

‖A‖≤f(‖B1‖，…，‖Bk‖)成立的充分與必要條件為‖A‖a≤f(‖B1‖a，…，‖Bk‖a)對所有a∈↓成立。

二 結論

定理1 設若A，B∈Cn×n，A≥B＞0，則Ck(A)≥Ck(B)。

證明: 由于A≥B＞0，由引理1知Ck(A)，Ck(B)為正定，利用引理2得 ρ(BA－1)≤1，結合引理1得:

即 ρ(Ck(B)·(Ck(A))－1)≤1

再利用引理2得結論。

定理2 對兩個正定陣做如下分塊，并滿足

其中A，A∈Cm×m，D，~D∈Cn×n，則對任意酉不變范數(shù)‖·‖，有

即

(1)由題知A≥~A＞0，D≥＞0，則

結合(1)得:

結合引理5得:

利用引理1得:

利用引理3得:

利用引理6得:

即

即

再由引理7得

對任意酉不變范數(shù)都成立。

注意到在上面(2)中，同樣成立:

利用相同證法，得:

推論2 對兩個正定陣做如下分塊，并滿足

其中A，A∈Cm×n，D，D∈Cn×n，則對任意酉不變范數(shù)‖·‖，有

［1］ 詹興致.矩陣論［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［2］ Roger.A.Horn.Topics in Matrix Analysis［M］.London:Cambridge University Press，1991.

［3］ 合恩.矩陣分析［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2005.

［4］ 王松桂等.矩陣不等式［M］.北京:科學出版社，2008.