胡一帆

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院 湖北 武漢 430074)

1 引言

有關(guān)方形勢(shì)阱、半導(dǎo)體能帶理論和激光器的基本原理在理工科的大學(xué)物理課程里都有簡(jiǎn)單的介紹[1]，但由于篇幅和課時(shí)的限制，學(xué)生很難深入了解方量子力學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，不可能理解勢(shì)阱這個(gè)物理模型與新型半導(dǎo)體元件(如超晶格類的元器件等)和半導(dǎo)體激光器之間的聯(lián)系．為了使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)能夠融會(huì)貫通，更好地?cái)U(kuò)展他們的視野，而不是僅僅獲得一些支離破碎的脫離實(shí)際的膚淺知識(shí).

本文從求解一維方形勢(shì)阱的薛定諤方程出發(fā)，介紹了單量子阱、超晶格、半導(dǎo)體激光器的基本的理論框架和實(shí)際應(yīng)用．其目的是在條件容許的情況下，引導(dǎo)那些學(xué)有余力和對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)特別感興趣的同學(xué)進(jìn)行擴(kuò)展性學(xué)習(xí)和討論．

2 有限深方勢(shì)量子阱與多量子阱

圖1 有限深方形勢(shì)阱及其波函數(shù)

有限深方形勢(shì)阱與無(wú)限深勢(shì)阱的主要不同之處在于它的波函數(shù)并不僅僅局限于勢(shì)阱內(nèi)部，在隧道效應(yīng)的作用下，有一部分波函數(shù)是可以存在于勢(shì)阱兩邊的勢(shì)壘之中的(圖1)．

這時(shí)的薛定諤方程為

(1)

由此方程可以求出在兩側(cè)勢(shì)壘區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)為[2]

(2)

圖2 由雙層異質(zhì)結(jié)所形成的量子阱

如果A，B兩種材料依次重復(fù)，就形成多量子阱見(jiàn)圖2(b)．在這一種類型的多量子阱中，電子和空穴同時(shí)被限制在同一種勢(shì)阱材料A之中，它們的波函數(shù)是被分割在各個(gè)彼此孤立的勢(shì)阱中被局域化的．當(dāng)然，此時(shí)能量也是量子化的，形成了分立的能級(jí)．而多量子阱模型是超晶格子能帶理論的基礎(chǔ)[4]．當(dāng)圖2(b)中作為勢(shì)壘的B材料厚度也非常薄，薄到公式(2)中的波函數(shù)可以延伸到相鄰的勢(shì)阱中的時(shí)候，即不同勢(shì)阱中波函數(shù)可以借助隧道效應(yīng)彼此耦合時(shí)，波函數(shù)開始交疊，與波函數(shù)相對(duì)應(yīng)的各個(gè)子能級(jí)開始分裂，從而形成微能帶．這種結(jié)構(gòu)就被稱之為超晶格．

圖3 超晶格中的微能帶, 本圖上部顯示由AB相間的兩種材料導(dǎo)帶底部對(duì)電子形成勢(shì)阱，被稱為n型勢(shì)阱，本圖下部顯示由兩種材料價(jià)帶頂部對(duì)空穴形成勢(shì)阱，被稱p型勢(shì)阱

3 量子阱和超晶格的物理效應(yīng)

3.1 量子躍遷

這些存在于量子阱之中的子能級(jí)或子能帶之間同樣會(huì)產(chǎn)生受激輻射和受激躍遷，其輻射頻率取決于這些子能級(jí)的結(jié)構(gòu)．而這些量子阱結(jié)構(gòu)的子能級(jí)的級(jí)差，微能帶寬度和帶隙可以通過(guò)改變勢(shì)阱的深度和勢(shì)壘厚度來(lái)調(diào)節(jié)．當(dāng)一個(gè)光子入射到勢(shì)阱區(qū)域中可以發(fā)生不同能級(jí)之間或不同微能帶之間的受激躍遷．因此人們可以根據(jù)需要，通過(guò)制作不同的單量子阱或超晶格來(lái)獲得頻率的光源，包括紫外、可見(jiàn)光或紅外等．例如在制作用于光纖通訊的光源時(shí)，需要的是波長(zhǎng)在10 μm量級(jí)的紅外波，與此對(duì)應(yīng)的大約是0.1 eV躍遷能量，這種躍遷發(fā)生在n型勢(shì)阱之中．利用這種類型的量子阱或超晶格的吸收光子效應(yīng)還可以制作紅外探測(cè)器[如圖4(a)]．波長(zhǎng)更短的光發(fā)射與吸收，也可通過(guò)如圖4(b)中所顯示的發(fā)生在n型勢(shì)阱和p型勢(shì)阱之間的躍遷來(lái)獲得[5]．

圖4 量子阱中子能級(jí)之間的受激躍遷

3.2 激子效應(yīng)

僅僅有了受激吸收和受激輻射還不能產(chǎn)生激光，還必須實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)和建造諧振腔．對(duì)于某些材料的量子阱來(lái)說(shuō)，電子在高能級(jí)上的壽命非常長(zhǎng)，例如利用GaAs/AlGaAs異質(zhì)節(jié)所形成的量子阱的高能級(jí)壽命就特別長(zhǎng)．需要指出的是，在反應(yīng)電子和空穴能級(jí)結(jié)構(gòu)的圖4中，縱坐標(biāo)是能量，橫坐標(biāo)是空間坐標(biāo)，如果n型勢(shì)阱和p型勢(shì)阱上下對(duì)齊，也就是說(shuō)它們同處在一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)．發(fā)生受激吸收后上下對(duì)齊的量子阱把電子與空穴局限在一個(gè)很薄的近似二維的區(qū)域里，這時(shí)電子與空穴就會(huì)相遇并生成二維激子(2-D exciton)，也就是二維空間內(nèi)的電子-空穴對(duì)．理論研究表明[6]： 2-D 量子阱的二維激子 束縛能比 3-D 體材料激子束縛能高3倍, 可以承受更高的干擾，維持長(zhǎng)壽命，因此更易實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)．實(shí)際上量子器件的維度越低，對(duì)電子和空穴的限制就越強(qiáng)，也就越容易提高該量子器件的效率．根據(jù)這個(gè)思路，一維的量子線材料、零維的量子點(diǎn)材料(如圖5所示)和與這些材料為基礎(chǔ)的新型量子器件應(yīng)運(yùn)而生．

圖5 低維度量子材料

實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)后，下一步就是如何建造諧振腔了．這可以利用某些半導(dǎo)體晶體材料的解理面來(lái)實(shí)現(xiàn)．解里面對(duì)電磁波本身就具有反射作用，只要適當(dāng)選擇解里面進(jìn)行涂覆就可形成如諧振腔[7]．一個(gè)典型的半導(dǎo)體激光器如圖6所示．由超晶格組成的半導(dǎo)體激光器可發(fā)射中遠(yuǎn)波段的激光，功率可達(dá)10 mW，足以滿足遠(yuǎn)距離光纖通訊．

圖6 典型的半導(dǎo)體激光器結(jié)構(gòu)圖

3.3 量子斯塔克效應(yīng)

單量子阱制作的激光器如果功率不夠，還可以利用超晶格結(jié)構(gòu)來(lái)制作級(jí)聯(lián)激光器．其原理是量子斯塔克效應(yīng)．當(dāng)無(wú)外場(chǎng)時(shí)，無(wú)論是電子的波函數(shù)還是空穴的波函數(shù)都位于勢(shì)阱的中心位置．因而電子和空穴都有較大躍遷幾率．然而，當(dāng)對(duì)量子阱施加一外場(chǎng)時(shí)，由于電子逆電場(chǎng)而動(dòng)，空穴順電場(chǎng)而動(dòng)，從而使二者的波函數(shù)不再處于勢(shì)阱的中心位置，而是發(fā)生了一定程度的空間偏離．與此同時(shí)整個(gè)超晶格多勢(shì)阱結(jié)構(gòu)在電場(chǎng)的作用下會(huì)發(fā)生如圖7所示傾斜．這種傾斜使得導(dǎo)帶與價(jià)帶能量間隔變窄，因而電子和空穴的躍遷幾率減小，其發(fā)光波長(zhǎng)向波長(zhǎng)方向移動(dòng)．這時(shí)雖然單個(gè)量子阱躍遷幾率減小，但是傾斜也導(dǎo)致光子可在超晶格結(jié)構(gòu)多個(gè)量子阱逐級(jí)激發(fā)，形成如圖7所示類似雪崩現(xiàn)象的級(jí)聯(lián)效應(yīng)，從而使由超晶格組成的半導(dǎo)體激光器可發(fā)射中遠(yuǎn)波段的激光，且效率增加，其功率可達(dá)10 mW，足以滿足遠(yuǎn)距離光纖通訊[8]．

圖7 光子在超晶格結(jié)構(gòu)中的級(jí)聯(lián)效應(yīng)

4 結(jié)論

大學(xué)物理教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)是著重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，以及把所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)獲取各個(gè)知識(shí)點(diǎn)相互之間的內(nèi)在聯(lián)系的綜合分析能力．本文以方形勢(shì)阱為例，將有關(guān)量子力學(xué)、半導(dǎo)體和激光等內(nèi)容的理論和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來(lái)進(jìn)行擴(kuò)展討論，是使學(xué)生全面地、融會(huì)貫通地理解和掌握相關(guān)知識(shí)的一個(gè)很好的嘗試，并且在實(shí)際教學(xué)中取得了很好的效果．

參考文獻(xiàn)

1 程守洙，江之永.普通物理學(xué).北京：高等教育出版社，2006

2 D·特哈爾.量子力學(xué)習(xí)題集.北京：人民教育出版社，1965

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7 J．G Kim，L Shterengas et a1．, “Room-temperatre 2.5 μm GaInAsSb/AlInAsSb diode lasers emitting lW continuous waves，”Appl．Phys．Lett．2002，81：2016～2019

8 J．Faist，F(xiàn)．Capasso，D.L.Sivco，C．Sirtori,A．L．Hutchinson, and A．Y Cho，‘'Quantum cascade 1aser”, Science，1994，264：553