任建功，慕曉凱

（廣東培正學(xué)院 基礎(chǔ)部，廣東 廣州 510830）

微積分作為理工科類、財(cái)經(jīng)管理類等各個(gè)專業(yè)都必修的核心課程之一，它對(duì)激發(fā)和培養(yǎng)大學(xué)生邏輯推理能力、思辨能力、創(chuàng)新能力的重要途徑.在微積分內(nèi)容里面重要極限公式證明時(shí)，在很多教科書中都是千篇一律地利用二項(xiàng)式定理來(lái)完成，但是很多學(xué)生很難掌握二項(xiàng)式展開(kāi)，造成學(xué)生理解的困難.鑒于此況，給出了一種更簡(jiǎn)明證法.

證明過(guò)程如下：

利用二項(xiàng)式定理證明此極限時(shí)候，要用到二項(xiàng)式展開(kāi)，單調(diào)有界準(zhǔn)則，兩面夾法則.在此種證明方法，主要利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換，利用洛必達(dá)法則中“1∞”極限的求法，得出了此極限.通過(guò)比較，不難看出，利用此方法的證明過(guò)程比文獻(xiàn)利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)的證明過(guò)程，要簡(jiǎn)單明了許多，更容易理解，并且需要的知識(shí)點(diǎn)都是平時(shí)接觸過(guò)的.

對(duì)于重要極限公式的主要特征是：

1.它屬于冪指函數(shù)求極限的問(wèn)題，在自變量的變化過(guò)程中，底數(shù)趨向于1，冪指數(shù)趨向于無(wú)窮大，屬于1∞型的未定式.

2.它的底數(shù)由兩項(xiàng)所構(gòu)成，第一項(xiàng)是1，第二項(xiàng)是趨向于無(wú)窮小量的變量.

3.底數(shù)中的第二項(xiàng)與冪指數(shù)的乘積的極限為常數(shù).

對(duì)于重要極限公式進(jìn)一步地推廣為：

綜上所述，我們?cè)谇髢缰负瘮?shù)，尤其是重要極限公式II類型的函數(shù)極限的時(shí)候，不要再單一地利用重要極限公式II而去轉(zhuǎn)化冪指數(shù)部分，可以通過(guò)洛必達(dá)法則“1∞”型未定式的方法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)極限內(nèi)容，從而簡(jiǎn)單地求得結(jié)果.

〔1〕徐名揚(yáng).兩個(gè)重要極限公式的推廣[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（09）：51-53.

〔2〕遲彥惠.微積分（上冊(cè)）廣州：華南理工大學(xué)出版社，2009.