田勝安 劉治宏 張波

(張家界市民族中學(xué) 湖南 張家界 427000) (綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 四川 綿陽(yáng) 621000) (包頭市回民中學(xué) 內(nèi)蒙古 包頭 014040)

【例題】從地面以大小為v1的初速度豎直向上拋出一個(gè)皮球，經(jīng)過時(shí)間t皮球落回地面，落地時(shí)皮球速度的大小為v2.已知皮球在運(yùn)動(dòng)過程中受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比，重力加速度大小為g.下面給出時(shí)間t的4個(gè)表達(dá)式中只有一個(gè)是合理的.你可能不會(huì)求解t，但是你可以通過一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷.根據(jù)你的判斷，你認(rèn)為t的合理表達(dá)式應(yīng)為

圖1

此題作為考查學(xué)生物理基礎(chǔ)知識(shí)及思維的經(jīng)典例題常出現(xiàn)在各檢測(cè)類的試卷中.但凡涉及此題的參考文獻(xiàn)給出的解答均為排除法和極限法，有學(xué)生好奇該如何定量解答此題，在此，給出兩種解法期望能對(duì)此題有個(gè)較深入的剖析以便利于學(xué)生的理解.

傳統(tǒng)解法：考查各選項(xiàng)的量綱及考慮阻力為零的特殊情況,可輕易選出正確答案為選項(xiàng)C.

點(diǎn)評(píng)：此解法好處在于能快捷地選出正確選項(xiàng)，適宜用于各類檢測(cè)中.譬如，解答近年某些高考選擇題.但此法不利于學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的掌握，在平常訓(xùn)練中不符合“打破沙鍋問到底”類學(xué)生的需求.

解法1：對(duì)過程微元處理，分別寫出上升段和下降段的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式.設(shè)上升時(shí)間為Δt,下降時(shí)間為t2.

上升段有mgΔt+kviΔt=mΔvi

對(duì)其求和有mgt1+ks=mv1

對(duì)其求和有mgt2-ks=mv2

即答案為選項(xiàng) C.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用微元法解答此題難度不大，對(duì)學(xué)生的物理及數(shù)學(xué)能力、知識(shí)要求不高，適合普通高中生掌握.但此法依舊不能挖掘出題設(shè)中皮球運(yùn)動(dòng)詳情，似乎還是不夠盡興，下面再給出一種方法.

解法2：運(yùn)用積分.首先假設(shè)空氣的阻力系數(shù)為k，則物體所受空氣阻力為f=-kv，選向上為正方向，可寫出物體的整段運(yùn)動(dòng)方程如下(分段積分亦可)

(1)

(2)

對(duì)式(2)積分

(3)

(4)

讀者似乎有些好奇，式(4)明顯和正確答案不相同.但不相同并不意味著不相等.將式(1)改寫為

(5)

對(duì)式(5)變形有

(6)

對(duì)式(6)積分得

(7)

將式(7)代入式(4)中得

(8)

兩答案是相等的只是形式不同.

點(diǎn)評(píng)：此法較為復(fù)雜，不建議對(duì)普通高中生進(jìn)行推廣，但對(duì)于有興趣的學(xué)生，筆者覺得有介紹的必要.

另外,我們不妨將式(3)改寫成任意時(shí)刻速度與時(shí)間之間關(guān)系的形式，即

(9)