張開強 張正軍 胡繼峰 陳金根

1（西北大學物理學系 西安 710069）

2（中國科學院上海應用物理研究所 嘉定園區(qū) 上海 201800）

中子入射釓核反應的理論計算

張開強1張正軍1胡繼峰2陳金根2

1（西北大學物理學系 西安 710069）

2（中國科學院上海應用物理研究所 嘉定園區(qū) 上海 201800）

在光學模型的假設下，以中子與釓核反應的總截面、彈性散射角分布等實驗數(shù)據(jù)作為基礎，使用APMN程序尋求到一組描述這個反應過程的光學勢參數(shù)。在扭曲波波恩近似理論下，應用DPPM程序計算核反應過程的直接非彈性散射部分。應用以上結果，使用基于球形光學勢理論、統(tǒng)一的Hauser-Feshbach理論的UNF程序，計算核反應過程中的各種截面，中子數(shù)據(jù)以及各種反應道的出射道的截面。在計算完各種數(shù)據(jù)后，與實驗數(shù)據(jù)比較并給出沒有實驗數(shù)據(jù)區(qū)域的理論結果。

光學模型，Hauser-Feshbach理論，總截面，彈性散射角分布

能源是國民經濟發(fā)展的基礎，一直以來，我國能源的供給依賴于煤、石油、天然氣等化石燃料，而化石燃料是不可再生資源。隨著經濟的高速發(fā)展，對能源的需求日益增加，化石燃料被過度開采，現(xiàn)已接近枯竭，無法滿足需求，嚴重影響到經濟發(fā)展甚至是國家的穩(wěn)定。為實現(xiàn)國民經濟的可持續(xù)性發(fā)展，新能源技術的研究開發(fā)在近年來不斷壯大，核能就是其中一種高效、清潔、安全且經濟的能源。

本工作源于中國科學院“釷基熔鹽堆”項目，釓元素有可能作為反應堆的中子控制棒，若該項目取得成功，將可能改變世界能源版圖。本文利用Gd及其同位素與中子反應的總截面、去彈散射截面和彈性散射角分布的實驗數(shù)據(jù)，使用APMN06M程序在光學模型理論下計算出了一套入射能在0.01?20 MeV的一組光學勢參數(shù)，然后應用DPPM程序在扭曲波玻恩近似理論下計算出直接核反應數(shù)據(jù)，最后由UNF程序在核反應統(tǒng)一的Hauser-Feshbach理論和激子模型下計算出復合核反應過程。Gd是第64號元素，屬于鑭系稀土元素，在地殼中的含量5.4×10?6。Gd的幾個主要的同位素在自然界中的豐度：Gd-154(2.10%)、Gd-155 (14.80%)、Gd-156(20.60%)、Gd-157(15.70%)、Gd-158 (24.80%)、Gd-160(21.80%)。本文主要計算入射能在0.01?20 MeV中子與Gd-155核反應的截面數(shù)據(jù)。

1 理論簡介

在核反應中，入射粒子同靶核的作用可視為入射粒子在以靶核中心為原點，有一定半徑和深度的平均場勢阱中運動。當用復數(shù)形式的核勢(實部描述散射，虛部描述吸收)處理該平均場作用時，由薛定諤方程求解可成功地解釋核反應的散射和吸收現(xiàn)象。這種描述核反應的復數(shù)勢阱模型稱光學模型[1]。

定態(tài)薛定諤方程：

式中，U(r)是中子和靶核體系的光學勢，由Woods-Saxon給出了唯象光學勢的一種形式：Woods-Saxon勢，這便是現(xiàn)在核計算中普遍采用的唯象光學勢[2]。它的一般形式如下：

式中，VC、Vr、WS、WV、VSO、WSO分別為庫倫勢、實部勢、虛部面吸收勢、虛部體吸收勢、自旋軌道耦合實部勢、自旋軌道耦合虛部勢，總共可調參數(shù)為31個：rC；V0、V1、V2、V3、V4、rr0、rr1、ar0、ar1、ar2；WS0、WS1、WS2、rS0、rS1、aS0、aS1、aS2；WV0、WV1、WV2、rV0、rV1、aV0、aV1、aV2；VSO、WSO、rSO、aSO[3]。具體形式如下。

庫倫勢[4]表達式為：

于中子入射核反應，庫倫勢rC為0。

實部勢表達式為：

式中，Rr=rrA1/3。V、rr和ar分別是中心實部勢能量的特征量、半徑和彌散寬度。

虛部面吸收勢表達式為：

式中，RS=rSA1/3。WS、rS和aS分別為面吸收虛部勢能量的特征值、半徑和彌散寬度。

體吸收虛部勢表達式為：

式中，RV=rVA1/3。WV、rV和aV分別為體吸收虛部勢的能量特征量、半徑和彌散寬度。

自旋軌道耦合實部勢與虛部勢表達式為：

式中，RSO=rSOA1/3。VSO為自旋-軌道耦合實部勢的能量特征值；WSO為自旋-軌道耦合虛部勢的能量特征值；aSO為自旋-軌道耦合勢的彌散寬度；rSO為自旋-軌道耦合勢的半徑。為π介子的康普頓波長，=2.00 fm2。

入射粒子在平均場的作用下運動，因殘余相互作用引起直接反應。如果認為殘余相互作用不是很強，則可用Born近似進行直接反應的理論計算。只有在考慮了平均場之后方能認為殘余相互作用是不強的，因此入射粒子和出射粒子不能簡單地看作為自由粒子，而必須考慮為在靶核和剩余核平均場作用下的運動粒子，即初態(tài)和末態(tài)粒子運動波函數(shù)不能用表示自由運動的平面波而必須用平均場作用下的扭曲波。用這種扭曲波的Born近似來計算直接反應的理論方法叫做DWBA方法[5]。

入射粒子在核內進行級聯(lián)碰撞過程中，在能達到充分交換之前就有粒子發(fā)射。這一新的非平衡反應機制就是預平衡反應發(fā)射機制。預平衡機制一般采用激子模型理論處理?；舅枷胧菍㈩A平衡核反應過程描述為入射粒子誘導的核內級聯(lián)碰撞，并不斷產生粒子空穴對的核內激發(fā)過程。在平衡態(tài)核反應計算中，采用Hauser-Feshbach理論來處理，使用蒸發(fā)模型假設[6]。

2 光學勢參數(shù)及結果分析

在光學模型模擬下，利用Gd的天然核與中子反應的總截面、去彈截面和彈性散射角分布的實驗數(shù)據(jù)，使用APMN程序計算找出了入射能一組在0.01?20 MeV下，與實驗值符合較好的光學勢參數(shù)。其值如下：

由此套參數(shù)對中子與Gd-155的反應總截面、彈性散射截面、彈性散射角分布還有去彈截面進行了理論計算，圖1給出了實驗值數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的比較圖，其中實驗數(shù)據(jù)采用的是天然核數(shù)據(jù)。

圖1中各種點陣表示的是從國際原子能數(shù)據(jù)庫查到的各個實驗值，實線表示的是由此套光學勢參數(shù)計算出來的反應總截面的理論值。核反應總截面是對核反應基本特征研究的一個基本物理量。

圖1 反應的總截面Fig.1 Total cross section of reaction.

圖1 中給出的是總截面隨著入射粒子能量變化而變化的特征。其中入射粒子，靶核的質子數(shù)、中子數(shù)都沒做變化。由圖1，入射能在0.1?20 MeV理論計算出來的總截面曲線與實驗值的整體趨勢符合良好。因此有理由相信由此套參數(shù)計算出來的理論結果是準確的?？偨孛嬖谌肷淠茌^低時較大，隨著入射能增加而稍有降低，根據(jù)后面的計算結果可知，總截面的值在入射能較低時主要是由彈性散射截面的貢獻，隨著入射能增大，彈性散射截面降低，而其他反應截面有升有降，總體呈降低趨勢。

圖2 彈性散射角分布理論與實驗對照圖(a)和理論曲線(b)Fig.2 Theoretical and experimental control chart (a) and theoretical curve (b) of elastic scattering angular distribution.

圖2(a)中，由上至下曲線與點陣分別對應入射能在0.25 MeV、1.52 MeV、2.05 MeV、2.50 MeV、2.57MeV、3.08 MeV、3.60 MeV、4.10 MeV時的彈性散射角分布的理論值與實驗值，其中曲線為理論值，點陣表示實驗值，實驗數(shù)據(jù)取自天然核數(shù)據(jù)，實驗值從數(shù)據(jù)庫查到。圖2(b)中，由上至下曲線分別對應入射能在6.0 MeV、8.0MeV、10.0 MeV、12.0MeV、14.0MeV、16.0MeV、18.0MeV、20.0MeV時的彈性散射角分布的理論曲線，為了使圖形表述更清晰，圖中對數(shù)據(jù)進行了如下處理，由上至下對得到各曲線的數(shù)據(jù)分別乘以107、106…100。

由圖2(a)，實驗數(shù)據(jù)的落點與理論給出的曲線符合度良好，二者走勢大體相同。由此在入射能更高的時候，由這套光學勢參數(shù)計算出的理論曲線是可信的，同時由圖2(b)給出了在入射能大于等于6.0 MeV時對應各個入射能值時的彈性散射角分布的理論值，這里就是理論預測作用?；趫D2(a)中理論曲線與實驗值的符合度，有理由相信圖2(b)給出的結果。圖2由上到下，從入射能低到高，可明顯看出曲線的波長更短了，這樣在0°?180°間呈現(xiàn)的波動峰值更多。因為中子呈電中性，與原子核的庫倫相互作用幾乎為0，所以中子入射Gd核反應中的彈性散射基本是中子與靶核核子衍射的結果，由物質波波長與動量的關系式λ=h/p容易理解波長隨入射能增加而減小的關系。圖3為直接非彈性散射部分單個中子出射曲線。圖中下面的那些曲線分別對應各個能級的直接非彈性散射截面，而最上面的那條曲線表示總的直接非彈性散射截面，為下面那些曲線的積分值。由圖3，隨著入射能增加，直接非彈性散射截面先有一個增加過程，隨著進一步增加，直接非彈性散射截面則會降低。

圖3 直接非彈性散射反應截面圖Fig.3 Cross sectional view of inelastic reaction.

圖4 為多個中子出射截面，第1、2、3條曲線分別對應(n,n)、(n,2n)、(n,3n)反應道，圖中的圓點表示(n,2n)反應道實驗值。中子出射幾率是鏈式反應的關鍵因素，由圖4，隨著入射能增大，出射中子的幾率先增大然后逐漸減小。從入射能7 MeV開始，出射單個中子的幾率減小，但是開始有出射兩個中子的；從入射能16 MeV開始，出射兩個中子的幾率減小，但是開始有出射三個中子的。可見隨著入射能的增加，出射中子的數(shù)目應該是增加的，同時也說明各個反應道之間有競爭的關系，每當一個新的反應道開啟的時候，舊的反應道就會降低[7]。

圖4 多個中子出射截面圖Fig.4 Multiple neutron-sectional view of exit.

圖5 為γ射線出射截面圖，實線為計算的理論值，點陣是實驗數(shù)據(jù)。γ射線具有很強的穿透力，隨著入射能增加，γ射線出射幾率有所下降。

圖5 γ射線出射截面圖Fig.5 γ-rays emitted sectional view.

圖6 是本工作計算出的各種粒子出射截面與反應通道總體圖形，縱坐標采用對數(shù)坐標，隨著曲線的變化，縱坐標值變化極大。由圖6，彈性散射截面在入射能較低時占反應截面的主體位置，在入射能較高時，彈性散射截面降低，去彈性散射截面增加并高于彈性散射截面。下面給出各個反應通道的截面圖，可比較直觀地比較各個反應通道截面之間的關系。整體看來，出射粒子質量數(shù)較大的核子開啟反應道所需入射能較高，而從截面大小來看，除中子出射截面外，最大就是nA與A的出射截面[8]。

圖6 各種粒子及射線出射截面圖Fig.6 Cross-sectional view of various particles and rays exit.

圖7 中最上面表示DE的實線為出射中子能譜圖，下面的5條虛線，由上至下分別對應的是角度在30°、60°、90°、120°和150°時中子出射截面按能量的分布，即雙微分截面[9]。雙微分截面就是出射粒子能譜按出射角度和能量的分布，按角度的積分則是能譜。雙微分截面數(shù)據(jù)在核工程設計及中子屏蔽設計中都有重要價值。從圖7看出，雙微分截面基本呈現(xiàn)兩個峰值，一個是出射能趨近于0的位置，這個峰值對應的是形狀彈性散射峰值，另一個峰值則是出射能趨近于入射能的位置，對應于直接非彈性散射反應的峰值。圖7對比來看，由上往下，入射能逐漸增高，對應的反應截面也逐漸增加，這是因為在入射能較低時，有些反應道如(n,2n)、(n,3n)等并未開啟，隨著入射能增加，更多的中子出射通道開啟，使得出射中子截面總體有所增加。

圖7 中子的雙微分截面Fig.7 Double differential cross section of neutron.

3 結語

在中子與Gd天然核及其同位素反應的實驗數(shù)據(jù)基礎上，在光學模型的假設下，應用APMN程序尋找出的這套光學參數(shù)計算了各個反應道的截面和粒子出射能譜，能夠反應出中子與Gd核反應的大致過程，由它計算出的理論數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)符合良好，由這套數(shù)據(jù)預測的各個反應道的數(shù)據(jù)是基本可信的，同時也說明了由光學模型假設來描述核反應過程的合理性。

目前的核反應堆都是使用中子轟擊核的鏈式裂變反應，根據(jù)Gd元素與中子的反應，可以將其作為核反應堆的控制棒材料，通過核反應吸收中子，達到控制反應速率的目的，使得核反應過程更平穩(wěn)、更安全。

1 張正軍, 孫秀泉, 申慶彪. 光學模型與ADS靶的反應截面[J]. 光子學報, 2002, 31(9): 1155?1159

ZHANG Zhengjun, SUN Xiuquan, SHEN Qingbiao. Optical model studies of reaction cross section for ADS target material[J]. Acta Photonica Sinica, 2002, 31(9): 1155?1159

2 韓健, 張正軍, 韓銀錄. 中子與58,60Ni反應的理論計算[J]. 原子能科學技術, 2007, 41(3): 278?282

HAN Jian, ZHANG Zhengjun, HAN Yinlu. Theoretical calculations for n+58,60Ni reactions[J]. Atomic Energy Science and Technology, 2007, 41(3): 278?282

3 SHEN Qingbiao. APMN: a program for automatically searching optimal optical potential parameters in the E＜300 MeV energy region[J]. Nuclear Science and Engineering, 2002, 141: 78?84

4 張正軍, 申慶彪, 韓銀錄, 等. P+209Bi核反應微觀數(shù)據(jù)的理論計算[J]. 高能物理與核物理, 2002, 26(6): 600?606

ZHANG Zhengjun, SHEN Qingbiao, HAN Yinlu, et al. Theoretical calculations of microscopic nuclear reaction data for P+209Bi in energy region up to 300 MeV[J]. High Energy Physics and Nuclear Physics, 2002, 26(6): 600?606

5 張雍雍, 頡瓊, 張正軍. P+59Co原子核反應的理論計算[J]. 原子能科學與技術, 2010, 44(10):16?18

ZHANG Yongyong, JIE Qiong, ZHANG Zhengjun. Theoretical calculation of P+59Co nuclear reaction[J]. Atomic Energy Science and Technology, 2010, 44(10): 16?18

6 張雍雍. P+24Mg?180Hf核反應的光學模型計算及分析[D]. 西安: 西北大學, 2010

ZHANG Yongyong. The calculations and analysis of the optical model for the nuclear reaction of P+24Mg?180Hf [D]. Xi’an: Northwest University, 2010

7 Miskel J A, Marsh K V, Nagle R J. Neutron-activation cross sections[J]. Physical Review Letters, 1962, 128: 2717?2723

8 張雍雍, 任文濤, 頡瓊, 等. P+28Si原子核反應的理論計算[J]. 應用光學, 2008, 29: 16?18

ZHANG Yongyong, REN Wentao, JIE Qiong, et al. Theoretical calculation of P+28Si nuclear reaction[J]. Journal of Applied Optics, 2008, 29: 16?18

9 ZHANG Jingshang. User manual of UNF code[J]. China Nuclear Information Centre(CNIC)-01616, 2002

CLCTL361

Theoretical calculation of n+Gd nuclear reaction

ZHANG Kaiqiang1ZHANG Zhengjun1HU Jifeng2CHEN Jingen2

1(Northwest University Department of Physic, Xi’an 710069, China)2(Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Jiading Campus, Shanghai 201800, China)

Background:Nuclear energy has the advantages of efficient, clean and reserves. Our country has launched a new type of nuclear reactor: thorium-based molten salt reactor nuclear system project since 2011. Purpose: We want to make sure the data of the nuclear reaction of n+Gd, including the total cross section, elastic scattering angular distribution, elastic scattering cross section, direct inelastic scattering cross section, absorption cross section, various of reaction channels cross section, double differential cross section of neutrons emitted, etc. The experimental data was compared and the theoretical results of nuclear reaction of n+Gd were given. Methods: First, the optical model is used to describe the nuclear reaction process, the reflection and refraction of light entering into a different media is used to describe the scattering and absorption of phenomenon of nuclear reaction, and a set of optical potential parameters is applied to describe the reaction. The total cross section, elastic scattering cross section, elastic scattering angular distributions and some other data were calculated based on the experimental data and this set of optical potential parameters. Then the direct inelastic scattering cross section was calculated on the basis of distorted wave Born approximation and optical potential parameters. Finally, based on the above calculation results and the theoretical of the unified Hauser-Feshbach and exciton model, the UNF program was used for calculating the variation of cross sections data and kinds of reaction channels. Results: The calculating results agree with the experimental data very well and can reflect the process of nuclear reaction approximately. Conclusions: The calculating results based on this set of optical potential parameters seem credible, and the process of nuclear reaction using the optical model assumption is reasonable. Based on the calculation of n+Gd, the Gd element can be used as a nuclear reactor control rod material, and nuclear reaction rate is controlled by absorbing neutrons, so that the nuclear reaction process goes more stable and more secure.

Optical model potential, Unified Hauser-Feshbach theories, Total cross section, Elastic scattering angular distribution

TL361

10.11889/j.0253-3219.2013.hjs.36.090501

中國科學院戰(zhàn)略性先導科技專項釷基熔鹽堆資助

張開強，男，1986年出生，2013年于西北大學物理學系獲碩士學位，主要從事計算核物理研究與學習

2013-05-15，

2013-07-10