王 碩， 段新勝

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

本構(gòu)模型的建立、計(jì)算及應(yīng)用，在邊坡、地下巖石隧道、水電開發(fā)和鐵路、公路等工程建設(shè)中具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義。沈珠江[1]院士把現(xiàn)代土力學(xué)研究?jī)?nèi)容劃分為應(yīng)用土力學(xué)、實(shí)驗(yàn)土力學(xué)、計(jì)算土力學(xué)、理論土力學(xué)，并指出本構(gòu)模型是現(xiàn)代土力學(xué)科分支領(lǐng)域核心基礎(chǔ)。

自1963年，Rosco[2]等提出著名的劍橋模型，標(biāo)志著土的本構(gòu)理論發(fā)展進(jìn)入新階段?，F(xiàn)在本構(gòu)模型的種類已達(dá)到上百種，例如非線性彈性模型、內(nèi)時(shí)本構(gòu)模型[3](無屈服準(zhǔn)則，主要優(yōu)點(diǎn)不必建立不同材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則)、基于材料狀態(tài)相關(guān)臨界狀態(tài)理論的本構(gòu)模型[4]、基于熱力學(xué)的本構(gòu)模型[5]、統(tǒng)一硬化模型[6，7]、基于廣義塑性力學(xué)的本構(gòu)模型[8]以及引入智能算法的本構(gòu)模型[9]。大部分模型是建立在屈服準(zhǔn)則基礎(chǔ)上，可以根據(jù)屈服面的多少，將模型簡(jiǎn)單劃分為單屈服面、雙屈服面、三重屈服面和多重屈服面模型。

單屈服面模型有兩種：基于體積屈服面的劍橋模型和基于剪切變形的經(jīng)典彈塑性模型。對(duì)于“帽子”模型，如劍橋及修正劍橋模型、Khosla模型等，能較好地反映土的體積屈服變形，而不能較好地反映剪切變形。對(duì)于經(jīng)典彈塑性模型，如Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、 Lade-Ducan[10]的“錐形”剪切屈服面模型等主要反映了剪切屈服，卻沒有充分反映體積屈服。以上單屈服模型都不能較好地同時(shí)考慮剪切變形與體積變形即土的剪脹與剪縮基本特性。

針對(duì)以上單屈服面模型的局限性，Drucker較早地提出了雙屈服面模型概念，Prevost[11]、Baldi[12]、Lade[10]等發(fā)展了雙屈服面模型。國(guó)內(nèi)學(xué)者，沈珠江[13]提出了南水雙屈服面模型、殷宗澤[14]根據(jù)土體微觀變形機(jī)理提出一個(gè)實(shí)用的橢圓-拋物雙屈服面模型。

相比單屈服模型，雙屈面模型主要有兩方面優(yōu)點(diǎn)：一是能夠同時(shí)較好地反映土的剪脹與剪縮特性；二是能夠反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚺c應(yīng)力增量的相關(guān)性即相對(duì)于單屈服面，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虿粌H與土體單元所處的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與應(yīng)力增量相關(guān)。

為了更好地說明土的塑性變形性質(zhì)，沈珠江[15]基于“部分屈服面”的概念，提出了一個(gè)三重屈服面模型，楊光華[16]提出了土的本構(gòu)模型的廣義位勢(shì)理論，對(duì)現(xiàn)有的各種建模理論探討了其數(shù)學(xué)上統(tǒng)一的聯(lián)系。鄭穎人等[8]提出了既適合于巖土材料，也適合于金屬的廣義位勢(shì)塑性力學(xué)。其中，廣義塑性力學(xué)理論根據(jù)矢量原理，采用三個(gè)線性無關(guān)的勢(shì)函數(shù)來擬合推導(dǎo)出廣義塑性力學(xué)及多重勢(shì)面理論。若采用為p,q,θσ塑性函數(shù)時(shí)， 相應(yīng)的三個(gè)屈服面為：

(1)

(2)

此前，大部分雙屈服模型及沈珠江的三重屈服面模型均沒有體現(xiàn)出應(yīng)力洛德角對(duì)屈服跡線的影響，未考慮到應(yīng)力洛德角方向的剪切屈服面對(duì)土體塑性應(yīng)變的影響。

圖1 偏平面上的剪切應(yīng)力分量

圖2 π平面上塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚺c屈服軌跡

以上傳統(tǒng)彈塑性模型包括單屈服面模型、雙屈服面模型、三重屈服面模型，均沒有考慮到洛德角θσ方向上剪切屈服面對(duì)土體變形的影響。大部分模型是建立在三軸壓縮試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，以平均正應(yīng)力p和廣義剪應(yīng)力q為變量的屈服方程，然后將模型推廣到三維應(yīng)力條件下，其在π平面的屈服跡線是圓形，沒有考慮到應(yīng)力洛德角對(duì)屈服面的影響。

本文提出一個(gè)基于廣義塑性力學(xué)的土體雙屈服面本構(gòu)模型，與傳統(tǒng)沒有考慮洛德角影響的雙屈服面模型相比，此模型充分考慮了洛德角對(duì)本構(gòu)模型的兩個(gè)方面的影響。通過基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力法或g(θ)方法將模型三維化以考慮不同應(yīng)力洛德角對(duì)屈服跡線的影響，實(shí)現(xiàn)偏平面上的剪切分量從三軸壓縮到拉伸的變化，同時(shí)構(gòu)建了考慮洛德角θσ方向上塑性剪切應(yīng)變的屈服面即式(1)中的第三式。該模型“等價(jià)”基于廣義塑性力學(xué)的土體三重屈服面模型，與其相比具有反映土體剪切變形、體積變形且考慮應(yīng)力洛德角影響的基本相同的特性。

1 模型的建立

1.1 體積屈服面

體積屈服面一般可采用劍橋模型或修正劍橋模型、清華模型。或引入形狀參數(shù)R的修正劍橋模型：

(3)

式中，R為形狀參數(shù)；pc為前期固結(jié)壓力。

這里考慮較簡(jiǎn)單的情況，選取殷宗澤[14]的壓縮屈服面即改進(jìn)的適用于黏土材料的修正劍橋模型：

(4)

1.2 θσ方向上剪切屈服面

根據(jù)廣義塑性力學(xué)原理，采用的θσ方向上剪切屈服面一般形式可采用式(2)，孔亮根據(jù)殷宗澤[14]雙屈服面模型建議

(5)

(6)

式中，a，b為模型參數(shù)，可參考文獻(xiàn) [22]，B同式(5)。

1.3 土體的剪脹性反映

(7)

(8)

1.4 本構(gòu)模型三維化方法

為考慮屈服面函數(shù)在π平面的屈服跡線隨應(yīng)力洛德角變化而不同對(duì)模型的影響，需對(duì)本構(gòu)模型三維化。直接用廣義Mises方法，不會(huì)因應(yīng)力洛德角的不同對(duì)土在三維應(yīng)力狀態(tài)下的變形和強(qiáng)度產(chǎn)生影響。這里較簡(jiǎn)單的方法可采用g(θ)方法和姚仰平[23,24]等提出的變換應(yīng)力方法。

1.4.1變換應(yīng)力法

(9)

式中，基于SMP準(zhǔn)則的

I1,I2,I3為應(yīng)力不變量；δij為Kronecker符號(hào)；

使用變換應(yīng)力后的三維雙曲模型即下式

(10)

三維化后的模型形式與原模型相同，不增加模型參數(shù)，可在π平面的屈服面上，實(shí)現(xiàn)從剪切屈服到剪切破壞的連續(xù)性。

1.4.2g(θ)法

Zienkiewicz-Pand[25]提出了平面上形狀函數(shù)的方法，g(θ)方法簡(jiǎn)單。

變換后的三維雙曲模型即下式

(11)

這里采用鄭穎人等提出的形式來逼近莫爾-庫(kù)侖不規(guī)則六角形

(12)

也可使用其他屈服函數(shù)的g(θ)，如Zienkiewicz- Pande準(zhǔn)則的函數(shù)

(13)

(14)

對(duì)于模型式(11)和(14)，為簡(jiǎn)單計(jì)，這里采用式(11)模型。此外，因g(θ)方法應(yīng)用有一定限制，如Zienkiewicz-Pande準(zhǔn)則的g(θ)函數(shù)中的內(nèi)摩擦角有限制，不能合理反映應(yīng)力水平(摩擦發(fā)揮角)對(duì)變形和強(qiáng)度的影響，對(duì)此情況，采用變換應(yīng)力法能夠同時(shí)考慮洛德角的影響和應(yīng)力水平對(duì)變形和強(qiáng)度的影響。

2 雙屈服面彈塑性模型的應(yīng)力-應(yīng)變的剛度矩陣

為便于數(shù)值計(jì)算，現(xiàn)推導(dǎo)雙屈服面本構(gòu)模型的剛度矩陣。記f1、f2為屈服面，g1、g2為塑性勢(shì)函數(shù)。對(duì)如圖3雙屈模型，將體積屈服面f1兩邊微分

圖3 子午平面上的屈服曲線

(15)

由相關(guān)流動(dòng)法則

(16)

將式(15)帶入式(16)，可得

(17)

同理，對(duì)于θσ方向上剪切屈服面f2，可得

(18)

其中

對(duì)于雙屈服面模型的塑性應(yīng)變?cè)隽?/p>

(19)

由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系并帶入式(19)，可得

{dσ}=[D]{dεe}=[D]({dε}-{dεp})

(20)

將式(20)分別帶入式(17)、式(18)，可得

(21)

以dλ1、dλ2為未知數(shù)解式(21)方程組，可得

(22)

其中

最后將本構(gòu)方程寫成如下形式

{dσ}=[Dep]{dε}

(23)

其中，[Dep]為：

[Dep]=

(24)

至此，推導(dǎo)出了雙屈服面本構(gòu)方程的應(yīng)力-應(yīng)變剛度矩陣[Dep]， 更便于數(shù)值計(jì)算分析。

3 結(jié) 論

本文提出的一種本構(gòu)模型本質(zhì)上是基于廣義塑性力學(xué)的一個(gè)雙屈服面模型，具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)基礎(chǔ)。該模型主要通過四個(gè)方面來實(shí)現(xiàn)：一是采用傳統(tǒng)雙屈模型的體積屈服面，較好地反映塑性體積；二是采用傳統(tǒng)雙屈模型所沒有考慮到的θσ方向上剪切屈服面，充分考慮到θσ方向上土體塑性剪切變形；三是在體積屈服面基礎(chǔ)上，通過硬化參數(shù)的積分變換方法來反映土體的剪脹剪縮特性；四是將本文雙屈模型通過g(θ)方法或基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力法模型三維化，考慮到屈服面在偏平面上應(yīng)力洛德角的影響。

該本構(gòu)模型可以反映土體的壓硬性、剪脹性和摩擦性的基本特性，尤其是充分考慮到了應(yīng)力洛德角對(duì)本構(gòu)模型的兩方面影響即屈服面在偏平面上應(yīng)力洛德角的影響和θσ方向上土體塑性剪切變形。同時(shí)能夠反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚺c應(yīng)力增量的相關(guān)性?？梢哉f該模型在一定程度上與基于廣義塑性力學(xué)原理的三重屈服面模型是等價(jià)的，兩者基本具有相同反映土體特性的功能。最后，文中推導(dǎo)給出了雙屈本構(gòu)本構(gòu)方程的應(yīng)力-應(yīng)變剛度矩陣，以便于數(shù)值計(jì)算。

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