韓建鑫，王 煒，張琪昌

(天津大學(xué) 機(jī)械學(xué)院 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

曲軸是內(nèi)燃機(jī)重要旋轉(zhuǎn)部件，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是引發(fā)內(nèi)燃機(jī)振動(dòng)的主要因素。在進(jìn)行曲軸系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)理論分析過(guò)程中，先需確定系統(tǒng)當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量再進(jìn)行建模分析。目前大多數(shù)計(jì)算模型均采用常轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效替代活塞、連桿等往復(fù)部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［1］，忽略實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨轉(zhuǎn)角周期變化因素［2］。研究表明，該等效近似處理會(huì)使扭振計(jì)算出現(xiàn)較大誤差［3］。

為更好反映實(shí)際系統(tǒng)振動(dòng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者考慮變慣量因素，對(duì)曲軸系統(tǒng)扭振進(jìn)行了較詳細(xì)的理論計(jì)算與仿真分析。王升潤(rùn)等［4］以單圓盤(pán)變慣量曲軸系統(tǒng)為模型，研究并解釋了共振情況下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅的跳躍現(xiàn)象成因;向建華等［5］以六圓盤(pán)曲軸系統(tǒng)為研究對(duì)象，數(shù)值分析了變慣量引入對(duì)軸系扭轉(zhuǎn)角幅值影響;朱向哲等［6］利用已有變慣量公式，數(shù)值分析了六圓盤(pán)曲軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性;Brusa等［8］考慮曲軸系統(tǒng)往復(fù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，建立多圓盤(pán)系統(tǒng)振動(dòng)方程，數(shù)值分析了系統(tǒng)在自由振動(dòng)與強(qiáng)迫振動(dòng)下的穩(wěn)定性問(wèn)題;Metallidis等［9］考慮往復(fù)部件影響，建立了單缸、多缸曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，將變慣量參數(shù)處理為無(wú)量綱小量，利用多尺度方法得到單缸曲軸—外部輪軸組成的兩自由度系統(tǒng)平均方程，用數(shù)值方法研究了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值影響。以上研究對(duì)深入了解曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)機(jī)理具有重要指導(dǎo)意義。

然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)或?qū)⒆儜T量參數(shù)處理為無(wú)量綱小量進(jìn)行分析，或用數(shù)值方法進(jìn)行仿真研究，無(wú)法從理論方面了解該參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔行為的影響。為此本文，① 利用變慣量公式［9］，充分考慮曲軸軸系一及三次彈性力矩、阻尼力矩，以及系統(tǒng)受到由活塞氣壓變化所產(chǎn)生的不平衡激勵(lì)力矩，建立單缸變慣量曲軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程;②應(yīng)用多尺度法得到系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)頻率、激勵(lì)頻率與固有頻率近似滿足1∶2∶1情況下的分岔方程;③應(yīng)用奇異性理論［10］研究共振情況下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值隨變慣量參數(shù)及調(diào)諧參數(shù)變化的分岔情況;④選取實(shí)際物理參數(shù)，將理論結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證理論分析的正確性。本文研究對(duì)充分認(rèn)識(shí)變慣量因素對(duì)曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性的影響，促進(jìn)軸系優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定指導(dǎo)意義。

1 振動(dòng)微分方程建立

1.1 變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)曲柄半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，連桿長(zhǎng)度為l，連桿質(zhì)心G到曲柄端A的距離為l1，曲柄質(zhì)量為mc，連桿質(zhì)量為mr，活塞質(zhì)量為mp，曲柄轉(zhuǎn)角為θ，扭轉(zhuǎn)角為φ，曲軸工作角頻率為Ω，曲柄連桿工作過(guò)程中三者滿足θ=Ω t+φ，如圖1所示。

圖1 活塞—曲柄機(jī)構(gòu)原理圖Fig.1 Schematic figure of piston-crank model

據(jù)內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力學(xué)知識(shí)，活塞速度vp可近似表示為:

式中:λ0為連桿比，λ0=r/l。

據(jù)瞬時(shí)動(dòng)能等效條件:

式中:m1，m2分別代表連桿等效到曲柄銷(xiāo)的旋轉(zhuǎn)部分質(zhì)量和等效到活塞上的往復(fù)部分質(zhì)量，m1=(l-l1)mr/l，m2=l1mr/l。

將式(1)代入式(2)，得系統(tǒng)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

由于λ0=1/5～1/3比值較小，忽略λ0及高次項(xiàng)，得系統(tǒng)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［2］表達(dá)式為:

式中:J0=Ic+m1r2+(m2+mp)r2/2，β=(m2+mp)r2/(2J0)。

1.2 單缸曲軸動(dòng)力學(xué)模型

圖2 單缸曲軸等效模型簡(jiǎn)圖Fig.2 Equivalent model of single cylinder crankshaft

考慮活塞等往復(fù)部件影響，將單缸曲軸等效為單圓盤(pán)模型，如圖2所示?？紤]曲軸阻尼力矩，一次、三次彈性力矩［11］及活塞氣壓變化引起的不平衡激振力矩(力矩頻率與系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率成比例關(guān)系［12］)。系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能與外界激勵(lì)力矩分別表示為:

據(jù)Lagrange方程:

考慮實(shí)際情況下系統(tǒng)許用扭轉(zhuǎn)角φm(φm=±0.2°～ ±0.5°)較?。?］，三角函數(shù) sin(2θ)和 cos(2θ)取值可近似表示為sin(2Ω t)和cos(2Ω t)，則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為:

式中:k1，k3分別為曲軸線性剛度系數(shù)及三次非線性剛度系數(shù)，c為曲軸線性阻尼系數(shù)，T為激勵(lì)力矩幅值，Ω1為角頻率。

2 非線性振動(dòng)特性分析

對(duì)式(8)進(jìn)行量綱分析并考慮實(shí)際情況下系統(tǒng)弱阻尼與弱非線性特性，將變慣量影響視為方程攝動(dòng)量，在相應(yīng)項(xiàng)前冠以小參數(shù)標(biāo)志ε，則有:

2.1 系統(tǒng)分岔方程

ω，Ω1取值不同對(duì)應(yīng)的振動(dòng)情況亦不同，為簡(jiǎn)化研究過(guò)程，設(shè)主要激勵(lì)頻率Ω1=2Ω，即μ=2，令μn=1+εσ，其中σ為調(diào)諧參數(shù)，其它情況下分析類(lèi)似。

用多尺度方法［13］研究方程振動(dòng)特性，引入時(shí)間尺度Tn=εnτ(n=0，1)，設(shè)式(9)一次近似解為:

將式(10)代入式(9)，并令等式兩邊ε同次冪系數(shù)相等，得偏微分方程為:

其中:Dn=?/?Tn(n=0，1)。

設(shè)式(11)復(fù)數(shù)形式解為:

將式(13)代入式(12)得:

消除永年項(xiàng)條件為:

將A表示為極坐標(biāo)形式:

將式(16)代入式(15)，分離實(shí)虛部并化簡(jiǎn)，得:

最終得系統(tǒng)一階近似解為:

2.2 定常解穩(wěn)定性分析

研究定常解在(σ，β)平面分布情況。將α，ζ視為常數(shù)。將a2視為未知變量，式(19)的判別式為:

通過(guò)對(duì)式(19)、式(20)分析，得:① Δ ＞0，若16ζ2+16σ2-β2＜0，則系統(tǒng)存在兩個(gè)解:a1=0，a2若 16ζ2+16σ2-β2＞0且σ＜0，則系統(tǒng)存在三個(gè)解:a1=0，a2，3=其它情況系統(tǒng)只存在零解;② Δ=0，若σ＜0，則系統(tǒng)存在兩個(gè)解:a1=0，其它情況系統(tǒng)只存在零解;③ Δ＜0，系統(tǒng)只存在零解。

為研究定常解的穩(wěn)定性［14］，令:

其中:u，v均為實(shí)函數(shù)，將式(23)代入式(17)、式(18)，求得直角坐標(biāo)形式下的平均方程為:

式(24)、式(25)的Jacobi矩陣為:

對(duì)應(yīng)零解的特征方程及解可分別表示為:

對(duì)應(yīng)于非零解特征方程及解可分別表示為:

據(jù)穩(wěn)定性判別條件式(28)、式(30)，即可判斷不同參數(shù)區(qū)間內(nèi)零解與非零解的穩(wěn)定性。

2.3 系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷集與普適開(kāi)折

據(jù)式(19)、式(20)，可將系統(tǒng)分岔方程表示為:

故系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷集為:

轉(zhuǎn)遷集將開(kāi)折參數(shù)空間分為兩個(gè)區(qū)間，各區(qū)間分岔見(jiàn)圖3。

圖3 系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷集及分岔圖Fig.3 Removal set and bifurcation diagram of the system

工程問(wèn)題分析時(shí)，可將原系統(tǒng)物理參數(shù)代入，得到無(wú)量綱系數(shù)β，ζ，σ，α的值，從而判斷系統(tǒng)分岔行為。

2.4 開(kāi)折參數(shù)對(duì)原系統(tǒng)影響

當(dāng)式(22)中β＜4ζ時(shí)，系統(tǒng)只有零解，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅值為零且無(wú)分岔產(chǎn)生;當(dāng)β≥4ζ時(shí)，隨著系統(tǒng)參數(shù)變化，定常解個(gè)數(shù)會(huì)改變，即發(fā)生分岔行為。

2.4.1 變慣量參數(shù)β對(duì)系統(tǒng)影響

(2)調(diào)諧參數(shù)|σ| ?1且σ＞0，變慣量參數(shù)β變化時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值分岔圖如圖4(b)所示，此時(shí)只存在第二臨界點(diǎn)，特征點(diǎn)坐標(biāo)A1=(βc2，0)。當(dāng)0＜β＜βc2時(shí)，系統(tǒng)只有零解，振動(dòng)幅值很小，此為工程設(shè)計(jì)理想情況;當(dāng)β≥βc2時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定非零解，此時(shí)系統(tǒng)振幅隨β變化較大，工程中應(yīng)避免。

圖4 系統(tǒng)幅值隨參數(shù)β變化分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams whenβ changes

圖5 系統(tǒng)幅值隨參數(shù)σ變化分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram whenσ changes

2.4.2 調(diào)諧參數(shù)σ對(duì)系統(tǒng)影響

(1)系統(tǒng)參數(shù)β≥4ζ，調(diào)諧參數(shù)σ變化時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)如圖5所示，兩個(gè)臨界點(diǎn)分別為σc1=，三個(gè)特征點(diǎn)坐標(biāo)分別為A2=(σc1，0)，B2=(σc2，0)，C2=

當(dāng)σ＜σc1時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定解，此時(shí)振動(dòng)過(guò)程與初始條件有關(guān);當(dāng)σc1≤σ＜σc2時(shí)，系統(tǒng)存在非零穩(wěn)定解，且幅值較大;當(dāng)σ≥σc2時(shí)，系統(tǒng)只有穩(wěn)定零解，為工程中理想情況。

(2)系統(tǒng)參數(shù)β＜4ζ，調(diào)諧參數(shù)σ變化時(shí)系統(tǒng)只有穩(wěn)定零解。

綜合上述對(duì)β，σ分析，并結(jié)合式(21)，得:

(1)隨參數(shù)的取值不同，式(31)關(guān)于振幅a解的個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性均不同，工程中希望在參數(shù)空間內(nèi)取值使a=0作為穩(wěn)定唯一解，此時(shí)原振動(dòng)系統(tǒng)一階近似解可簡(jiǎn)化為φ=ε［(β-f)sin(2Ω t)］/3，系統(tǒng)振動(dòng)幅值只與參數(shù)β，f有關(guān)，當(dāng)兩者差值較小時(shí)，系統(tǒng)保持小幅振動(dòng);

(2)a=0條件:① 系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率大于固有頻率(σ＜0)時(shí)，應(yīng)優(yōu)化參數(shù)β值，使其保持在β＜4ζ范圍內(nèi);② 當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率小于固有頻率(σ＞0)時(shí)，應(yīng)優(yōu)化參數(shù)β值，使其保持在范圍內(nèi);

(3)若(1)、(2)均不滿足，則曲軸振動(dòng)將進(jìn)入分岔區(qū)域，不利于內(nèi)燃機(jī)系統(tǒng)正常工作。

3 數(shù)值分析

為驗(yàn)證理論分析的正確性，本文引入工程中物理參數(shù)［6］進(jìn)行數(shù)值仿真分析。選k1=2.35 ×106N·m·rad-1;k3=3.1×105N·m·rad-3;T=500 N·m;Ω=2 500 rad·s-1;Ω1=5 000 rad·s-1;c=20 N·m·s·rad-1。并選三組影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)β進(jìn)行分析:

(1)m1=2.572 kg;m2=2.206 kg;mp=2.295 kg;r=0.0432 m;Ic=0.411 kg·m2。此時(shí)變慣量參數(shù)β=0.01，原系統(tǒng)存在一個(gè)解a1=0(S)(其中“S”表示穩(wěn)定解，“US”表示不穩(wěn)定解，下同)，仿真結(jié)果見(jiàn)圖6。

(2)m1=1.721 kg;m2=1.631 kg;mp=2.52 kg;r=0.211 m;Ic=0.25 kg·m2。得到系統(tǒng)變慣量參數(shù)及臨界參數(shù)分別為:β=0.22，βc2=0.218 7?？膳袛嘞到y(tǒng)存在兩個(gè)解:a1=0(US)，a2=1.561 6(S)。此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生大幅振動(dòng)，共振現(xiàn)象明顯，仿真結(jié)果見(jiàn)圖7。

(3)m1=2.238 kg;m2=1.115 kg;mp=1.295 kg;r=0.132 m;Ic=0.360 kg·m2。此時(shí)變慣量參數(shù)及臨界參數(shù)分別為:β=0.05，βc1=0.038 10，βc2=0.218 7。原系統(tǒng)存在三個(gè)解:a1=0(S)，a2=1.016 2(US)，a3=1.182 5(S)，不同初值下系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖8所示。本文認(rèn)為大振幅情況(圖8(b))不太會(huì)出現(xiàn)，但應(yīng)在曲軸設(shè)計(jì)中避免。

圖6 第一組參數(shù)下時(shí)間歷程圖Fig.6 Time process figure with the first parameters

圖7 第二組參數(shù)下時(shí)間歷程圖Fig.7 Time process figure with the second parameters

圖8 第三組參數(shù)下時(shí)間歷程圖Fig.8 Time process figure with the third parameters

4 結(jié)論

應(yīng)用多尺度法與奇異性理論研究了曲軸系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率、不平衡激勵(lì)力矩頻率與固有頻率近似滿足1∶2∶1情況下，變慣量參數(shù)β及調(diào)諧參數(shù)σ對(duì)曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分岔行為影響，結(jié)論如下:

(1)變慣量參數(shù)β、調(diào)諧參數(shù)σ及阻尼參數(shù)ζ影響系統(tǒng)在共振情況下的穩(wěn)態(tài)振幅。三參數(shù)取值合理，系統(tǒng)保持小幅振動(dòng)，否則系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定的大幅振動(dòng)，因而導(dǎo)致系統(tǒng)故障，工程設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮三參數(shù)的相對(duì)關(guān)系;

(2)固有頻率ω與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率Ω滿足ω＞Ω時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)過(guò)程中不存在第一臨界點(diǎn)βc1=4ζ，擴(kuò)大了參數(shù)β的穩(wěn)定區(qū)間，而穩(wěn)定振幅在臨界點(diǎn)附近不會(huì)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，避免出現(xiàn)突發(fā)系統(tǒng)故障;

(3)變慣量參數(shù)β與力矩幅值f差值較小時(shí)，存在判別條件:①β＜4ζ;②β≥4ζ且系統(tǒng)固有頻率ω大于轉(zhuǎn)動(dòng)頻率Ω。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系滿足①、②中任意一條時(shí)，均可保證系統(tǒng)在許用幅值下做小幅振動(dòng)，且不會(huì)發(fā)生穩(wěn)態(tài)振幅大幅變化現(xiàn)象。

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