楊 娜, 竇家維

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引言

由于可再生生物資源優(yōu)化管理問題的研究直接關(guān)系到資源的可持續(xù)發(fā)展，故近年來在這些方面的研究受到廣泛地關(guān)注.關(guān)于種群模型的脈沖優(yōu)化開發(fā)問題，許多學(xué)者對其進行了研究并取得一些重要的成果[1-4].

Gompertz 模型是可再生資源管理中最常用的模型之一,對于以Gompertz增長率描述的種群系統(tǒng)，文獻[5]和[6]研究了比例脈沖收獲情形下以最大可持續(xù)產(chǎn)量為目標的優(yōu)化收獲問題.注意到上面的問題都是選擇收獲努力量為控制變量的周期控制問題,考慮的時間范圍都是無限的,但在實際中遇到的很多問題更關(guān)注的是在給定的時間范圍內(nèi)的優(yōu)化收獲問題[7].

本文主要考慮在一個有限時間周期內(nèi)由Gompertz模型描述且具有脈沖常量收獲的種群系統(tǒng)，在收獲量給定的前提下,尋求最優(yōu)的脈沖收獲時刻，使得種群在周期末的存儲量達到最大.

對于所考慮的問題，利用下面的脈沖微分系統(tǒng)描述：

(1)

由于脈沖收獲時刻變化時，種群在周期末的存儲量也隨之改變，本文將考慮如何選擇收獲時刻ti，使得當(dāng)種群數(shù)量按照(1)在時間周期t∈[0,T]內(nèi)發(fā)展變化時，在收獲量相同的情形下，種群在周期末的存儲量達到最大.

顯然，在無任何收獲發(fā)生時，系統(tǒng)(1)具有正初值的解在[0,T]內(nèi)為正.如果在[0,T]內(nèi)進行n次收獲，假設(shè)每次收獲量為常數(shù)E，收獲時刻分別為0≤t1≤t2≤…≤tn≤T，記π=[t1,t2,…,tn]為一個收獲策略，在這個收獲策略之下，系統(tǒng)(1)對應(yīng)的解記為N(t)[t1,t2,…,tn]或N(t)[π].一個策略π是可行的，當(dāng)且僅當(dāng)N(t)[π]>0，t∈[0,T)且N(T)[π]≥0.

下文中，記Sn為[0,T]內(nèi)n次收獲情形下所有可行策略π=[t1,t2,…,tn]的集合.

假設(shè)可行集Sn非空，如果有n次收獲策略π*=[τ1,τ2,…,τn]，使得

N(T)[π*〗 =maxπ∈Sn>N(T)[π]

(2)

則稱π*是一個n次最優(yōu)收獲策略.

定理1 如果Sn非空，則n次最優(yōu)收獲策略一定存在.

證明：在初始種群N(0)=N0給定的情況下，如果可行策略集Sn非空，則種群在周期末的存儲量N(T)[t1,t2,…,tn]是[t1,t2,…,tn]∈Sn的函數(shù)，并且系統(tǒng)(1)滿足脈沖微分系統(tǒng)關(guān)于解對參數(shù)的連續(xù)依賴性條件，所以N(T)[t1,t2,…,tn]是收獲時刻ti(i=1,2,…,n)的連續(xù)函數(shù)，又因為對于所有的i=1,2,…,n，ti∈[0,T]，因而一定存在最優(yōu)收獲策略π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，使得

N(T)[π*〗=maxπ∈Sn>N(T)[π].

證畢.

1 充分長時間周期情形下的優(yōu)化收獲問題

本部分主要討論下面問題: 假定時間周期[0,T]充分長，以保證有足夠的時間選擇實施n次最優(yōu)收獲策略π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，在此情形下，確定最優(yōu)收獲策略中τi(i=1,2,…,n)應(yīng)滿足的條件，并由此獲得該情形下相應(yīng)的最優(yōu)收獲策略.對于一個具體問題，時間周期[0,T]至少需要多長才能滿足要求，本節(jié)末將給出其確切值.

這里所要討論的優(yōu)化收獲問題(1)～(2)為一個脈沖優(yōu)化控制問題，我們將應(yīng)用文獻[8]和[9]中關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)的極值原理研究解決.在文獻[8]中，作者首先提出并證明了脈沖微分系統(tǒng)的極值原理，文獻[9]對該極值原理在某些特殊情形下的應(yīng)用條件和證明進行了簡化.

根據(jù)文獻[8]中的記號，有

f0=0,g0=0,

f1(N)=rN(lnK-lnN),g1(N)=-E.

首先容易證明函數(shù)f1(N)和g1(N)滿足對優(yōu)化控制問題(1)～(2)應(yīng)用極值原理時所要求的條件(參看文獻[8]和[9]).為了直接應(yīng)用文獻[8]中的極值原理，將問題轉(zhuǎn)化為-N(T)[π] 的極小值問題，即尋求π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，使得對于任意的π∈Sn，有

-N(T)[π*〗=minπ∈Sn>(-N(T)[π]).

若以H表示“連續(xù)”Hamilton函數(shù)，Hc表示“脈沖”Hamilton函數(shù)，則有

H(λ,N)=rλN(lnK-lnN)

(3)

(4)

其中，λ=λ(t)為協(xié)態(tài)變量.

由于在所討論的問題中，只需考慮最優(yōu)脈沖收獲時刻的選擇，由文獻[8]中的定理2可知，如果π*=[τ1,τ2,…,τn]是脈沖控制問題的最優(yōu)收獲策略，并且N(t)是系統(tǒng)(1)對應(yīng)的解曲線，則存在協(xié)態(tài)變量λ(t)，滿足協(xié)態(tài)方程:

(5)

并且對任意的i=1,2,…,n，當(dāng)τi=0時，應(yīng)有

(6)

當(dāng)τi>0時，應(yīng)有

(7)

下面進一步討論由(6)及(7)所確定的條件(由于(7)為(6)式中取等號的情形，僅討論(6)即可).

將H的表達式(3)代入(6)，得到

rλ(τi)N(τi)[lnK-lnN(τi)]

(8)

f1(N(τi)-E)≥f1(N(τi))

(9)

故由上面討論可知，使得N(T)[π]取最大值的最優(yōu)收獲策略應(yīng)滿足:

如果在t=0時的種群數(shù)量N(0)滿足(9)式，則應(yīng)在τi=0時進行收獲；如果在t=0時種群數(shù)量N(0)不滿足(9)，則應(yīng)該在τi>0 時進行收獲，這時τi應(yīng)滿足條件N(τi)=A，這里A由下式確定:

f1(A-E)=f1(A).

(10)

下文中，記

F(N)=f1(N-E)-f1(N)(N>E)

關(guān)于F(N)的有關(guān)性質(zhì)，有下面結(jié)論:

命題1F(N)(N>E)是單調(diào)增加的，它有唯一零點N=A，滿足EA時F(N)>0，當(dāng)N

證明：當(dāng)N>E時，

F′(N)=r[lnN-ln(N-E)]>0,

故函數(shù)是單調(diào)遞增的;

又由于

limN→E+F(N)=-f1(E)<0,

F(K)=f1(K-E)>0，

故知F(N)=f1(N-E)-f1(N)=0有唯一解N=A，滿足E

(11)

下面，將根據(jù)不同的初值情況，確定具體的優(yōu)化收獲策略.

定理2 對于給定的初始種群N0，一定存在整數(shù)p≥0，滿足A-E≤N0-pE

τ1=τ2=…=τn=0

(12)

如果p

(13)

由此所得到的策略π*=[τ1,τ2,…,τn] 是n次最優(yōu)收獲策略.

證明：由命題1，如果N0≥A，則有f1(N(0)-E)≥f1(N(0))，滿足(9)式，故應(yīng)取τ1=0.

同理，如果還有N1=N0-E≥A,…,Np-1=N0-(p-1)E≥A, 則仍有f1(Ni-E)≥f1

(Ni)(i=1,2,…,p-1)，即(9)式仍然成立，故應(yīng)該相應(yīng)地取τ2=τ3=…=τp=0.

進一步，由于Np=N0-pE

由式(12)和(13)所確定的收獲時刻滿足極值原理中最優(yōu)策略需滿足的必要條件，且容易驗證其它可行策略均不滿足該必要條件，又由于最優(yōu)策略存在，所以所求策略即為最優(yōu)收獲策略.

證畢.

注從上面定理的證明過程看到，對于給定的初值N0，為保證定理中獲得的n次優(yōu)化策略可行，如果p

而如果p≥n時，則對任意T>0均可.

2 給定時間周期內(nèi)的最多收獲次數(shù)與最優(yōu)收獲策略

上一節(jié)討論了當(dāng)時間周期足夠長時，在收獲次數(shù)相同情況下，使得周期末種群存儲量最大的最優(yōu)收獲時刻的選擇.那么，在給定的時間周期[0,T]內(nèi)，在初始種群確定的情形下，如果每次收獲量均為常量E，這時需要研究最多收獲次數(shù)問題，及在相同收獲次數(shù)情形下，使周期末種群存儲量最大的優(yōu)化收獲策略問題.注意到，在[0,T]內(nèi)最多可收獲n次意味著可行集Sn非空，而可行集Sn+1為空集.

首先給出下面結(jié)果：

由于

因此

顯然只要證明下面的(14)式成立即可.

f1(N(1)(t))

(14)

進一步，

(15)

以及

(16)

由(15)可知

進一步由命題2及命題1得到：

這與(16)矛盾.

證畢.

由上面結(jié)果可知，如果定理3的條件成立，則收獲越晚，周期末種群的存儲量越多，因此有

推論1 如果定理3的條件成立，則對于任意[t]∈S1,N(T)[t]≤N(T)[T].

為了研究在給定的時間周期[0,T]內(nèi)的最多可收獲次數(shù)及最優(yōu)收獲策略問題，需逐步進行下面的討論和計算：

(Ⅰ)設(shè)初始種群為N0，一定存在整數(shù)p≥0，滿足A-E≤N0-pE

τ1=τ2=…=τp=0.

(Ⅱ)進一步，計算下面積分：

如果α

T-β<α+(q-1)β≤T.

則令

τp+1=α,τp+2=α+β,τp+3=α+2β,…,τp+q=α+(q-1)β.

如果α≥T，則令q=0.

(Ⅲ)再計算

如果γ≤T-τp+q，一定存在正整數(shù)s,

滿足

0≤N(T)[τ1,…,τp,τp+1,…,τp+q]-sE

則令

τp+q+1=…=τp+q+s=T.

如果γ>T-τp+q，則令s=0.

記M=p+q+s,π*=[τ1,τ2,…,τM]，則有下面結(jié)果：

定理4 如果初始種群為N0，每次收獲量為常數(shù)E，其中M以及τi(i=1,2,…,M)由上面討論及計算過程(Ⅰ)～(Ⅲ)所確定.

則有：(ⅰ)在收獲次數(shù)相同的情況下，收獲時刻依次取τ1,τ2,…,τM時是最優(yōu)的收獲策略，即對于任意的m≤M及收獲策略[t1,t2,…,tm]∈Sm，下面結(jié)論成立：

N(T)[τ1,τ2,…,τm]≥N(T)[t1,t2,…,tm].

(ⅱ)在[0,T]周期內(nèi)最多可收獲M次，即M+1次收獲可行集SM+1為空集.

證明：(ⅰ)如果m≤p，則由定理2知，[τ1,τ2,…,τm]是最優(yōu)收獲策略.

如果q≥1，且p

N(T)[τ1,τ2,…,τm]≥N(T)[t1,t2,…,tm].

如果s≥1，且p+q

N(t)[t1,t2,…,tp+q]

≤N(t)[τ1,τ2,…,τp+q]

(17)

進一步，當(dāng)tp+q<τp+q且t∈[tp+q,τp+q]時，

N(t)[t1,t2,…,tp+q]

≤N(τp+q)[τ1,τ2,…,τp+q]

(18)

結(jié)合(17)和(18)，對于所有t∈[tp+q,T],有N(t)[t1,t2,…,tp+q]

N(T)[t1,t2,…,tp+q,tp+q+1]

≤N(T)[t1,t2,…,tp+q]-E

≤N(T)[τ1,τ2,…,τp+q]-E

(19)

類似地，可得

N(T)[t1,t2,…,tp+q,tp+q+1,…,tm]

≤N(T)[τ1,τ2,…,τp+q] -(m-p-q)E

(20)

注意到

N(T)[τ1,τ2,…,τm]

=N(T)[τ1,τ2,…,τp+q] -(m-p-q)E

(21)

所以(ⅰ)得證.

(ⅱ)由(ⅰ)可知，對于任意的收獲策略[t1,t2,…,tM+1]，如果[t1,t2,…,tM]不屬于SM，則[t1,t2,…,tM+1]不屬于SM+1;如果[t1,t2,…,tM]屬于SM，考慮下面2種情形.

情形1：假設(shè)tM≥τM，這時有N(tM)[t1,t2,…,tM]≤N(tM)[τ1,τ2,…,τM].對于任意的tM+1，由于τM≤tM≤tM+1≤T，由s的選擇知N(tM+1)[t1,t2,…,tM]≤N(tM+1)[τ1,τ2,…,τM]

情形2：假設(shè)tM<τM，則由定理3知，對所有t∈(tM，τM]，N(t)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[τ1,τ2,…,τM]

最后，對于任意的tM+1>τM，由于N(τM)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[τ1,τ2,…,τM],并且對于所有的t∈(tM，τM],有

N(t)[t1,t2,…,tM]≤N(t)[τ1,τ2,…,τM]

綜上可知，任意的M+1次收獲策略[t1,t2,…,tM+1]均是不可行的.

證畢.

3 數(shù)值模擬及結(jié)論

下面，通過對一個實際模型進行數(shù)值模擬以解釋驗證前面得到的理論結(jié)果.

假設(shè)一個實際生態(tài)系統(tǒng)由下面的具體模型描述：

(22)

在模型(22)中，f1(N)=0.3N(ln100-lnN)首先利用Matlab的fsolve函數(shù)進行數(shù)值計算，得到A≈47.242 7.下面，設(shè)時間周期為[0,6]，對于不同的初始種群數(shù)量，分別考慮脈沖收獲情形下的最優(yōu)收獲策略.首先應(yīng)用定理4求得優(yōu)化收獲策略π*，再取兩組可行策略π1及π2，對應(yīng)各種收獲策略繪出解曲線的圖形，由圖形可觀察比較三組不同收獲策略下周期末種群存儲量的差異.

下面各圖中實線為采取最優(yōu)收獲略π*情形下的解曲線，點劃線和虛線分別為采取其它兩組可行策略π1,π2時對應(yīng)的解曲線.

圖1：取N0=50.

圖1(a)表示脈沖收獲3次時的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[0,1.578 3,3.413 3],并取π1=[0,1,2]，π2=[1,2,3].

圖1(b)表示最多收獲5次時的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[0,1.578 3,3.413 3,5.248 3,6]并取π1=[0,1,2,4,6]，π2=[1,2,3,4,6].

圖2：取N0=25.

圖2(a)表示脈沖收獲3次時的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[2.048 3,3.883 3,5.718 4],并取π1=[2,3,4]，π2=[3.5,4.5,5.5].

圖2(b)表示最多收獲4次時的最優(yōu)收獲策略，由定理4得到優(yōu)化策略為π*=[2.048 3,3.883 3,5.718 4,6],并取π1=[2,3,4,6]，π2=[3.5,4.5,5.5,6].

圖1 N0=50時的最優(yōu)收獲策略

圖2 N0=25時的最優(yōu)收獲策略

由上面圖形可知，當(dāng)按照最優(yōu)策略π*確定的時刻進行收獲時，在周期末種群的存儲量最大.

4 結(jié)束語

本文研究了在有限時間周期內(nèi)，假設(shè)每次以固定常量進行脈沖收獲時，如何選擇最優(yōu)收獲時刻以獲得最多的收獲次數(shù)，以及在收獲量一定的情形下，使周期末種群存儲量最大的脈沖優(yōu)化收獲問題.對于具體的初始種群和周期長度，獲得了完全確定的優(yōu)化收獲策略.

由上面的討論可知，當(dāng)脈沖收獲發(fā)生在周期內(nèi)部時，即τi∈(0,T)時，這時由極值原理獲得了最優(yōu)收獲時刻τi，在這些時刻，種群量應(yīng)該達到值A(chǔ)，A應(yīng)滿足f1(A-E)=f1(A)，該條件的生物意義非常明顯，由于當(dāng)N屬于區(qū)間(A-E,A)時，種群的增長率f1(N)相對較快，種群數(shù)量從A-E增加到A所需時間最短，因此，在相同的收獲量情形下周期末的存儲量自然最多.

我們也看到在這種情況下，最優(yōu)脈沖收獲時刻的時間間隔僅依賴于種群的內(nèi)稟增長率r、環(huán)境容納量K和脈沖收獲量E.因此，在周期內(nèi)部實施收獲的最優(yōu)時刻與初始種群和時間周期長短無關(guān)，而在初始時刻和周期末實施收獲的次數(shù)分別與初始種群量及周期末的種群量密切相關(guān).

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