張緒緒

(陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 陜西 咸陽(yáng) 712000)

0 引言

冪等矩陣在矩陣?yán)碚摵徒y(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的應(yīng)用，諸如文獻(xiàn)[1,2].近幾年立方冪等矩陣線性組合的相關(guān)性質(zhì)也引起了許多學(xué)者的重視和研究，并得到了相應(yīng)的結(jié)論.文獻(xiàn)[3]給出了兩個(gè)可交換的立方冪等矩陣的線性組合是立方冪等矩陣的充分必要條件，本文在文獻(xiàn)[4-10]研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過向量空間向量組的秩，研究了三個(gè)非零的兩兩可交換的n×n立方冪等矩陣P1,P2,P3的線性組合是立方冪等矩陣的等價(jià)條件.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]任意矩陣A∈Cn×n,如果A3=A,則A稱是立方冪等矩陣.

定義2[5]矩陣A,B∈Cn×n,如果AB=BA,則稱矩陣AB是可交換的.

2 重要結(jié)論

(1)c1+c2+c3=±1；

(2)c1+c2-c3=±1；

(3)c1-c2+c3=±1；

(4)c1-c2-c3=±1.

證明:必要性顯然.下證充分性.

因?yàn)镻2=aP1,P3=bP1,a,b∈C,所以a=±1,b=±1,

c1P1+c2aP1+c3bP1=(c1+c2a+c3b)P1

又因?yàn)镻3=P,P13=P1，故

(c1+ac2+bc3)3P13=(c1+ac2+bc3)P1,

(c1+ac2+bc3)3=(c1+ac2+bc3)

則c1+ac2+bc3=±1.

若(ab)=(1 1),則c1+c2+c3=±1;

若(ab)=(1 -1),則c1+c2-c3=±1;

若(ab)=(-1 1),則c1-c2+c3=±1;

若(ab)=(-1 -1),則c1-c2-c3=±1.證畢.

(1)若P1是向量組{P1,P2,P3}的極大線性無(wú)關(guān)組,即P2=aP1,P3=bP1,a,b∈C,則P3=P當(dāng)且僅當(dāng)

(2)若P2是向量組{P1,P2,P3}的極大線性無(wú)關(guān)組,即P1=aP2,P3=bP2,a,b∈C,則P3=P當(dāng)且僅當(dāng)

(3)若P3是向量組{P1,P2,P3}的極大線性無(wú)關(guān)組,即P1=aP3,P2=bP3,a,b∈C,則P3=P當(dāng)且僅當(dāng)

(1)c1+c3a=1,c2+c3b=-1或c1+c3a=-1,c2+c3b=1,其中P12P2=P1P22.

(2)c1+c3a=1,c2+c3b=-2或c1+c3a=-1,c2+c3b=2,其中P12P2=P2=P1P22.

(3)c1+c3a=2,c2+c3b=-1或c1+c3a=2,c2+c3b=1,其中P12P2=P1=P1P22.

(4)c1+c3a=1,c2+c3b=1或c1+c3a=-1,c2+c3b=-1,其中P12P2=-P1P22.

(5)c1+c3a=1,c2+c3b=2或c1+c3a=-1,c2+c3b=-2,其中P12P2=P2=-P1P22.

(6)c1+c3a=2,c2+c3b=1或c1+c3a=-2,c2+c3b=-1,其中P12P2=-P1=-P1P22.

證明:因?yàn)镻3=aP1+bP2,則

由文獻(xiàn)[6]推論2可知上述定理成立.

此處對(duì)于{P1P3},{P2P3}分別是向量組{P1P2P3}的極大線性無(wú)關(guān)組的情況不做討論.

此處對(duì)于{P1P3},{P2P3}分別是向量組{P1,P2,P3}的極大線性無(wú)關(guān)組的情況也不做討論.

以上推論是定理2 的特殊情況,故均可有定理2得出,在這里就不作證明.

證明:(1)必要性

因?yàn)榫仃嘝是立方冪等矩陣,所以

P3=(c1P1+c2P2+c3P3)3

=c1P+c2P+c3P

(1)

又PiPj=PjPi,P1P2P3=0,所以(1)等價(jià)于

(2)

由Pi2Pj=PiPj2(i≠j,i,j=1,2,3)可得

(2)充分性

6P1P2P3,

當(dāng)PiPj=PjPi,P1P2P3=0時(shí),P3=P1+P2+P3=P.同理可證(2)的充分性.

-P1P22,P12P3=P1P32,P22P3=-P2P32.

-P12P2,P12P3=P1=P1P32,P22P3=-P2P32.

-P1P22,P22P3=P2=P2P32,P12P3=P1P32.

證明:由(2)減(2)×P12得

(3)

由(2)減(2)×P22得

(4)

由(2)減(2)×P32得

(5)

(Ⅰ)當(dāng)P22P3=-P2P32時(shí),(3)式成立的條件是c2=c3=1或c2=c3=-1.把c2=c3=1代入(2)式得

該式成立的充要條件是c1=-1,c2=c3=1且P12P2=P1P22,P12P3=P1P32.同理,c2=c3=-1把代入可得(2)式成立的充要條件是c1=1,c2=c3=-1, 且P12P2=P1P22,P12P3=P1P32.

于是結(jié)論(1)成立,同理可證結(jié)論(2)、(3)成立.

(Ⅱ)若P12P2=P1P22,P12P3=P1P32,c1≠±1,則(4)式和(5)式可化為:

(c33-c3)(P3-P12P3)=0和(c23-c2)(P2-P22P3)=0,所以c3=1或c3=-1,c2=1或c2=-1.把c3=1,c2=1代入(2)式可得

所以結(jié)論(4)成立，同理可證結(jié)論(5) (6)成立.

(Ⅲ)若P1P22=P1=-P12P2,P12P3=P1=P1P32,c1≠±1,且(4)式和(5)式可化為(c33-c3)(P3-P12P3)=0和(c23-c2)(P2-P22P3)=0,所以c3=1或c3=-1,c2=1或c2=-1，把c3=1,c2=-1代入(2)式可得

于是結(jié)論(7)成立，同理可證結(jié)論(8)、(9)成立.

[1] J.K.Baksalary,O.M.Baksalary,Styan GPH.Idempotency of linear combination of an idempotent matrices and a tripotent matrix[J].Linear Algebra Appl,2002,354:21-34.

[2] Puh.K,Yao X Y,Deng C Y.Invertibility of linear combination of two idempotent matrices[J].Proceeding of the American Mathematical Society,2005,133:1 451-1 457.

[3] J.K. Baksalary,O.M.Baksalary.Idempotency of linear combination of two idempotent matrices[J].Linear Algebra Appl,2004,388:45-51.

[4] 王秀芳.冪等矩陣性質(zhì)的研究[J].連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2007,21(3)：84.

[5] 楊凱凡.三次冪等矩陣的線性組合的三次冪等性[J].喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009，30(3)：9-12.

[6] 卜長(zhǎng)江,李 娜.矩陣線性組合冪等性及立方冪等性的一些結(jié)論[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào),2009,30(12)：1 458-1 460.

[7] 曹重光.線性代數(shù)[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古出版社,1999.

[8] 楊克勛,包學(xué)游.矩陣分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1988.

[9] 戴 華.矩陣輪[M].北京：北京科技出版社,2001.

[10] 陳大新.矩陣?yán)碚揫M].上海：上海交通大學(xué)出版社,1991.