趙 磊　李曰兵　雷月葆　高增梁

（浙江工業(yè)大學化工過程機械設計研究所　杭州 310014）

含表面裂紋板的概率斷裂力學分析

趙 磊李曰兵雷月葆高增梁

（浙江工業(yè)大學化工過程機械設計研究所杭州 310014）

壓力容器等大型結(jié)構(gòu)的安全性與初始裂紋的位置及尺寸、材料性能參數(shù)等不確定因素有關(guān)。概率斷裂力學方法將不確定性參量作為隨機變量處理，可較好地減小不確定因素對結(jié)構(gòu)完整性評定的影響。本文對含表面半橢圓形裂紋平板進行了拉彎組合載荷作用下的概率斷裂力學分析，估算了含表面半橢圓形裂紋平板在拉彎聯(lián)合加載下裂紋尖端的應力強度因子及J積分值。失效準則考慮了基于線彈性的斷裂韌性KIc準則及基于彈塑性的裂紋阻力JIc準則，將裂紋深度、材料性能等參數(shù)作為隨機變量，采用Monte-Carlo方法計算了不同拉彎組合載荷作用下裂紋板的失效概率，對比分析了不同失效準則及不同拉彎組合系數(shù)下裂紋板的失效概率。

概率斷裂力學，Monte-Carlo方法，表面裂紋，斷裂，聯(lián)合加載

壓力容器、油氣管道等的工作環(huán)境多為高溫高壓等極端環(huán)境，極易發(fā)生因裂紋類缺陷啟裂后擴展或失穩(wěn)而導致的斷裂失效事故，破壞性極大。國內(nèi)外多采用確定性斷裂力學評定方法對含缺陷結(jié)構(gòu)進行失效評定，將所涉及的不確定因素歸結(jié)為安全系數(shù)。這種方法往往使得評定結(jié)果在參數(shù)分散程度小時偏于保守，而在參數(shù)分散程度大時又偏于危險。帥健等[1]應用R6評定規(guī)范對某油氣管道進行確定性失效評定，發(fā)現(xiàn)一般情況下其評定結(jié)果是偏于保守的，但對于某些情況卻又會得到相反的偏危險的評定結(jié)果。

概率斷裂力學(PFM)方法綜合考慮了各種不確定性因素，大量學者對其進行了研究以期應用于壓力容器的缺陷評定。Gates[2]進行了基于R6彈塑性概率斷裂力學分析，描述了確定最大載荷位置的方法。Rahman[3,4]基于斷裂力學J積分理論，采用一次二階矩法和Monte-Carlo法計算了拉伸載荷作用下雙邊裂紋平板及彎曲載荷作用下環(huán)向穿透裂紋管道的失效概率。Sandvik等[5]建立了含外表面裂紋的承受彎矩的含環(huán)向焊縫管道的可靠性評估模型。Nikbin等[6]用含軸向裂紋的壓力管道進行試驗，將用于分析的所有參數(shù)均看作服從對數(shù)正態(tài)分布，用Monte-Carlo模擬法預測壓力管道的斷裂行為。

目前，PFM分析工作多集中于對純拉伸或純彎曲等單一載荷作用下的模型進行研究，而對于拉彎組合作用下的模型研究尚少。在確定性斷裂力學分析基礎上，本文對含半橢圓形表面裂紋平板在拉彎組合載荷作用下進行了PFM分析；估算了含表面半橢圓形裂紋平板在拉彎組合載荷作用下裂紋尖端的應力強度因子及J積分值。失效準則考慮了基于線彈性的斷裂韌性KIc準則及基于彈塑性的裂紋阻力JIc準則。將裂紋深度、材料性能等參數(shù)作為隨機變量，采用Monte-Carlo方法計算了不同拉彎組合載荷作用下裂紋板的失效概率，對比分析了不同失效準則及不同拉彎組合系數(shù)下裂紋板的失效概率。

1　理論分析

1.1分析對象

本文研究對象為含深為a、長為c2的半橢圓形表面裂紋的平板，其幾何模型如圖1所示。圖中，W為板的半寬，L為板的半長，t為板沿裂紋深度方向的有效厚度。

材料模型服從Ramberg-Osgood應力-應變本構(gòu)關(guān)系，即滿足：

其中，α、n為材料參數(shù)，σ0是結(jié)構(gòu)的屈服強度，并定義ε0= σ0/ E。

平板承受拉伸載荷N與彎曲載荷M組合作用，定義參數(shù)λ為模型的載荷比：

式中，σb= 3M / Wt2, σm= N/(2Wt)。

圖1　含半橢圓形表面裂紋平板承受拉彎組合載荷作用的模型示意圖Fig.1　Illustration of a semi-elliptical surface crack in a plateunder combined tension and bending.

1.2應力強度因子K

本文通過EPRI[7]方法提供的修正系數(shù)法估算拉彎組合加載下的應力強度因子。首先，利用EPRI方法提供的修正系數(shù)法分別估算平板在純拉伸及純彎曲載荷單獨作用下的應力強度因子值Kt及Kb，定義純拉伸及純彎曲單獨作用下的無因次應力強度因子系數(shù)分別為：

拉彎組合作用下的應力強度因子為[8]：

其中，f為拉彎組合加載下的無因次應力強度因子系數(shù)：

1.3基于參考應力法的J積分估算

參考應力概念早年被用于研究材料在高溫條件下的蠕變變形，后來Ainsworth[9]將此概念推廣到斷裂力學領域，與彈塑性斷裂參量J積分聯(lián)系起來，使之成為工程J積分估算的強有力工具。參考應力法將彈塑性J積分與彈性J積分Je及材料的應力-應變特性聯(lián)系起來，可用下式表示：

式中，εref是參考應力σref通過式(1)計算所得的應變。參考應力定義為：

式中，Lr是度量載荷接近結(jié)構(gòu)塑性失穩(wěn)極限載荷的參數(shù)，定義如下：

本文通過文獻[10,11]基于整體極限載荷方法求得rL的值，推導如下：

其中，),/,/,/(λWctacaFLcom為平板拉彎組合加載下的無因次極限載荷。

聯(lián)合(8)式及(9)式即有：

Je可由應力強度因子K通過下式計算：

由上可見，只要材料的應力應變關(guān)系、結(jié)構(gòu)的極限載荷和應力強度因子一定，即可估算結(jié)構(gòu)的彈塑性斷裂參數(shù)J積分，避免復雜的有限元計算。

1.4失效準則

基于斷裂力學的失效分析主要有基于線彈性分析的裂紋啟裂分析以及基于彈塑性分析的裂紋擴展分析，而裂紋擴展分析需要復雜的有限元計算，難以表征。本文考慮了基于線彈性的斷裂韌性KIc準則及基于彈塑性的裂紋阻力JIc準則。線彈性分析以材料斷裂韌性KIc為判據(jù)，即當KI＞KIc時裂紋啟裂，結(jié)構(gòu)失效。彈塑性分析以裂紋阻力JIc為判據(jù)，即當J >JIc時裂紋啟裂，結(jié)構(gòu)失效。

失效概率定義如下：

其中，fΧ(Χ)為隨機變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)，g( Χ)為極限狀態(tài)函數(shù)，其定義為：基于線彈性斷裂力學分析時，g( Χ)=KIc(Χ)-K( Χ)；基于彈塑性斷裂力學分析時，g( Χ)=JIc(Χ)-J( Χ)。

2　程序開發(fā)及驗證

基于Monte-Carlo數(shù)值模擬方法編制了含缺陷結(jié)構(gòu)的失效概率計算程序，采用不同失效準則，計算含表面半橢圓形裂紋平板在不同拉彎組合系數(shù)作用下的失效概率。

為驗證程序的可靠性，計算了文獻[4]中含三維環(huán)向穿透裂紋(TWC)管道試樣在受彎曲載荷M作用下的失效概率，試樣材料為TP304，管中徑Rm=355.6 mm，管壁厚t=25.4 mm，無因次裂紋角θ / π =0.125，屈服強度σ0=154.78 MPa，泊松比ν=0.3，其隨機變量參數(shù)如表1所示。

表1　TWC管道試樣的隨機變量參數(shù)Table 1　The uncertainties of TWC pipe specimen.

用本程序計算試樣的失效概率，結(jié)果與文獻[4]吻合較好(如圖2)，表明本程序計算結(jié)果可靠。

圖2　TWC試樣在彎曲載荷下的失效概率Fig.2　Probability of failure for TWC pipe specimen by this program and Rahman[4].

3　案例分析及討論

本文所分析模型中幾何形狀參數(shù)均假定為2W=400 mm，2L=800 mm，t=40 mm，裂紋形狀參數(shù)假定為a/c=0.6。其他相關(guān)參數(shù)的均值、變異系數(shù)(COV)及服從的分布如表2所示。裂紋尖端斷裂力學參數(shù)由最深點獲得，即/2φ=π。

表2　拉彎組合作用下含半橢圓形表面裂紋平板模型參數(shù)Table 2　Model parameters of semi-elliptical surface crack in a plate under combined tension and bending.

圖3　本文估算的應力強度因子(a)及J積分(b)與Lei有限元計算值的對比Fig.3　Comparison of stress intensity factor(a) and J-integral(b) between present work and Lei equation.

為確保程序中所估算的斷裂力學參數(shù)是可靠的，首先對其進行了標定。圖3為本程序估算的應力強度因子及J積分與Lei[8]有限元解的差異。由圖可見，除a/t=0.8外，其他裂紋深度下兩者基本吻合。當a/t=0.8時，可能由于裂紋最深處處于壓應力區(qū)，程序低估了裂紋尖端的斷裂力學參數(shù)。

圖4比較了3種載荷水平下，不同失效準則下的失效概率。在同一失效準則下，失效概率均隨載荷水平rL增大，且不依賴于載荷比λ的變化。同一載荷水平下，基于裂紋阻力JIc準則的失效概率大于斷裂韌性KIc準則的失效概率。這是由于在采用啟裂失效準則的前提下，當載荷增大時，與線彈性應力強度因子K相比，彈塑性J積分的塑性部分JP提高，而平板的韌性保持不變，使得裂紋阻力JIc準則失效概率增大。

裂紋相對深度a/t是影響失效概率的關(guān)鍵參數(shù)，圖5為不同裂紋深度下基于裂紋阻力JIc準則的失效概率。從圖中可以看出，當a/t=0.3時，失效概率最高。當a/t<0.3，失效概率隨a/t增大，當a/t>0.3，受裂紋尖端壓應力區(qū)的影響，失效概率隨a/t的增大反而逐漸減小。

圖4　不同失效準則下失效概率的比較Fig.4　Comparison of the probability of failure between different failure criteria.

圖5　裂紋相對深度a/t對失效概率的影響Fig.5　Comparison of the probability of failure under different a/t.

4　結(jié)語

以含半橢圓形表面裂紋平板為對象，估算了拉彎組合加載下裂紋尖端的應力強度因子K及J積分值，進而開展了概率斷裂力學分析，并編制了相關(guān)的計算程序，得到了不同失效準則、不同載荷比及不同裂紋深度下的失效概率。在同一失效準則下，失效概率均隨載荷水平rL增大，且不依賴于載荷比λ的變化。同一載荷水平rL下，基于裂紋阻力JIc準則的失效概率大于斷裂韌性KIc準則的失效概率。

1 帥健, 許葵. 含裂紋管道的失效評定曲線的實例驗證[J]. 機械強度, 2003, 3(25): 251–253 SHUAI Jian, XU Kui. Validation of failure assessment curve of line pipe containing cracks[J]. Journal of Mechanical Strength, 2003, 3(25): 251–253

2 Gates R S. Probability elastic-plastic fracture mechanics analysis based on the R6 methodology[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1985, 18(1): 1–34

3 Rahman S. Probabilistic fracture analysis of cracked pipes with circumferential flaws[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1997, 70(3): 223–236

4 Rahman S, Kim J S. Probabilistic fracture mechanics for nonlinear structures[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2001, 78(4): 261–269

5 Sandvik A, Φstby E, Thaulow C. Probabilistic fracture assessment of surface cracked pipes using strain-based approach[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2006, 73(11): 1491–1509

6 Nikbin K M, Yatomi M, Wasmer K, et al. Probabilistic analysis of creep crack initiation and growth in pipe components[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2003, 80(7–8): 585–595

7 中國航空研究院主編. 應力強度因子手冊[M]. 北京:科學出版社, 1981: 376–381 Aeronautics Institute of China. Handbook of stress intensity factors[M]. Beijing: Science Press, 1981: 376–381

8 Lei Y. J-integral and limit load analysis of semi-elliptical surface cracks in plates under combined tension and bending[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2004, 18(1): 43–56

9 Anisworth R A. The assessment of defects in structures of strain hardening material[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1984, 19(4): 633–642

10 Goodall I W, Webster G A. Theoretical determination of reference stress for partially penetrating flaws in plates[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2001, 78(10): 31–41

11 Lei Y. J-integral and limit load analysis of semi-elliptical surface cracks in plates under bending[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2004, 18(1): 31–41

Probability fracture mechanics analysis of plates with surface cracks

ZHAO LeiLI YuebingLEI YuebaoGAO Zengliang
(Institute of Process Equipment & Control Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Background: The uncertainties of input parameters in an deterministic structural integrity assessment of pressure vessels may affect the assessment results. This can be improved by performing probability facture mechanics (PFM) analysis. Purpose: This work investigates the effect of uncertainties of load, defect size, fracture toughness and failure criteria on the failure probability of semi-elliptical surface cracks in plates under combined tension and bending. Methods: The correction factor method provided by EPRI is used to estimate the stress intensity factor (SIF). The J-integral values at the deepest point of the surface crack tip are evaluated using the reference stress method and the globe limit load solution developed by Goodall & Webster and Lei. PFM analysis is performed with considering the uncertainty of crack size, yield strength and fracture toughness and Monte-Carlo (MC) simulation is used to calculate the failure probability. Results: Failure probability increases with increase of load level, Lr, for all load ratio values considered in this work for a given failure criterion. However, the failure probability based on the elastic-plastic fracture criterion is higher than that based on the linear elastic fracture criterion for a given load lever, Lr. Conclusions: The load level and the failure criteria have significant effect on the failure probability. However, the load ratio makes a little contribution to the failure probability for a given failure criterion.

Probabilistic fracture mechanics, Monte-Carlo simulation, Surface crack, Fracture, Combined loading

TQ051

10.11889/j.0253-3219.2013.hjs.36.040634

“十二五”國家科技支撐計劃項目(2011BAK06B02-03)資助

趙磊，男，1987年出生， 2010年畢業(yè)于太原科技大學，目前為浙江工業(yè)大學在讀碩士研究生，從事結(jié)構(gòu)完整性研究

高增梁，zlgao@zjut.edu.cn

2012-10-31，

2013-03-05

CLCTQ051