胡先進 李 力

（1.重慶實驗中學(xué)，重慶 401320；2.重慶清華中學(xué)，重慶 400054）

任何兩個大質(zhì)量天體系統(tǒng)，因萬有引力作用而相互繞行，在它們的軌道平面上，存在著一些特殊的點.當在這些點引入小質(zhì)量天體時，小質(zhì)量天體受到兩個大質(zhì)量天體引力的合力，恰好等于它與兩個大質(zhì)量天體一起轉(zhuǎn)動需要的向心力.這意味著，小質(zhì)量天體在這些點上，能保持與兩個大質(zhì)量天體的相對位置始終不變.

1767年，歐拉求出了這樣的3個點，記為L1，L2，L3，它們都在兩大質(zhì)量天體的連線上.1772年，拉格拉日又找到了另外的2個點，記為L4，L5，它們在兩大質(zhì)量天體連線之外，這2點關(guān)于兩大質(zhì)量天體的連線是對稱的，它們中的任一點與兩大質(zhì)量天體正好構(gòu)成一個等邊三角形（如圖1）.后來，人們習(xí)慣上把這5個點統(tǒng)稱為“拉格朗日點”，其中拉格拉日找到的那兩點又叫“三角拉格朗日點”.

圖1

必須明確，位于拉格朗日點的小質(zhì)量天體遠遠小于兩個大質(zhì)量天體，所以不考慮小質(zhì)量天體的反作用對兩個大質(zhì)量天體運動的影響.同時，除兩個大質(zhì)量天體外，也不考慮其他天體對這個小質(zhì)量天體的引力作用，即位于拉格朗日點的小質(zhì)量天體的運動完全由兩個大質(zhì)量天體的引力決定.

上述求解拉格朗日點的問題，是一個典型的“平面圓型限制性三體問題”.眾所周知，兩個天體在相互引力作用下如何運動的所謂“二體問題”，早已獲得精確而完美的解答.而“三體問題”，則是近300年來數(shù)學(xué)物理中一直未能徹底解決的難題.19世紀末，法國大數(shù)學(xué)家龐加萊采用美國數(shù)學(xué)家希爾提出的簡化模型：“假定有兩個天體，它們在萬有引力作用下，圍繞共同質(zhì)心，沿著橢圓形的軌道，作嚴格的周期性運動；另有一顆宇宙塵埃，在這兩個天體的引力場中游蕩.兩天體可完全不必理會這顆粒產(chǎn)生的引力對它們之間運動的影響，因為顆粒的質(zhì)量相對它們自己來說實在太小了.可是顆粒的運動會是怎樣的呢？這簡化模型稱為‘限制性三體問題’.”［1］即使是“限制性三體問題”，也異常復(fù)雜，龐加萊借助他天才的創(chuàng)造——相圖、拓撲方法、微分方程定性理論，發(fā)現(xiàn)顆粒的運動是沒完沒了的自我纏結(jié)，而且高度不穩(wěn)定.

“平面圓型限制性三體問題”是討論得較多的比較簡單的類型，即將“限制性三體問題”中兩個大質(zhì)量天體圍繞質(zhì)心O的橢圓軌道運動簡化為圓運動.所以，拉格朗日點上的小質(zhì)量天體，在兩個大質(zhì)量天體引力的作用下，繞質(zhì)心O以同樣的角速度作勻速圓周運動，這樣才能與兩個大質(zhì)量天體保持相對位置不變.

文獻［2］對“三角拉格朗日點”進行了理論驗算，證明了L4、L5中任一個與兩個大質(zhì)量天體正好構(gòu)成一個等邊三角形.筆者讀后感到數(shù)學(xué)推導(dǎo)過于繁瑣，本文借助向量代數(shù)，將給出一個導(dǎo)出“三角拉格朗日點”的簡捷方法.

圖2

如圖2，大質(zhì)量天體M和m之間距離為a，分別位于O1，O2，質(zhì)心在O 點.設(shè)L是拉格朗日點，則在此處的小質(zhì)量天體m0，必在M和m引力作用下，繞質(zhì)心O以角速度ω作勻速圓周運動，其中ω也是M 和m繞質(zhì)心O作勻速圓周運動的角速度，對M、m用萬有引力定律和牛頓第二定律不難得到［2］

又容易知道質(zhì)心O滿足M·O1O＝m·O O2，將此代入（4）式得O1L＝O2L，再將此式代回（3）式，立即得到O1L＝O2L＝a，這說明M、m、m0正好構(gòu)成一個等邊三角形，這樣我們就導(dǎo)出了拉格朗日點L4、L5.并且由此可以看出，在兩大質(zhì)量天體連線之外，顯然只有這兩個拉格朗日點.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程（力學(xué)，第2版）.北京：高等教育出版社，2004.276

2 林輝慶.拉格朗日點L4的理論驗算.物理教師，2012（4）：42～43