續(xù)文龍

1 隨機(jī)振動(dòng)的定義

振動(dòng)現(xiàn)象的完整定義需描述量值及其隨頻率和時(shí)間的變化。各種類(lèi)型的振動(dòng)均以數(shù)學(xué)式表示，位移、速度和加速度等量值常用其隨時(shí)間變化的函數(shù)表示。振動(dòng)可分為定則（確定性）振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)2類(lèi)。隨機(jī)振動(dòng)是指無(wú)法用確定性函數(shù)描述，但又有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律的振動(dòng)其規(guī)律一般不是單個(gè)現(xiàn)象，而是大量現(xiàn)象的集合。因此，隨機(jī)振動(dòng)雖然不能用確定性函數(shù)描述，卻能用統(tǒng)計(jì)特性描述。定則振動(dòng)問(wèn)題可以考察系統(tǒng)的輸入與輸出之間的確定關(guān)系，而隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題只能確定輸入與輸出之間的統(tǒng)計(jì)特性關(guān)系。

隨機(jī)振動(dòng)按隨機(jī)性的來(lái)源分為2類(lèi)：一是激勵(lì)過(guò)程的隨機(jī)性，這是隨機(jī)振動(dòng)理論主要解決的問(wèn)題；二是振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性，即參數(shù)隨機(jī)振動(dòng)理論。隨機(jī)振動(dòng)按已知條件和未知結(jié)果分為2類(lèi)：已知輸入和系統(tǒng)參數(shù)求輸出，這是正問(wèn)題，稱(chēng)為響應(yīng)確定問(wèn)題；已知輸入和輸出求系統(tǒng)的參數(shù)，這是反問(wèn)題，稱(chēng)為系統(tǒng)識(shí)別問(wèn)題。在進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析時(shí)，隨機(jī)激勵(lì)以功率譜密度（power spectral density， PSD）的形式進(jìn)行輸入。PSD是隨機(jī)振動(dòng)的主要特征參數(shù)之一。

在機(jī)械系統(tǒng)中，隨機(jī)振動(dòng)的研究始于20世紀(jì)50年代，主要是航空科學(xué)的需要。后來(lái)，這一理論在土木建筑工程、交通運(yùn)輸工程和海洋工程等方面也得到廣泛應(yīng)用。自20世紀(jì)60年代以來(lái)，振動(dòng)測(cè)試技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展，為復(fù)雜的振動(dòng)問(wèn)題提供強(qiáng)有力的解決手段。

2 PSD的定義

一個(gè)隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程的特征可以用數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)函數(shù)描述，但這些都是在時(shí)間域內(nèi)描述幅值的統(tǒng)計(jì)特性，而在工程技術(shù)問(wèn)題中，常采用功率譜密度PSD描述。PSD從頻域的角度反映隨機(jī)振動(dòng)的平均功率按頻率的分布密度，

是一種概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果，是對(duì)隨機(jī)變量均方值的度量，一般用于隨機(jī)振動(dòng)分析。連續(xù)瞬態(tài)響應(yīng)只能通過(guò)概率分布函數(shù)描述，即出現(xiàn)某水平的響應(yīng)所對(duì)應(yīng)的概率。PSD是單位頻帶內(nèi)的功率（均方值），是隨機(jī)振動(dòng)在頻域上統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的一種方法，是結(jié)構(gòu)在隨機(jī)動(dòng)態(tài)載荷激勵(lì)響應(yīng)下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，是一條PSD-頻率關(guān)系曲線。把振動(dòng)歷程的時(shí)域信息進(jìn)行傅里葉變換，即可得到表示頻域特性的功率譜密度，可明確表示各頻率所含功率（加速度）的強(qiáng)弱。PSD可以有位移PSD、速度PSD、加速度PSD和力PSD等形式。隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)符合正態(tài)分布，PSD實(shí)際上將原來(lái)對(duì)時(shí)間域的振動(dòng)描述轉(zhuǎn)化為對(duì)頻率域的振動(dòng)描述，是隨機(jī)變量的能量分布，也就是振動(dòng)能量在不同頻率上的方差值。根據(jù)帕塞瓦爾定理，信號(hào)在時(shí)間域的總功率等于在頻率域的總功率，計(jì)算后得到隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，可反映隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)參量均方值在頻率域上的分布，即各個(gè)頻率域上振動(dòng)能量的概率分布。為獲得功率譜密度，將隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)通過(guò)一組具有不同頻率的濾波器（即由計(jì)算機(jī)提供的數(shù)學(xué)算法器）分別過(guò)濾，分解成多個(gè)單獨(dú)的正弦波。生成正弦波成分后，每個(gè)濾波器輸出平均頻率和強(qiáng)度，完成時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換。這種轉(zhuǎn)換是由計(jì)算機(jī)通過(guò)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)的，可以避免高頻區(qū)的噪聲混雜。

PSD曲線所圍成的面積是隨機(jī)變量總響應(yīng)的方差值。將PSD曲線包絡(luò)面積開(kāi)平方即為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)方差。隨機(jī)振動(dòng)輸出的位移、應(yīng)力和應(yīng)變等都對(duì)應(yīng)不同頻率的PSD值，量綱為x-2，也可以輸出這些變量的均方根值。

3 Abaqus中如何定義PSD

Abaqus中通過(guò)Randomresponse分析步進(jìn)行基于模態(tài)的隨機(jī)響應(yīng)分析。

3.1 PSD的類(lèi)型

Abaqus中可以施加以下類(lèi)型的PSD：（1）集中載荷；（2）分布載荷；（3）基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)。

3.2 PSD的定義

PSD為模型數(shù)據(jù)，必須在分析步之前定義。

（1）定義隨機(jī)激勵(lì)PSD曲線的關(guān)鍵字為

*PSD Definition，Name=psd-name

（2）CAE環(huán)境定義PSD見(jiàn)圖1。

圖1中：Specification units選擇Power時(shí)為集中力、分布載荷等；選擇Decibel時(shí)為分貝；選擇Gravity時(shí)為基礎(chǔ)激勵(lì)。參考加速度g默認(rèn)為1，用戶(hù)可以根據(jù)實(shí)際自行定義。

（3）PSD數(shù)據(jù)行的PSDRE表示實(shí)部，PSDIM表示虛部，F(xiàn)requency為頻率，單位為Hz。

（4）利用關(guān)鍵字定義PSD的過(guò)程為

*PSD-Definition

Specification units = Gravity， G=9.81

0.032， 0.0， 1.0

0.032， 0.0， 2001.0

上述定義得到的曲線見(jiàn)圖2。

在Abaqus中定義PSD曲線時(shí)以離散點(diǎn)的形式輸入，將關(guān)鍵點(diǎn)上的數(shù)據(jù)以數(shù)據(jù)列表的形式輸入。Abaqus默認(rèn)將2個(gè)頻率點(diǎn)間的PSD值進(jìn)行線性插值，便可得到整個(gè)PSD曲線。

（摘自同濟(jì)大學(xué)鄭百林教授《CAE操作技能與實(shí)踐》課堂講義）

（待續(xù)）