黃鑑 楊軍 唐齊林

(成都七中 四川 成都 610041)

1 理想模型

如圖1，在無限長的光滑豎直導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)，有垂直于紙面的勻強磁場.導(dǎo)體棒AB(電阻忽略不計)與導(dǎo)軌接觸良好，當(dāng)其由靜止沿導(dǎo)軌自由下滑時，整個電路便會通有穩(wěn)恒直流電.下面就這一物理模型進(jìn)行運動學(xué)和能量學(xué)兩個方面的分析.

圖1

(1)運動學(xué)方面

我們先作宏觀分析，導(dǎo)體棒加速下滑時，由于速度增加，會導(dǎo)致感應(yīng)電動勢增加，從而使得電容器兩極板電荷量增加，電荷在電路中定向移動.由于電路中電荷的定向移動，電路中便形成電流.同時，電流的存在又會導(dǎo)致棒AB受到安培力的作用，安培力阻礙其加速下滑.這些因素互相聯(lián)系，相互制約,此電流為穩(wěn)恒電流.對此,我們可以這樣理解，整個過程如圖2所示.

圖2

下面我們定量地分析一下導(dǎo)體棒的運動過程.設(shè)棒AB質(zhì)量為m，導(dǎo)軌寬為l，磁感應(yīng)強度為B.對于電容器有

Q=CU

所以

ΔQ=CΔU

這里的U為感應(yīng)電動勢，有

U=Blv

所以

ΔU=BlΔv

ΔQ=CΔU=CBlΔv

又

對棒AB受力分析有

mg-BIl=ma

即

mg-BCBlal=ma

所以

由此可以看出，對于任意的m,B,C,l都有一個恒定的a.即棒AB都能做勻加速運動，電路都能通有穩(wěn)恒直流電.

(2)能量方面

導(dǎo)體棒下滑時，能量必須守恒.那么,重力勢能在轉(zhuǎn)化為動能的同時還轉(zhuǎn)化為什么能量呢?毫無疑問是電能——電容器儲存的電能.我們知道重力勢能的改變量在數(shù)值上與重力做功是相等的,而mg=ma+BIl，根據(jù)動能定理，合外力ma做的功在數(shù)值上與動能增量相同.因此，只需要研究安培力BIl做的功在數(shù)值上是否與電容器所儲的電能相等即可.

下面定量計算安培力所做的功，即

而電容器儲能公式為

即分別為電容器所儲能量與將所儲電荷量從一極板移到另一極板所做的功.因為Q=It，所以

所以

W安=WC

說明電容器儲能與力BIl做的功在數(shù)值上是相等的,進(jìn)一步說明了這一過程滿足能量守恒規(guī)律.

2 實際模型

將此模型稍作改動,或者說更現(xiàn)實化,如圖3.

圖3

棒AB不能一開始就做勻加速直線運動,系統(tǒng)需要經(jīng)過一個變加速過程才能達(dá)到穩(wěn)定.穩(wěn)定后,棒AB做勻加速直線運動,電路通穩(wěn)恒電流.其原因在于電路中電流的產(chǎn)生仍然在于電容器的充電、感應(yīng)電動勢的增加.所以,電路最后的穩(wěn)定電流、加速度等在計算時仍與前面方法相同，且與R無關(guān).而R的存在只是影響到系統(tǒng)何時穩(wěn)定及能量分配的問題.因為，我們可以求出一個電流I,它雖然與R無關(guān)，但R產(chǎn)生一個電壓降IR，因此,在穩(wěn)定前,感應(yīng)電動勢Blv必須先達(dá)到R的電壓需求IR，之后,方可穩(wěn)定.這便是R對系統(tǒng)何時穩(wěn)定的影響.下面我們研究一下能量分配，重力勢能轉(zhuǎn)化為動能、焦耳熱以及電容器所儲電能.由于系統(tǒng)需要一個穩(wěn)定過程，所以，我們計算其穩(wěn)定后的功率問題,與前面同理，只需研究BIl做功功率在數(shù)值是否與焦耳熱產(chǎn)熱功率和電熱器儲能功率之和相等即可.

P安=BIlv=B2l2Cav

由于電容器兩端電壓為

U=Blv-IR

所以

Q=Blv-IRC

且

所以

P焦+PC=I2R+Blc-IRI=

BlvI=B2l2Cav

可得

P焦+PC=P安

能量守恒，進(jìn)一步說明了對此模型分析的正確性.從能量角度說，雖然I與R無關(guān)，但P焦=I2R與R有關(guān)，R的大小影響到P焦的大小.因此,系統(tǒng)要達(dá)到穩(wěn)定，棒AB必須要有一個適當(dāng)?shù)某跛俣龋瑥亩?，使得重力勢能的改變率足夠大，以滿足P焦.這也說明了系統(tǒng)需要一個穩(wěn)定過程.當(dāng)然，以上情況均是在電容器完好的條件下進(jìn)行，同時也均是一些理想化的情形，采用了一些理想化的思維方式.

近年來，越來越多的高考和競賽題涉及到此類物理模型，旨在考查學(xué)生對有電容器的電路中產(chǎn)生電流的根本原因的理解，以及對物理模型全方位、多因素的分析能力.