吉明榮，王新春，王昆林，司民真

(楚雄師范學(xué)院物理與電子科學(xué)系，云南 楚雄 675000)

引言

目前，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量重力加速的方法一般用單擺法及改進(jìn)［1］、落球法及改進(jìn)［2］、智能系統(tǒng)［3］等。單擺法由于極易受到空氣阻尼的影響使得周期會(huì)衰減，對(duì)實(shí)驗(yàn)中擺球的起始狀態(tài)很難控制，對(duì)周期的測(cè)量必然會(huì)產(chǎn)生很大的偏差，最終會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果變差;落球法誤差主要來(lái)源于擋光片寬度及計(jì)時(shí)系統(tǒng)，不可避免;智能型系統(tǒng)測(cè)重力加速度，系統(tǒng)較為復(fù)雜，且不利于訓(xùn)練學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。通過(guò)自制圓錐擺系統(tǒng)，用直流穩(wěn)壓電源提供小球做圓錐擺的穩(wěn)恒能量，可明顯減弱空氣阻尼、刀口磨損等因素的影響，用光電門(mén)精確地測(cè)出圓錐擺振動(dòng)周期，采用自制帶千分頭的測(cè)高探頭測(cè)出擺球處于動(dòng)態(tài)的高度。引入計(jì)算機(jī)輔助分析 (Spss)軟件［4］的方法，可顯著減小因儀器或人為因素 (人工作圖)帶來(lái)的誤差，能得到更為準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1 實(shí)驗(yàn)儀器

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

自制圓錐擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)裝置如圖1所示，主要由三角支架、直流穩(wěn)壓電源(YB1733A2A)、記時(shí)記數(shù)測(cè)速儀 (QF－MUJ58)、變速電機(jī) (5－12V)、聯(lián)軸器、小鋼球(20g)、光電門(mén)及支架、測(cè)高探頭組成。

1.2 儀器安裝及調(diào)試

如圖1所示，用螺鈕將變速電機(jī)固定在高約70cm重約15kg鐵制支架上，將質(zhì)量約為20g的鋼球用細(xì)線與電機(jī)上的聯(lián)軸器固定好。直流電源用于驅(qū)動(dòng)電機(jī)，記時(shí)記數(shù)測(cè)速儀用來(lái)測(cè)定周期，用測(cè)高探頭測(cè)定擺球高度。調(diào)節(jié)支架水平泡，使支架上的聯(lián)軸器與電機(jī)保持平面水平;直流電源一般控制在6V—7V范圍內(nèi)，可保證擺球做平穩(wěn)圓錐擺動(dòng)，可顯著減弱滯后現(xiàn)象，從而可忽略空氣阻力造成的影響;調(diào)整測(cè)高探頭千分尺讀取小球動(dòng)態(tài)高度;起動(dòng)電機(jī)的同時(shí)應(yīng)給予小球一個(gè)合適的初速度，使小球能盡快進(jìn)入平穩(wěn)的圓周擺群運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 測(cè)量原理

實(shí)驗(yàn)原理圖如圖2所示，在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，質(zhì)量為m的小球作平穩(wěn)的圓錐擺運(yùn)動(dòng)，擺角為θ，L為擺長(zhǎng)，d1、d2、R 分別為小球、聯(lián)軸器、小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，H2、h1分別懸點(diǎn)、小球下邊緣與桌面的高度。由此小球質(zhì)心與桌面的高度為 H1=h1+d1/2。而且:sin θ=

圖2 實(shí)驗(yàn)原理圖

圖3 小鋼球受力分析圖

由圖3受力分析可得

由(1)、(2)可得

由圖2 中 sin θ、tan θ 的表達(dá)式可得

用直流穩(wěn)壓電源驅(qū)動(dòng)調(diào)速電機(jī)，使小鋼球作圓錐擺運(yùn)動(dòng)，通過(guò)對(duì)其周期測(cè)量，各長(zhǎng)度的綜合量的測(cè)量，應(yīng)用Spss線性估計(jì)功能，分析長(zhǎng)度綜合量(Ai)與周期的平方(T2i)的線性關(guān)系，從而可以標(biāo)定出重力加速度g，并對(duì)其不確定度做出估算。

3 對(duì)圓周擺測(cè)重力加速度不確定度的分析

3.1 直接測(cè)量的不確定度［5］

不確定度可分為A類(lèi)、B類(lèi)進(jìn)行評(píng)定。測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

對(duì)A類(lèi)，若測(cè)量為6次，測(cè)量結(jié)果服從t分布，當(dāng)p=0.95時(shí)，tp=2.57，即

對(duì)于B類(lèi)分量，若其誤差極限為△，若儀器誤差服從均勻分布C=，當(dāng) p=0.95 時(shí)，kp=1.96，那么

(8)式中的 z可以分別表示 l、d1、d2、H1、H2，那么

直接測(cè)量z的合成不確定度為

3.2 間接測(cè)量量的不確定度

對(duì)間接測(cè)量 y=f(z1，z2，…，zi，…zm)，則 y 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uc(y)為

y的相對(duì)不確定度ur(y)為

考慮(5)、(11)式，重加速度的相對(duì)不確定度為

由(17)式知，要減小A對(duì)ur(g)的影響，應(yīng)合理選擇測(cè)量工具，而T對(duì)ur(g)的影響為主要因數(shù)，應(yīng)合理調(diào)整圓錐擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)顯得尤為重要(調(diào)整圓錐擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平衡，合理選擇驅(qū)動(dòng)電壓、擺長(zhǎng)、小球質(zhì)量等)。

4 測(cè)量數(shù)據(jù)及結(jié)果

4.1 對(duì)各種長(zhǎng)度(l、d1、d2、H2)的測(cè)量

表1 對(duì)各長(zhǎng)度(l、d1、d2、H2)的測(cè)量

表2 不同電壓下對(duì)應(yīng)的周期T和H的測(cè)量值

表3 由表1、2不同電壓下的T2，A的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4.2 用Spss分析軟件作A－T2定標(biāo)曲線

把表3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入Spss軟件中，應(yīng)用Spss軟件中的曲線估計(jì)功能，以長(zhǎng)度綜合測(cè)量量A為因變量，以做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期平方(T2)為自變量，可得其定標(biāo)方程為

所得曲線如圖4所示。

圖4 A－T定標(biāo)曲線

4.3 對(duì)重力加速度不確定度的估算

根據(jù)圖4的A－T2定標(biāo)曲線，在直線上適當(dāng)取樣值，合理估算g的不確定度。由(13)可得

由(15)可得

由圖4不確定度評(píng)定取樣點(diǎn)，結(jié)合(14)、(15)、(16)可得表3實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由緯度，海拔修正的重力加速度理論公式［6］為

(17)式中，φ表示緯度，H表示海拔。經(jīng)查閱，云南楚雄地處于北緯25.03°，海拔1773m，因此重力加速度理值為g理=9.783m/s2。

5 結(jié)論

由表3數(shù)據(jù)，應(yīng)用Spss軟件分析得定標(biāo)方程(13)式及其圖4，并得到Ai—T21定標(biāo)曲線圖。得出了自制圓錐擺的長(zhǎng)度綜合量(Ai)與圓錐擺周期的平方(T2i)成線性關(guān)系，實(shí)驗(yàn)曲線與理論分析(5)式具有一致性;

由表2、3驅(qū)動(dòng)電壓數(shù)據(jù)可知，若擺長(zhǎng)設(shè)為70cm，小球質(zhì)量為20g時(shí)，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，圓錐擺的驅(qū)動(dòng)電壓應(yīng)控制在6—7伏，這樣可以有效保證小球所做圓錐擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)較為平穩(wěn)。若驅(qū)動(dòng)電機(jī)電壓低于6伏，小球所做圓錐擺運(yùn)動(dòng)會(huì)有起伏現(xiàn)象，使得對(duì)周期測(cè)量偏差較大，若驅(qū)動(dòng)電機(jī)電壓高于7伏，小球所做圓錐擺運(yùn)動(dòng)必須考慮空氣阻尼的影響，存在滯后現(xiàn)象，使得測(cè)量原理原理的分析不夠準(zhǔn)確。

能夠得到較為理想的(13)式、圖4、表3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，除了借助了強(qiáng)有力的計(jì)算機(jī)輔助(Spss軟件)分析手段外，表明所測(cè)量數(shù)據(jù)(表1、2)的質(zhì)量較高，說(shuō)明圓錐擺系統(tǒng)的調(diào)平工作，驅(qū)動(dòng)電壓值，計(jì)時(shí)系統(tǒng)的選擇較為合理，擺球每次起始狀態(tài)控制較好，使得因儀器或人為因素所致的偶然誤差與系統(tǒng)誤差已降為較小。

由表3重力加速度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)照由緯度、海拔所修正重力加速度(17)式的計(jì)算結(jié)果，二者吻合度較好，尤其查看表3中的ur(g)，由該實(shí)驗(yàn)方案所得重力加速度的實(shí)驗(yàn)值只在千分位上可疑，而以往的實(shí)驗(yàn)方案所得重力加速度的實(shí)驗(yàn)值一般為十分位或百分位可疑。表明自制圓錐擺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測(cè)量周期是合理的，借助Spss軟件分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析精度。

［1］安學(xué)立，田存?zhèn)?用單擺法測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)中單擺周期的測(cè)定 ［J］.物理通報(bào)，2012，(03):74—75.

［2］朱道云，龐瑋等.多管落求法測(cè)量重力加速度 ［J］.實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2012，29(04):59—61.

［3］郭敏強(qiáng)，郭啟凱等.基于單片機(jī)的單擺法智能重力加速度測(cè)量裝置的研制 ［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2012，12(26):6766—6771.

［4］宋志剛.SPSS 16.0 guide to data analysis［M］.北京:人民郵電出版社，2008:115—186

［5］丁相云，王新春等.用氣軌系統(tǒng)與Spss標(biāo)定物體的慣性質(zhì)量 ［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn).2012，25(03).

［6］張立.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) ［M］.上海:上海交大出版社.1998:23—30.