荊學(xué)東

(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 上海 201418)

0 引言

1 基于向量法引入剛體位姿描述矩陣

圖1 剛體上點(diǎn)的坐標(biāo)變換

(1)

ATB(qxB,qyB,qzB,1)T

(2)

2 基于向量法導(dǎo)出剛體繞任意軸旋轉(zhuǎn)矩陣

當(dāng)剛體進(jìn)行一系列運(yùn)動(dòng)時(shí)，最終剛體的位姿矩陣可通過(guò)矩陣相乘來(lái)獲得.由于一般矩陣相乘不滿足交換律，即剛體變換矩陣左乘和右乘該剛體當(dāng)前的位姿矩陣所對(duì)應(yīng)的剛體運(yùn)動(dòng)不同，為了說(shuō)明該問(wèn)題，需要利用繞任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體變換矩陣Rk(θ).一般教材中Rk(θ)直接給出，且并沒(méi)有闡明其來(lái)源，但可基于向量法導(dǎo)出該矩陣.

圖2 繞過(guò)原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的剛體變換

如圖2所示，設(shè)向量k=(kx,ky,kz)T為通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的向量，且‖k‖=1；u為一任意向量，設(shè)該向量繞軸k旋轉(zhuǎn)任意角度θ后處于新位置ur.如圖2所示，可將向量u分解為沿旋轉(zhuǎn)軸k方向的分量u‖以及垂直于k方向的分量u⊥，即：

u+u‖+u⊥

(3)

其中u‖=(u·k)k，u⊥=u-(u·k)k.向量u沿軸線k旋轉(zhuǎn)任意角度θ到達(dá)時(shí)ur，向量u‖不變，但u⊥變?yōu)閡r⊥，因此ur=ur⊥+u‖.關(guān)鍵是要求出ur⊥，為此令w=k+u⊥/‖u⊥‖，則向量k，u⊥和w組成一個(gè)局部右手坐標(biāo)系.ur⊥可以分解成u⊥以及w兩個(gè)方向的分量之和，即：

ur⊥=u⊥cosθ+sinθk×u⊥

(4)

由于任何向量都可以用基向量線性表示，故只要確定坐標(biāo)系的三個(gè)基向量繞K軸旋轉(zhuǎn)后的變化，就能確定其余任意向量K軸旋轉(zhuǎn)后的變化.取基向量e1=(1,0,0)T，e2=(0,1,0)T，e3=(0,0,1)T設(shè)它們繞向量k旋轉(zhuǎn)后變?yōu)閑1r，e2r和e3r，則由式(3)、(4)得：

設(shè)任意向量u=(x0,y0,z0)T繞K旋轉(zhuǎn)θ后的變?yōu)橄蛄縰r=(x1,y1,z1)，則

(x1,y1,z1)T=Rk(u)=Rk(x0e1+y0e2+z0e3)=

x0Rk(e1)+y0Rk(e1)+z0Rk(e1)=

[Rk(e1)，Rk(e2)，Rk(e3)](x0,y0,z0)T

(5)

將e1r=Rk(e1)、e2r=Rk(e2)和e3r=Rk(e3)代入(5)式可得繞剛體任意軸K旋轉(zhuǎn)的變換矩陣為：

Rk(θ)=[Rk(e1),Rk(e2),Rk(e3)]=

(6)

圖3 繞不過(guò)原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的剛體變換

(7)

寫成齊次坐標(biāo)為：

(8)

其中

(9)

式(9)為剛體繞經(jīng)過(guò)空間任意點(diǎn)Q=(qx,qy,qz)T的向量k=(kx,ky,kz)T旋轉(zhuǎn)任意角度θ的剛體變換矩陣.

3 基于繞任意軸旋轉(zhuǎn)矩陣闡明矩陣左乘和右乘對(duì)應(yīng)的剛體變換差異

(10)

若在坐標(biāo)系B上觀察，剛體O繞kB=(kxB，kyB，kzB)T旋轉(zhuǎn)θ后其坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系B由初始B0變換到B1，由(8)、(9)式可得坐標(biāo)系B1相對(duì)于B0的位姿為：

(11)

因?yàn)?10)和(11)描述的是同一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)，而且已換算到同一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)中描述，因此：

(12)

4 基于矩陣右乘導(dǎo)出D-H變換并建立機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可基于D-H變換求得[1-10]，但基于2-4節(jié)的方法可自然導(dǎo)出D-H變換矩陣.如圖4所示，機(jī)器人相鄰兩個(gè)連桿i-1及連桿i的坐標(biāo)系建立在上關(guān)節(jié)，設(shè)連桿i-1的長(zhǎng)度為a(i-1)，即關(guān)節(jié)軸線i-1和關(guān)節(jié)軸線i的公法線長(zhǎng)度；連桿i-1的扭角α(i-1)，即關(guān)節(jié)軸線i-1和關(guān)節(jié)軸線i的夾角，指向?yàn)閺妮S線i-1到軸線i；連桿i相對(duì)于連桿i-1的偏置di，即關(guān)節(jié)i上的兩條公法線i與i-1之間的距離；關(guān)節(jié)角θi，即連桿i相對(duì)于連桿i-1繞軸線i的轉(zhuǎn)角.

圖4 相鄰兩個(gè)連桿的坐標(biāo)變換

若求坐標(biāo)系i相對(duì)于坐標(biāo)系i-1的位姿，只需把坐標(biāo)系i-1通過(guò)一系列變換后與坐標(biāo)系i重合即可.為此可通過(guò)四個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)：(1)將坐標(biāo)系i-1繞自身軸線xi-1旋轉(zhuǎn)角度α(i-1)以使軸線z(i-1)與軸線zi同向；(2)再將上述變換后的坐標(biāo)系i-1沿著其當(dāng)前軸線xi-1平移距離a(i-1)；(3)再將變換后的坐標(biāo)系i-1沿其當(dāng)前軸線zi旋轉(zhuǎn)角度θi；(4)最后將上述變換后的坐標(biāo)系i-1沿當(dāng)前軸線zi平移距離di.

上述剛體運(yùn)動(dòng)都可看成是分別沿當(dāng)前坐標(biāo)系軸的運(yùn)動(dòng)，因而可以通過(guò)矩陣右乘來(lái)描述，故按照上述運(yùn)動(dòng)順序利用式(11)可得：

(13)

其中：

(14)

5 結(jié)論

在教授機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)可先基于向量法導(dǎo)出剛體位姿矩陣，以此為基礎(chǔ)，再基于向量法導(dǎo)出繞任意軸旋轉(zhuǎn)的剛體變換矩陣，之后證明并闡述矩陣左乘和右乘對(duì)應(yīng)的剛體變換差異，最后基于矩陣右乘導(dǎo)出D-H變換矩陣.實(shí)踐證明，在機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)中，采用這樣的方法和授課順序向上承接了大學(xué)工程數(shù)學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生建立其機(jī)器人課程和先修課程之間的聯(lián)系；向下可幫助師生解決機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)的難題，體現(xiàn)了工程數(shù)學(xué)在解決工程問(wèn)題中的拓展和應(yīng)用.

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