易建波，黃琦，丁理杰

（1．電子科技大學電力系統(tǒng)廣域測量與控制四川省重點實驗室，四川成都 611731；2．四川省電力科學研究院，四川成都 610072）

低頻振蕩是現(xiàn)代電力系統(tǒng)中發(fā)生頻繁、對系統(tǒng)穩(wěn)定運行造成嚴重影響的一類事故，已成為威脅互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行，制約電網(wǎng)傳輸能力的重要因素之一[1-2]。目前研究電力系統(tǒng)低頻振蕩問題的方法主要可分為2種。第一種是以電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型為基礎，通過模型參數(shù)建立微分方程，根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性第一定理分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，主要以特征根QR法為代表[3]。但該方法受制于模型的階數(shù)、參數(shù)不精確性、未建模動態(tài)和交互模態(tài)的影響，增加了應用的難度，分析結(jié)果的準確性受到很大影響。第二種方法是采用現(xiàn)代信號處理方法分析低頻振蕩信號特征，主要以FFT算法、小波分析法、Prony算法為代表。但由于電力系統(tǒng)自身的高維、強非線性等特點以及各種信號處理方法的適應環(huán)境不盡相同，因此各種方法都存在一些缺點。FFT算法通過頻譜分析可得到信號頻率，但其無法分析信號的阻尼特性；小波分析難以解決頻率交疊和自適應小波基問題；Prony算法和ARMA算法受噪聲、系統(tǒng)實際階數(shù)的影響較大，參數(shù)辨識的精度難以保證[4-5]。

近年來，電力系統(tǒng)廣域測量系統(tǒng)（WAMS）在世界各國電網(wǎng)得到廣泛應用，使得電力系統(tǒng)運行過程中的各狀態(tài)量能夠都得到實時監(jiān)測，從而引起基于實測信號的數(shù)據(jù)分析方法的研究高潮[5]。由于電力系統(tǒng)低頻振蕩信號是典型的非線性、非平穩(wěn)信號，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動HHT方法[6-7]被引入振蕩信號分析領域[8-11]。隨著G.Rilling等人對HHT方法中的經(jīng)驗模態(tài)分解算法（EMD）[12-13]不斷完善，增加了該方法應用的可行性，同時國內(nèi)學者不斷研究HHT方法的改進方案，拓展了該方法的應用范圍，同時提升了該方法的實用性[14-16]。然而，該方法缺乏堅實的理論基礎，其中經(jīng)驗模態(tài)法分解低頻振蕩信號，存在如端點延拓誤差、包絡插值失真、模態(tài)混疊分辨率限制、過篩阻尼損失等諸多問題，嚴重影響了該算法的可信度和精度。

本文研究HHT方法在辨識低頻振蕩模式參數(shù)時存在的技術問題，提出幾項技術改進方案。第一，引入極值點ARMA短期延拓方法，通過與鏡像延拓混合應用，提高端點延拓精確性。第二，包絡插值采用B樣條插值法替代傳統(tǒng)的三次樣條插值，減小插值過沖和欠沖機率，抑制頻率漂移現(xiàn)象。第三，定義篩分能量控制因子，有效控制IMF分量篩分過程，減小過篩引起的阻尼損失。第四，對于可能出現(xiàn)的混疊模態(tài)，通過Morlet小波多分辨算法構(gòu)建窄帶濾波器，提高算法的頻率分辨率。本文的改進技術方法經(jīng)過EPRI-36仿真算例實際測試，達到了較好的分析精度和應用效果。

1 基本理論

HHT方法是由數(shù)據(jù)驅(qū)動的非線性非平穩(wěn)數(shù)據(jù)處理方法，首先利用經(jīng)驗模態(tài)分解（EMD）將信號分解為若干個固有模態(tài)函數(shù)（IMF）分量之和，然后對每個IMF分量進行Hilbert變換，得到瞬時頻率和瞬時幅值。如果每個IMF分量可認定為單一模態(tài)分量，則該分量與相應的低頻振蕩模態(tài)對應，經(jīng)過Hilbert譜分析與模態(tài)參數(shù)模型相結(jié)合的辨識方法，得到振蕩模態(tài)參數(shù)的特征信息。

1.1EMD 過程

EMD方法認為，任何復雜的非線性、非平穩(wěn)信號都能夠分解成一組數(shù)目有限的IMF分量和一個殘余分量。從本質(zhì)上說，EMD是對信號進行平穩(wěn)化處理的過程，可以將任意信號中不同尺度的波形或趨勢逐級分解出來，產(chǎn)生一系列具有不同特征尺度的IMF數(shù)據(jù)序列。

IMF被定義為滿足以下2個條件的函數(shù)：1）在整個信號范圍內(nèi)，其極值點數(shù)目和過零點數(shù)目必須相等或至多相差一個；2）對信號上的任意一點，由信號的局部極大值點定義的上包絡線和信號的局部極小值點定義的下包絡線的平均值為零，即上包絡線和下包絡線相對于時間軸局部對稱。

該方法分解信號x（t）的基本步驟如下：

①提取原始信號x（t）的所有極大值點和極小值點。

②利用三次樣條插值擬合x（t）極值點的上包絡和下包絡，并求取均值包絡m1。

③ 用信號x（t）減去均值包絡m1，得到新的信號h1，判斷h1是否滿足IMF條件。

④如果h1不滿足判斷條件，則以h1為原信號重復篩分；如果h1滿足判斷條件，則提取出一個IMF分量，剩余信號繼續(xù)篩分過程，直至提取出全部IMF分量和一個無法繼續(xù)篩分的殘余分量rn。

式中，ci表示第i個IMF分量；rn表示殘余分量。EMD方法是以一種篩分的方法提取IMF分量，從信號時頻分析的角度看，類似于濾波器組，其分解得到的IMF分量是形式上關于軸對稱的平穩(wěn)化波形信號，并不能表達真實的物理意義。

1.2 譜分析及參數(shù)辨識

確定IMF分量與低頻振蕩模式之間的對應關系。首先通過Hilbert變換，對EMD分解后的每個IMF分量ci（t）（i=1，2，…，n）分別作Hilbert變換：

式中，p為柯西主值。原分析信號的IMF分量可以構(gòu)成解析信號zi（t）

得到IMF分量ci（t）的瞬時幅值函數(shù)以及瞬時相位函數(shù)為：

對于EMD分解得到的每個IMF分量ci（t），如果不存在模態(tài)混疊，可看作為一個單一模態(tài)信號。而是否存在模態(tài)混疊，主要判斷依據(jù)是IMF分量瞬時頻率譜線的特性。如果不計及瞬時頻譜兩端的端點效應影響，譜線隨時間走勢平坦，則可以認為IMF分量為一個單一振蕩模態(tài)，使得IMF分量具備物理意義，同時結(jié)合低頻振蕩信號合成表達式，可以定義IMF分量和振蕩模態(tài)之間的關系如：

通過瞬時相位公式，可以定義ci（t）的瞬時角頻率：

與之相對應的瞬時頻率為：

對于低頻振蕩衰減因子α和振幅參數(shù)M的辨識，依靠HHT邊際譜或者FFT頻譜都不能直接得到。以上2種譜線都是反映振幅累積效應的，對于存在阻尼的振幅，很難直接獲取。本文采用對單個IMF分量的瞬時幅值函數(shù)進行分析，求取其對數(shù)曲線，采用最小二乘法擬合求取參數(shù)αi和Mi。

為了保證辨識的精度，對于IMF分量被端點效應污染的部分應該除去，主要依據(jù)分量的瞬時頻率譜，以譜線較為平坦的部分作為辨識有效時窗，提高了辨識的精度。

2 技術研究與改進

HHT算法作為一種新生的信號分析方法，在理論上還有不成熟的地方，還有待于進一步研究與完善。下面對HHT算法應用中的問題做一些有益的分析和改進。

2.1 端點延拓

在EMD過程中的端點效應，尤其對于持續(xù)時長幾秒鐘至幾分鐘的低頻振蕩信號，是影響HHT方法辨識精度的主要因素。端點效應主要存在于EMD分解中的極值包絡線端點延拓過程。以往主要應用直接延拓、對稱延拓以及鏡像延拓方法，一般分析長數(shù)列信號，且頻率較高、篩分次數(shù)較少的情況下，端點效應可以影響到數(shù)據(jù)的兩三個端頭周期，不會對信號的分析結(jié)果有太大影響。但是對于低頻振蕩的短數(shù)據(jù)序列信號，尤其在非等幅振蕩的情況下，端點效應的影響尤其顯著，在篩分過程中的端點效應擴散將會導致分解結(jié)果失去物理意義。

本文提出了基于ARMA模型的端點預測算法。該算法通過建立AR模型，利用信號包絡線本身的數(shù)據(jù)趨勢預測極值點之外的包絡線走向。

首先，建立AR預測模型，如公式（10）所示。

式中，x（n）代表測量數(shù)據(jù)；p是AR模型的階數(shù)；ak代表模型參數(shù)；w（n）是均方差為σ2w的白噪聲信號。利用自相關函數(shù)求解模型階數(shù)p和參數(shù)ak。

根據(jù)求解出AR模型參數(shù)，公式（10）可以預測x（n）的拓展序列。為驗證AR延拓的有效性，本文對比了低頻振蕩信號包絡線端點延拓的3種延拓方法，圖1顯示了比較結(jié)果。

圖1 端點延拓方法比較圖Fig.1 Endpoint extension comparison chart

直接延拓缺點是不考慮信號內(nèi)在特點，鏡像延拓的缺點是對端點部分的阻尼振幅削弱過強，影響辨識精度。AR延拓可以有效減弱端點效應的影響，保留信號端頭區(qū)域的阻尼特性。但是AR模型存在累積效應，預測準確度隨著預測數(shù)據(jù)的增加顯著下降，這可能引起附加誤差。所以在該方法的應用中，本文設定了預測極限為20步，如果端點與時窗邊界的距離超過該極限，采用鏡像延拓方法替換，混合延拓方案在實際算法中具有更好的穩(wěn)定性。

2.2 包絡插值

傳統(tǒng)EMD過程中的包絡線插值采用三次樣條插值方法，該插值算法的計算量較大，尤其對與低頻振蕩信號中的非均勻極值點，容易引起過沖和欠沖現(xiàn)象，可能產(chǎn)生一定范圍內(nèi)的頻率漂移，對算法分析精度產(chǎn)生影響；同時三次樣條插值方法加重了模態(tài)混疊和端點效應現(xiàn)象的影響，不利于低頻振蕩模態(tài)參數(shù)的提取。本文提出了基于B樣條曲線的分段插值算法及混合插值算法，解決了三次樣條插值算法容易引起的過沖和欠沖現(xiàn)象，同時也能有效地降低模態(tài)混疊程度。

B樣條插值曲線不經(jīng)過插值節(jié)點，是一種逼近曲線。首先，為了尋找出逼近真實包絡線光滑曲線，先設計出控制多邊形P0，P1，...，Pn和一個節(jié)點向量U={u0，u1，...，um}，然后根據(jù)B樣條遞歸算法求出所需光滑曲線。

式中，Ni，p（u）是p次B-樣條基函數(shù)；C（u）被稱為節(jié)點，節(jié)點把B-樣條曲線劃分成曲線段，每個都定義在一個節(jié)點區(qū)間上。

本文應用分段冪函數(shù)插值算法的思想，容易構(gòu)造一種基于B樣條曲線的分段插值算法。如圖2所示，先對型值點序列中的每三點用B樣條曲線進行插值，再將這些分段B樣條曲線按分段定理“拼接”起來，即得到基于B樣條曲線的分段插值曲線，且該曲線是單值的。采用基于二次B樣條曲線的分段插值算法對多個型值點插值，克服了采用三次樣條插值法引起的過沖和欠沖問題。

圖2 插值算法對比圖Fig.2 Interpolation algorithm comparison chart

2.3 篩分控制

IMF篩分過程去除了疊加波，這使得得到的IMF分量經(jīng)Hilbert變換后得到的瞬時頻率有意義。同時，篩分過程也使得振幅變化很大的相鄰波形變得平滑，這有可能會去除有意義的振幅波動，得到振幅恒定，只有頻率調(diào)制的IMF分量。

為了保證IMF分量的頻率調(diào)制和幅度調(diào)制都有意義，必須確定IMF篩分過程的停止標準。目前的方法是通過計算連續(xù)2個篩分結(jié)果的標準差SD的值來定義，通常SD的值取在0.2與0.3之間[8]。對于電力系統(tǒng)振蕩信號，從振動能量的角度分析，上述的停止篩分條件不能夠有效解決過篩導致的阻尼幅度損失問題，即振動能量泄漏。

本文提出一種基于能量角度考慮的能量微差因子控制IMF分量的停篩條件。振動能量定義為：

通過計算連續(xù)2個篩分結(jié)果的能量微差：

得到能量微差因子，ε1是相鄰2個IMF分量篩分過程中的殘余能量差因子，ε2是殘差信號和原始信號的能量差因子。應用在電力系統(tǒng)低頻振蕩信號EMD分解過程中，通過實驗對比，定義能量差因子ε1取0.10~0.15來控制篩分的次數(shù)，使得到的IMF分量保留了原始數(shù)據(jù)中幅度調(diào)制的信息；定義ε2取值為0.1，結(jié)束EMD分解過程，通過該方法可以有效減少阻尼損失。

2.4 模態(tài)混疊

由于EMD算法本身的頻率分辨局限性以及端點效應和插值誤差的影響，當信號的時間尺度存在著跳躍性變化，或者2個模態(tài)頻率比在區(qū)間0.5

本文中對于發(fā)生混疊的IMF信號利用小波方法再次分析振蕩信號，影響該方法主要因素在于小波基的選擇和頻率分辨率。小波Mallat算法可以在沒有明顯損失的情況下，對信號進行多分辨分解，對信號具有局部分析和細化功能，還可以在時域內(nèi)確定2種奇異點的位置。Mallat算法將多分辨小波分析簡化成基本頻率特性為ψ（ω）的帶通濾波器在不同尺度a下對信號做濾波，并且這組濾波器具有品質(zhì)因數(shù)恒定的特點。通過合理選擇采樣率和分解層數(shù)，就可以提取信號中感興趣的低頻振蕩頻率區(qū)間。利用小波分析對信號進行多尺度分析時，如果信號出現(xiàn)突變，其變換后系數(shù)具有模極大值，可以通過對模極大值點的檢測來確定振蕩發(fā)生的時刻，其幅值描述了振蕩的發(fā)展趨勢。

本文算法首先選擇對信號具有緊支撐的小波基。選擇與低頻振蕩信號特點相近似的Morlet小波作為母小波基，圖3顯示了Morlet小波在不同中心頻率Fc=[1.0，0.5]Hz，以及帶寬因子分別為Fb=[1.0，0.5]Hz狀態(tài)下，小波函數(shù)波形和頻譜分析結(jié)果，說明通過調(diào)節(jié)Morlet小波的參數(shù)可以在限定頻帶內(nèi)檢測出低頻振蕩特性信號。此外再根據(jù)振蕩分量的頻帶特點和滿足奇異點檢測的結(jié)果選擇分析窗口的長度，最后通過Mallat算法和Morlet小波參數(shù)的調(diào)節(jié)進行多分辨分析和時頻域合成分析。

圖3 Morlet小波中心頻譜與帶寬Fig.3 The center frequency and bandwidth of Morlet wavelet

針對多頻信號經(jīng)驗模態(tài)分解中的模態(tài)混成現(xiàn)象，對于存在混疊IMF分量，結(jié)合小波分析方法，利用小波變換數(shù)據(jù)分析顯微鏡的特點，把混疊頻帶劃分為限定帶寬的窄帶濾波器組，對出現(xiàn)混成模態(tài)IMF分量進行不同尺度下得Morlet小波分解，并根據(jù)小波分解后各頻帶信號的頻率分布特征，選擇能量比重較大的頻帶信號進行重構(gòu)。將重構(gòu)信號作為新的IMF分量，考察瞬時頻譜的平坦性。本文的算法改進能有效提高EMD抗混疊分析能力，擴展算法的適用范圍。

3 仿真分析

3.1 算例1

選擇一個低頻振蕩測試信號，該信號由2個振蕩模態(tài)組成，模態(tài)參數(shù)分別為s1=0.0652+j11.12，s1=0.1936+j3.3609。分析窗口20 s，采樣率100 Hz，能量控制因子ε1=ε2=0.1，2個模態(tài)存在于分析窗口的整個時間域內(nèi)，幅值分別為2和1，2個模態(tài)起始時刻相位差π/8。

圖4顯示了采用本文改進EMD方法篩分后的IMF分量結(jié)果。測試信號被分解為2個IMF分量和1個殘差信號。從圖形上看，IMF信號基本保持了攜帶的阻尼信息，能量泄露較小且沒有收到模態(tài)混疊的影響。進一步通過Hilbert瞬時譜分析，結(jié)果顯示在圖5中。2個模態(tài)瞬時譜線的中部較為平坦，說明各IMF分量較為純凈，可認為單一振蕩模態(tài)，通過辨識算法去除端點效應影響的數(shù)據(jù)列，同時利用3除粗差準則，得到較好的辨識數(shù)據(jù)窗口，根據(jù)最小二乘法計算振蕩參數(shù)。

圖4 兩模態(tài)信號EMD分解圖Fig.4 The two-mode signal EMD decomposition chart

圖5 瞬時譜和參數(shù)辨識窗口Fig.5 The instantaneous spectral and parameter identification window

經(jīng)過Hilbert譜分析和辨識計算，得到2個模態(tài)幅值分別為1.96和0.94，頻率分別為1.73和0.51，衰減系數(shù)分別為-0.061和-0.188。辨識結(jié)果與測試信號特征基本符合，誤差在5%以內(nèi)。

3.2 算例2

考慮電科院EPRI-36仿真系統(tǒng)，拓撲圖形在圖6中描述。其中，潮流作業(yè)方式為全交流模式，電網(wǎng)BUS19處發(fā)生三相短路故障，故障消除時間在0.12 s。電網(wǎng)沒有進行任何控制操作且電力系統(tǒng)的故障時間不超過穩(wěn)定極限。

圖6 EPRI-36拓撲圖Fig.6 EPRI-36 topology diagram

低頻振蕩模式和頻率及阻尼情況如表1所示。

表1 低頻振蕩模式Tab.1 Low frequency oscillations mode

其中BUS1~BUS7振蕩信號改進EMD分解過程如圖7描述，可以從圖中看出各分解層次之間的能量泄露較小，基本上完整保留了每個振蕩模態(tài)的能量信息，通過改進的參數(shù)識別算法獲得一個有效成分（圖中單個模態(tài)振蕩的微分能量因子占總能量的90%以上，判定為主振模態(tài)），其他2個IMF分量攜帶能量很小，可認為是EMD分解端點效應和插值引起的能量泄漏，不對其進行模態(tài)辨識。

圖7 功角振蕩信號分解圖Fig.7 Power angle oscillation signal decomposition diagram

通過本文推導的IMF分量與低頻振蕩模態(tài)參數(shù)辨識方法，得出IMF1的模態(tài)參數(shù)為：振蕩頻率0.77 Hz，振幅29.8，衰減系數(shù)-0.046，阻尼比0.93%。同時對比該段信號的Prony分析結(jié)果，除去擬合假頻的影響，Prony分析的主振模態(tài)頻率同樣為0.77 Hz，阻尼比0.74%。通過結(jié)果對比能夠說明，本文對HHT算法做的技術改進提高了算法的辨識精度，同時與理論結(jié)果對應性好，體現(xiàn)了改進技術在實際應用中具有較高的可行性和有效性，為該方法的工程應用提供了可靠的技術保障。

4 結(jié)論

本文深入分析了影響HHT方法辨識低頻振蕩模式參數(shù)精度的技術問題，提出包括混合端點延拓、B樣條插值、能量微差因子法和多分辨小波法等一系列技術改進方案，極大地抑制了傳統(tǒng)算法中影響辨識精度的因素，實現(xiàn)了HHT方法整體性能的提升。通過仿真算例的測試分析，驗證了該方法對低頻振蕩模式參數(shù)辨識具備較好的可行性和較高的辨識精度。但是，由于HHT算法中存在的端點效應和模態(tài)混疊等問題不能完全被消除，所以，有必要研究更加有效的改進方法，使得該方法的應用更加成熟可靠。

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