李 飄，陳美霞，羅 琦

華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

0 引 言

近年來(lái)，復(fù)合材料科學(xué)與工業(yè)技術(shù)發(fā)展迅速，其應(yīng)用范圍日趨廣泛，在航空、航天、汽車(chē)、艦船和建筑等領(lǐng)域發(fā)揮的作用越來(lái)越顯著，這與復(fù)合材料具有比強(qiáng)度和比模量高、減振降噪性能優(yōu)良、耐腐蝕性強(qiáng)、耐熱性好以及具有可設(shè)計(jì)性等突出的優(yōu)點(diǎn)關(guān)系密切。特別是在艦船等軍事裝備的應(yīng)用方面，由于其所處環(huán)境惡劣以及作戰(zhàn)攻防需求，既要求結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的抗爆、抗沖擊、抗疲勞性，還必須保證其具有優(yōu)良的隱身性。

在目前艦船結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)日趨成熟的情況下，復(fù)合材料是改善艦船強(qiáng)度和隱身性等指標(biāo)的重要且有效的突破點(diǎn)之一。在多種復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中，泡沫夾芯板的應(yīng)用歷史悠久，應(yīng)用范圍廣泛。與普通單一材料相比，泡沫夾芯結(jié)構(gòu)不僅具有比強(qiáng)度高、比剛度大等特點(diǎn)，還具有隔音、防熱和減振等功能特性。但是，泡沫夾芯結(jié)構(gòu)的層間性能和面外抗壓性能相對(duì)較弱。為了改善泡沫芯子的力學(xué)性能，提高夾芯結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)性能，可以采取在泡沫芯層中增加橫向增強(qiáng)構(gòu)件等措施，如圓柱體支柱和長(zhǎng)方體支柱等。

對(duì)于這種橫向增強(qiáng)夾芯層合板結(jié)構(gòu)，分析其力學(xué)性能的第一步就是要求解出含有橫向增強(qiáng)構(gòu)件的芯層等效彈性模量。Zhao 等［1］在Eshelby-Mori-Tanaka 理論的基礎(chǔ)上提出了兩相復(fù)合材料等效模量張量，并將其與Hill 與Hashin 的上下限進(jìn)行了比較。劉文輝等［2］用ANSYS 有限元程序?qū)伟M(jìn)行求解，得到了復(fù)合材料的等效彈性模量，分析了不同微觀結(jié)構(gòu)對(duì)材料等效彈性模量的影響，并與實(shí)驗(yàn)和其他理論結(jié)果進(jìn)行比較，最后得到了不同方向的方形纖維對(duì)于材料的有效模量和有效泊松比的影響。王兵等［3］采用等效夾雜理論，并引入基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的修正系數(shù)，結(jié)合Mori-Tanaka 方法預(yù)報(bào)了纖維柱增強(qiáng)泡沫芯材的法向彈性模量和橫向剪切模量，具有很好的準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步探討了纖維柱內(nèi)纖維體積含量及纖維柱直徑的變化對(duì)芯子等效性能的影響。

雷友鋒等［4］采用細(xì)觀力學(xué)有限元法，通過(guò)對(duì)復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)代表性體積單元的力學(xué)響應(yīng)計(jì)算，得到了宏觀等效彈性模量。在該計(jì)算方法中，給出了施加簡(jiǎn)便的邊界載荷以及恰當(dāng)?shù)倪吔缱冃渭s束條件的方法。數(shù)值計(jì)算結(jié)果與部分試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性，表明所提出的方法能較好地計(jì)算復(fù)合材料的宏觀有效彈性模量。劉振國(guó)等［5］對(duì)三維四向編織復(fù)合材料的參數(shù)化建模技術(shù)進(jìn)行了研究，采用有限元軟件較真實(shí)地模擬了該材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，討論了相應(yīng)的邊界條件和約束條件的施加，并應(yīng)用有限元方法計(jì)算了該材料的縱向和橫向彈性模量。通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，表明計(jì)算結(jié)果的預(yù)報(bào)精度較好。

本文將采用基于Eshelby 等效夾雜原理的Mo?ri-Tanaka 方法，求解出含橫向增強(qiáng)構(gòu)件芯材的等效彈性模量，包括拉伸模量、剪切模量和泊松比。同時(shí)，采用有限元軟件ANSYS 對(duì)芯材元胞進(jìn)行數(shù)值模擬，計(jì)算出等效彈性模量，并與Mori-Tanaka方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在對(duì)理論求解進(jìn)行驗(yàn)證的前提下，將繼續(xù)研究基體和增強(qiáng)構(gòu)件的材料屬性和尺寸參數(shù)等因素對(duì)芯層等效彈性模量的影響規(guī)律。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 等效夾雜理論

Eshelby［6-7］關(guān)于無(wú)限大體內(nèi)含有橢球形夾雜彈性場(chǎng)問(wèn)題的一個(gè)重要研究結(jié)論是：當(dāng)本征應(yīng)變均勻（對(duì)本征應(yīng)變顆粒）或外載均勻時(shí)（對(duì)非均勻顆粒），橢球顆粒內(nèi)部的彈性場(chǎng)也是均勻的，可用橢圓積分的形式表示。這個(gè)解后來(lái)成為等效彈性模量計(jì)算的基礎(chǔ)，即在各向同性無(wú)限大彈性體中，發(fā)生了均勻的本征應(yīng)變，當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，橢球體Ω 內(nèi)的應(yīng)變?chǔ)舏j是均勻的，它可表示為

式中，Sijkl為Eshelby 張量，它與基體的彈性性質(zhì)及夾雜的形狀有關(guān)，其表達(dá)式可參考文獻(xiàn)［8］。

1.2 Mori-Tanaka 方法

Mori 和Tanaka［9］在研究彌散硬化材料的加工硬化時(shí)，提出了求解材料內(nèi)部平均應(yīng)力的背應(yīng)力方法，即Mori-Tanaka 方法。

設(shè)均質(zhì)材料在其邊界上受到遠(yuǎn)場(chǎng)均勻的應(yīng)力σ0的作用，其本構(gòu)關(guān)系為

式中，L0為基體材料的彈性常數(shù)張量。其他條件不變，當(dāng)基體中存在夾雜相時(shí)，夾雜之間的相互作用會(huì)產(chǎn)生一個(gè)擾動(dòng)應(yīng)變。復(fù)合材料基體中的平均應(yīng)力為

顯然，基體中應(yīng)力的擾動(dòng)部分為

由于材料彈性性質(zhì)存在差別，在外力作用下，復(fù)合材料夾雜相內(nèi)的平均應(yīng)力和平均應(yīng)變不等于基體內(nèi)的相應(yīng)平均值，他們的差值分別為σ′ 與ε′。這個(gè)在基體平均背應(yīng)力σ0+σ～ 基礎(chǔ)上夾雜的應(yīng)力擾動(dòng)問(wèn)題可以用Eshelby 等效夾雜原理處理，即

式中：L1為夾雜相的彈性常數(shù)張量；ε*為夾雜的等效本征應(yīng)變；σ′與ε′為由于單個(gè)夾雜的存在而相對(duì)于原本的基體所引起的擾動(dòng)應(yīng)力和應(yīng)變，采用Eshelby 的推導(dǎo)結(jié)果有

式中，S 為Eshelby 四階張量。

根據(jù)文獻(xiàn)［8］的推導(dǎo)，復(fù)合材料的體積平均應(yīng)力σˉ應(yīng)等于其遠(yuǎn)場(chǎng)作用的均勻應(yīng)力σ0，且有以下關(guān)系式：

式中，C1為夾雜相的體積比例。結(jié)合式（3）和式（5），可以得到

將式（6）和式（8）代入式（5），得到：

式中，

最終得到復(fù)合材料的等效彈性模量

式中，L0，L1和L 的矩陣形式為材料的剛度矩陣C，當(dāng)材料為各向同性時(shí)，剛度矩陣

其中，F(xiàn) 為材料的柔度矩陣。

當(dāng)材料為各向異性時(shí)，

求出L 以后，對(duì)其求逆得到柔度矩陣，就能較方便地得到各個(gè)等效彈性模量。

2 橫向增強(qiáng)芯材的等效模量計(jì)算

2.1 單胞模型

圖1 所示為橫向增強(qiáng)夾芯層合板，上、下層為復(fù)合材料面板，中間芯材由泡沫基體和圓柱體增強(qiáng)構(gòu)件組成。

圖1 橫向增強(qiáng)夾芯層合板示意圖Fig.1 Sketch of the transverse reinforced sandwich laminated plate

根據(jù)層合板中空間位置分布的對(duì)稱性和周期性，可以認(rèn)為它是由一系列單胞（也稱代表性體積單元）在厚度平面上排列組成，如圖2 所示。單胞由基體和圓柱體夾雜體共同構(gòu)成，前者一般采用泡沫材料，后者則可以選用樹(shù)脂柱、纖維柱或者其他材料。

圖2 橫向增強(qiáng)芯材的單胞示意圖Fig.2 Sketch of the unit cell of the transverse reinforced core material

單胞模型的相關(guān)參數(shù)如表1 所示。

由表中幾何尺寸可以確定式（12）中增強(qiáng)相的體積分?jǐn)?shù)

表1 單胞模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the unit cell model

2.2 有限元模型

復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)有限元法是將常規(guī)有限元法應(yīng)用于復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)的代表性體積單元上，通過(guò)有限元計(jì)算獲得細(xì)觀應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)之后，通過(guò)均勻化方法計(jì)算獲得復(fù)合材料的等效彈性模量。這種等效的基礎(chǔ)是能量等效原理，即在均勻的位移或者力邊界條件作用下，代表性體積單元所產(chǎn)生的彈性應(yīng)變能等同于等效之后的形狀和大小都與之完全相同的均質(zhì)體產(chǎn)生的應(yīng)變能，然后把該均質(zhì)體的性能作為所求復(fù)合材料的等效性能［10］。

本文利用有限元軟件ANSYS 中的SOLID45實(shí)體單元建立單胞有限元模型，x 軸和y 軸為長(zhǎng)寬方向，即2，3 方向，z 軸為夾雜圓柱體的軸向，即1方向，坐標(biāo)設(shè)置如圖2 所示。單胞有限元模型如圖3 所示。

圖3 單胞有限元模型Fig.3 The FE model of unit cell

考慮到尺寸足夠大的芯材，當(dāng)其受到軸向和橫向拉伸或壓縮時(shí)，可以認(rèn)為單胞仍然保持自身的對(duì)稱性及空間上的周期性，即單胞的各個(gè)表面均是對(duì)稱面。以計(jì)算E11為例，單胞有限元模型的邊界條件為

施加位移載荷wz=h=δ，在有限元計(jì)算之后，相關(guān)應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，εx和εy為有限元計(jì)算所得，并且都是體積平均值。復(fù)合材料的體積平均應(yīng)變和應(yīng)力分別等于其邊界上的平均應(yīng)變和應(yīng)力，因此，最終計(jì)算都用相關(guān)表面上的平均應(yīng)變和應(yīng)力代替。提取z=h面上所有節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力之和∑Fz，則單胞z 方向的平均應(yīng)力為

根據(jù)胡克定律，可得

采用類(lèi)似的邊界條件和加載方式，可以得到橫向彈性模量E22，E33以及v32。根據(jù)芯材的橫觀各向同性特性，可以計(jì)算出面內(nèi)剪切模量G23=E22/[2(1+v23)]。

2.3 算例驗(yàn)證

按照上述分析，通過(guò)兩種途徑分別驗(yàn)證計(jì)算方法的正確性：首先，分別采用Mori-Tanaka 方法和有限元方法對(duì)單胞的等效彈性模量計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證；而后，進(jìn)一步建立本文所述的橫向增強(qiáng)夾芯板的實(shí)際平板結(jié)構(gòu)和等效夾芯板結(jié)構(gòu)，分別計(jì)算彎曲性能并進(jìn)行對(duì)比分析。

2.3.1 單胞算例驗(yàn)證

分別采用Mori-Tanaka 理論方法和有限元方法對(duì)單胞的等效彈性模量進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表2 Mori-Tanaka 方法和有限元方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison between results of Mori-Tanaka method and the FEM simulation

由表2 中的數(shù)據(jù)可看出，采用Mori-Tanaka 方法計(jì)算出來(lái)的單胞等效彈性模量和泊松比相比吻合較好，最大誤差僅-5.45%。造成二者誤差的主要原因是：一方面，有限元計(jì)算的準(zhǔn)確度與網(wǎng)格密度、邊界條件的設(shè)置是否合適有關(guān)；另一方面，Mo?ri-Tanaka 方法采用的Eshelby 張量以及許多假設(shè)是基于無(wú)限大基體的單個(gè)夾雜而建立，即夾雜體積分?jǐn)?shù)十分小，因此與單胞模型有差別。從相互驗(yàn)證的角度來(lái)看，無(wú)論是Mori-Tanaka 方法還是有限元方法，在計(jì)算這類(lèi)帶有圓柱體橫向增強(qiáng)芯材的等效彈性模量上，準(zhǔn)確度均較高。

Mori-Tanaka 方法屬理論分析，方法簡(jiǎn)單易用，但其應(yīng)用具有一定的限制性。例如，其只能對(duì)橫向增強(qiáng)構(gòu)件是球體、橢球體和圓柱體等這類(lèi)復(fù)合芯材進(jìn)行研究，在增強(qiáng)構(gòu)件的體積分?jǐn)?shù)過(guò)大時(shí)，會(huì)降低其準(zhǔn)確性。而有限元法的適用范圍則較廣泛，通過(guò)建立結(jié)構(gòu)細(xì)觀模型，其能模擬帶有各種復(fù)雜形狀以及分布形式各異的增強(qiáng)構(gòu)件復(fù)合芯材的應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)，從而計(jì)算出結(jié)構(gòu)的等效彈性模量。但這種廣泛適用性的另一面又反映了其缺點(diǎn)，即對(duì)不同的復(fù)合結(jié)構(gòu)，需要有針對(duì)性的建模，包括邊界條件和載荷的設(shè)計(jì)等，沒(méi)有理論方法簡(jiǎn)便。

2.3.2 夾芯板算例驗(yàn)證

采用ANSYS 有限元軟件分析橫向增強(qiáng)夾芯板實(shí)際結(jié)構(gòu)和Mori-Tanaka 等效夾芯板結(jié)構(gòu)的彎曲力學(xué)性能。夾芯板結(jié)構(gòu)尺寸為0.9 m×0.6 m，面板厚0.005 m，芯層厚0.04 m，材料屬性為表2 中Mori-Tanaka 方法的計(jì)算結(jié)果（表中沒(méi)有給出的G12=G13= 29.84 MPa）。面板和芯層均選用SOL?ID45 單元，最小的網(wǎng)格尺度和最大的網(wǎng)格尺度分別約為1.25 mm 和5 mm。實(shí)際結(jié)構(gòu)和等效結(jié)構(gòu)有限元模型如4 和圖5 所示。

對(duì)上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行四邊簡(jiǎn)支約束，底面加載1.0×105Pa 的均布?jí)毫?，進(jìn)行靜力分析以后，下面將給出部分結(jié)果云圖。二者的橫向位移和y 向正應(yīng)力云圖如圖6 和圖7 所示。

圖4 橫向增強(qiáng)夾芯板有限元模型Fig.4 The FE model of transverse reinforced sandwich plate

圖5 等效夾芯板有限元模型Fig.5 The FE model of equivalent sandwich plate

圖6 兩種模型的橫向位移Fig.6 Transverse displacement of the two models

圖7 兩種模型的y 向正應(yīng)力Fig.7 Normal stress of the two models in direction y

由云圖來(lái)看，橫向增強(qiáng)夾芯板和等效夾芯板的橫向位移云圖基本一致，實(shí)際模型的最大位移為2.281 mm，等效模型的最大位移為2.43 mm，誤差為6.53%。y 向正應(yīng)力云圖的分布也基本一致，橫向增強(qiáng)夾芯板的最大y 向正應(yīng)力為58 MPa，等效夾芯板的則為57.4 MPa，誤差為1.03%，上述誤差均在可接受范圍內(nèi)。限于篇幅未給出的其他結(jié)果基本上也是這樣的效果。另一方面，從應(yīng)力云圖來(lái)看，由橫向增強(qiáng)夾芯板實(shí)際模型的結(jié)果可以反映出增強(qiáng)結(jié)構(gòu)與基體之間的應(yīng)力集中情況，而等效夾芯板則由于芯層等效處理變成了均質(zhì)芯層，因而丟失了應(yīng)力集中等細(xì)節(jié)信息。但從整體結(jié)果對(duì)比來(lái)看，本文的Mori-Tanaka 方法具有很大的適用性和準(zhǔn)確性，等效模型的計(jì)算結(jié)果依然能夠反映出結(jié)構(gòu)的總體力學(xué)性能。

3 相關(guān)參數(shù)對(duì)復(fù)合芯材等效彈性模量的影響規(guī)律

本節(jié)將采用Mori-Tanaka 方法研究基體材料、橫向增強(qiáng)支柱材料、單胞尺寸和橫向增強(qiáng)支柱直徑對(duì)整個(gè)單胞的等效彈性模量的影響規(guī)律。計(jì)算的基礎(chǔ)模型仍然是前節(jié)給出的長(zhǎng)寬相等的單胞模型。相關(guān)變化參數(shù)如表3 所示。

表3 參數(shù)變化范圍Tab.3 Variation range of the parameters

Mori-Tanaka 方法的計(jì)算結(jié)果如圖8～圖11所示。

圖8 基體楊氏模量對(duì)等效彈性模量的影響Fig.8 Effects of Young modulus of the matrix on effective elastic modulus

圖9 增強(qiáng)構(gòu)件楊氏模量對(duì)等效彈性模量的影響Fig.9 Effects of Young modulus of the reinforced components on effective elastic modulus

圖10 單胞尺寸對(duì)等效彈性模量的影響Fig.10 Effects of the size of unit cell on effective elastic modulus

圖11 橫向增強(qiáng)圓柱直徑對(duì)等效彈性模量的影響Fig.11 Effects of the diameter of transverse reinforced cylinder on effective elastic modulus

由圖8 可看出，隨著基體材料楊氏模量的逐漸增大，復(fù)合芯材橫向（E1）和面內(nèi)等效楊氏模量（E2）也相應(yīng)增大，類(lèi)似于線性增長(zhǎng)；面內(nèi)等效泊松比v32逐漸減小，說(shuō)明基體楊氏模量的增大抑制了復(fù)合芯材的面內(nèi)泊松效應(yīng)。而橫向等效泊松比v21則基本不受基體材料楊氏模量的影響，幾乎保持不變。

由圖9 可見(jiàn)，增大橫向增強(qiáng)構(gòu)件的楊氏模量，會(huì)使復(fù)合芯材的橫向等效楊氏模量E1顯著增加，但面內(nèi)等效楊氏模量E2的增加量十分微小。同時(shí)，面內(nèi)等效泊松比v32也相應(yīng)增大，但隨著橫向增強(qiáng)構(gòu)件楊氏模量的繼續(xù)增大，其增量逐漸變緩，而橫向等效泊松比v21則幾乎不受影響。

由圖10 的曲線可見(jiàn)，隨著單胞尺寸的增大，復(fù)合芯材的橫向等效楊氏模量E1顯著降低，但下降速度越來(lái)越慢，而面內(nèi)等效楊氏模量E2則減小得十分緩慢。同時(shí)，面內(nèi)等效泊松比v32也明顯減小，而橫向等效泊松比v21的變化趨勢(shì)則相反，呈緩慢增大趨勢(shì)。

圖11 說(shuō)明隨著橫向增強(qiáng)圓柱直徑的增大，復(fù)合芯材的橫向等效楊氏模量E1明顯增大，而面內(nèi)等效楊氏模量E2的增加則相對(duì)較慢。同時(shí)，面內(nèi)等效泊松比v32是先迅速增大然后又出現(xiàn)緩慢下降的趨勢(shì)，而橫向等效泊松比v21則是逐漸減小。

單胞尺寸的增大和圓柱直徑的減小，導(dǎo)致的一致結(jié)果是增強(qiáng)構(gòu)件密度變小，從而在宏觀上使復(fù)合芯材的等效模量減小。

綜合分析發(fā)現(xiàn)，橫向等效楊氏模量E1和面內(nèi)等效泊松比v32受表3 中3 個(gè)參數(shù)（基體楊氏模量除外）的影響，其分別比面內(nèi)等效楊氏模量E2和橫向等效泊松比v21要大一些。這是由于本文中的橫向增強(qiáng)構(gòu)件在厚度方向的彈性性能是由增強(qiáng)構(gòu)件來(lái)保證，整個(gè)單胞體現(xiàn)出一種厚度方向的模量要比水平方向顯著的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此，橫向等效模量E1對(duì)相關(guān)參數(shù)變化更敏感。

4 結(jié) 論

本文將Mori-Tanaka 方法與有限元方法進(jìn)行了互相驗(yàn)證，并采用Mori-Tanaka 方法研究了基體和增強(qiáng)構(gòu)件的材料屬性與尺寸參數(shù)對(duì)復(fù)合芯材等效彈性模量的影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：

1）驗(yàn)證了Mori-Tanaka 理論方法的準(zhǔn)確性，可以用于預(yù)測(cè)文中橫向增強(qiáng)芯材的等效彈性模量，并且，其在實(shí)際橫向增強(qiáng)層合板結(jié)構(gòu)的等效模型力學(xué)分析中，準(zhǔn)確性較高。

2）隨著基體材料楊氏模量的增大，復(fù)合芯材的等效E1和E2相應(yīng)增大；等效v32逐漸減小，等效v21則基本不受基體材料楊氏模量的影響。

3）增大橫向增強(qiáng)構(gòu)件的楊氏模量，等效E1會(huì)顯著增加，E2的增加量則十分微?。坏刃32會(huì)相應(yīng)增大但增量逐漸變緩，而等效v21則幾乎不受影響。

4）減小增強(qiáng)構(gòu)件密度在宏觀上會(huì)使復(fù)合芯材的等效樣式模量減小，等效v32明顯減小，v21則呈緩慢增大趨勢(shì)。

［1］ZHAO Y H，WENG G J.Effective elastic moduli of rib?bon-reinforced composites［J］. Journal of Applied Me?chanics，1990，57（1）：158-167.

［2］劉文輝，張新明，張淳源. 微觀結(jié)構(gòu)對(duì)復(fù)合材料彈性有效性能的影響［J］.工程力學(xué)，2005，22（S1）：16-20.LIU Wenhui，ZHANG Xinming，ZHANG Chunyuan.Microstructure effect on elastic properties of composites［J］.Engineering Mechanics，2005，22（s1）：16-20.

［3］王兵，馮吉才，李慶飛，等.纖維柱增強(qiáng)泡沫夾芯的等效力學(xué)性能研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，44（3）：29-33.WANG Bing，F(xiàn)ENG Jicai，LI Qingfei，et al. Study on the effective mechanical properties of foam core sand?wich structure reinforced by fiber composite columns［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2012，44（3）：29-33.

［4］雷友鋒，魏德明，高德平. 細(xì)觀力學(xué)有限元法預(yù)測(cè)復(fù)合材料宏觀有效彈性模量［J］. 燃?xì)鉁u輪試驗(yàn)與研究，2003，16（3）：11-15，18.LEI Youfeng，WEI Deming，GAO Deping. Predicting macroscopic effective elastic moduli of composites by micro-mechanics FEM［J］. Gas Turbine Experiment and Research，2003，16（3）：11-15，18.

［5］劉振國(guó)，馮志海.三維四向編織復(fù)合材料彈性模量數(shù)值預(yù)報(bào)［J］. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，26（2）：182-185.LIU Zhenguo，F(xiàn)ENG Zhihai. Numerical prediction of moduli of 3-D and 4-step braided composites［J］.Jour?nal of Beijing University of Aeronautics and Astronau?tics，2000，26（2）：182-185.

［6］ESHELBY J D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems［J］. Pro?ceedings of the Royal Society，1957，241：376-396.

［7］ESHELBY J D. The elastic field outside an ellipsoidal inclusion［J］. Proceedings of the Royal Society，1959，243：561-569.

［8］杜善義，王彪.復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1998.

［9］MORI T，TANAKA K. Average stress in matrix and av?erage elastic energy of the materials with misfitting in?clusions［J］.Acta Metallurgica，1973，21（5）：571-574.

［10］SUN C T，VAIDYA R S.Prediction of composite prop?erties from a representative volume element［J］. Com?posites Science and Technology，1996，56（2）：171-179.