桑芝芳 鄭潔梅 黃楊

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

接地導(dǎo)體球附近有點(diǎn)電荷存在，則導(dǎo)體球會(huì)發(fā)生靜電感應(yīng)作用，導(dǎo)體球和點(diǎn)電荷間存在庫侖引力，我們可以用鏡像法求出球外空間電勢、電場的分布以及它們之間的相互作用力．若將點(diǎn)電荷從靜止釋放，點(diǎn)電荷將向接地導(dǎo)體球做變加速運(yùn)動(dòng)，越接近導(dǎo)體球，速度越大，甚至?xí)霈F(xiàn)超光速現(xiàn)象，此時(shí)應(yīng)考慮相對(duì)論效應(yīng)．

本文將考慮相對(duì)論效應(yīng)，對(duì)接地導(dǎo)體球附近點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行討論，并和用經(jīng)典力學(xué)處理該問題進(jìn)行了比較．

1 理論分析

問題：設(shè)真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心a(a>R0)處有一質(zhì)量為m的點(diǎn)電荷Q，若從靜止釋放，該點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)情況如何呢？

分析：根據(jù)鏡像法，導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷對(duì)場的貢獻(xiàn)可以用假想的像電荷來代替，假設(shè)點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)至距球心任意位置x處時(shí)，像電荷的位置和大小為

上式中b為像電荷到球心的距離，Q′為像電荷的電荷量，如圖1所示．球外空間的電場相當(dāng)于點(diǎn)電荷Q和鏡像電荷Q′所激發(fā)的電場，此時(shí)點(diǎn)電荷Q所受作用力即為像電荷Q′對(duì)它的作用力，表達(dá)式為

(1)

圖1

如果將點(diǎn)電荷Q從距離球心a處由靜止釋放，它將向?qū)w球運(yùn)動(dòng)，此時(shí)像電荷的電荷量增大，與點(diǎn)電荷的距離減小，因而點(diǎn)電荷Q所受的作用力將迅速增大．

根據(jù)牛頓第二定律

F=ma

由式(1)可得

(2)

將式(2)分離變量，由初始條件t=0時(shí)，x=a,v=0，積分可得

可解得

(3)

式中負(fù)號(hào)“—”表示點(diǎn)電荷Q的運(yùn)動(dòng)方向與x軸方向相反，其中

由式(3)

分離變量，并應(yīng)用初始條件得

從而可得點(diǎn)電荷Q從距離球心a處運(yùn)動(dòng)到任意位置x處的時(shí)間為

(4)

令x=R0，由式(4)即可得點(diǎn)電荷Q到達(dá)球面的時(shí)間．

但值得注意的是，當(dāng)x→R0時(shí)，由式(3)可知v→-∞，速度發(fā)散，無物理意義．此時(shí)應(yīng)考慮相對(duì)論效應(yīng)，應(yīng)用相對(duì)論力學(xué)求解．

根據(jù)相對(duì)論力學(xué)公式

得

(5)

根據(jù)初始條件t=0時(shí)，x=a,v=0，并積分得

v=

(6)

當(dāng)x→R0時(shí)，v→-c，即點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到球表面的極限速度為c，從而有效避免了速度的發(fā)散現(xiàn)象．

由式(6)進(jìn)一步計(jì)算可得點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)至球表面的時(shí)間為

(7)

2 數(shù)值討論

圖2給出了應(yīng)用相對(duì)論力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)方法處理情況下，速度和位置的變化關(guān)系.

圖2 用兩種方法處理時(shí)，速度-位置的關(guān)系

圖3分別給出了應(yīng)用相對(duì)論力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)方法處理情形下位置和時(shí)間的關(guān)系，其中

圖3 用兩種方法處理時(shí)，位置-時(shí)間的關(guān)系

但值得注意的是，雖然用經(jīng)典力學(xué)來求解點(diǎn)電荷到達(dá)導(dǎo)體球面的時(shí)間是有效的，并不意味著點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng)就是完全的經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)，我們應(yīng)意識(shí)到其中的相對(duì)論效應(yīng)．

參考文獻(xiàn)

1 郭碩鴻. 電動(dòng)力學(xué). 北京：高等教育出版社，1995

2 Kevin L. Haglin. Point charge dynamics near a grounded conducting plane.Am.J.Phys,2010,78(11):1190～1194