在數(shù)學(xué)教學(xué)中，習(xí)題課是一種重要的課型，具有使學(xué)生鞏固及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力的作用.它是教師掌握教學(xué)情況，及時(shí)反饋調(diào)節(jié)的一種重要手段.因此，加強(qiáng)習(xí)題課教學(xué)的實(shí)踐與探索顯得尤為重要.然而，在實(shí)際教學(xué)中，許多教師對(duì)習(xí)題課仍存在著極大的盲目性和隨意性，“重操練，輕理解；重筆算，輕推理；重算法，輕應(yīng)用”的傾向依然存在.那么，如何改進(jìn)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)，提高習(xí)題課的有效性呢？

一、追溯誤區(qū)，彌補(bǔ)學(xué)生的思維缺陷

數(shù)學(xué)錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的重要組成部分.英國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)Schwerzenberger曾提出這樣的觀點(diǎn)：“錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中與正確一樣重要，讓我們了解學(xué)生心里可能的想法，其錯(cuò)誤并非漫無目的地發(fā)生，而是有理由的.”臺(tái)灣大學(xué)數(shù)學(xué)系黃敏晃教授認(rèn)為：“能把學(xué)生為什么會(huì)犯錯(cuò)背后的原因找出來，則比較容易進(jìn)行補(bǔ)救性教學(xué)，來匡正或預(yù)防學(xué)生的犯錯(cuò)行為.”在平時(shí)教學(xué)中，為了更好地讓學(xué)生找到錯(cuò)誤的原因，筆者將學(xué)生作業(yè)中的經(jīng)典錯(cuò)題用照相機(jī)拍下來，并在習(xí)題課中進(jìn)行展示.

【案例1】 筆者在上一元一次方程解法的習(xí)題課時(shí)，設(shè)置了名為“曾經(jīng)錯(cuò)過”的環(huán)節(jié)（如下圖所示），讓學(xué)生從中找出錯(cuò)誤的地方.

由于這些錯(cuò)誤源于學(xué)生，所以學(xué)生比較熟悉，也很感興趣.每個(gè)學(xué)生瞪大眼睛仔細(xì)地找，沒過多久他們就將這些錯(cuò)誤一一找出.學(xué)生在認(rèn)真、細(xì)致觀察這些解題錯(cuò)誤后，有的還小聲地說：“我不能再犯類似錯(cuò)誤了.”對(duì)于教師而言，學(xué)生的這些錯(cuò)誤是一筆豐厚的“財(cái)富”.這些“財(cái)富”能讓教師追溯學(xué)生的思路，從而捕捉到學(xué)生智慧的火花；能讓教師對(duì)教學(xué)進(jìn)行反思，從中受益；能讓教師看到學(xué)生的欠缺，幫助他們彌補(bǔ)思維的缺陷.

二、善于拓展，深化學(xué)生的思維品質(zhì)

課堂上如果教師就題論題，就會(huì)把習(xí)題課變成簡(jiǎn)單、淺薄、貧乏的解題訓(xùn)練課.因此，教師應(yīng)善于對(duì)習(xí)題進(jìn)行拓展.對(duì)習(xí)題進(jìn)行合理、有效地拓展，可以使教學(xué)內(nèi)容更充實(shí)、更豐富多彩，使課堂充滿活力和生命力，從而優(yōu)化教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量.

【案例2】 這是市學(xué)科骨干班上一位教師上的一堂《直角三角形》習(xí)題課的教學(xué)片斷.

圖1環(huán)節(jié)一：“會(huì)會(huì)老朋友”

教師出示一道課本習(xí)題：如圖1，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上的一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC，請(qǐng)說明理由.（學(xué)生口答）

教師對(duì)原題進(jìn)行修改：已知AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上的一點(diǎn)，那么△ABP≌△PDC，這個(gè)結(jié)論成立嗎？

教師趁機(jī)拋出條件串：（1）AP=PC；（2）AB=PD；（3）PB=CD；（4）AP⊥PC.問：你能在條件串中進(jìn)行挑選，補(bǔ)充與原題不一樣的條件，使結(jié)論成立嗎？（學(xué)生一一展示各種可能情況）在此基礎(chǔ)上，連結(jié)AC，問：△APC是一個(gè)什么三角形？

環(huán)節(jié)二：展示兩個(gè)應(yīng)用

應(yīng)用一

圖2如圖2，是由兩個(gè)全等的長(zhǎng)方形拼出的英文字母“L”，其中B、C、D在同一條直線上，你能借助圖中的頂點(diǎn)畫出一個(gè)等腰直角三角形嗎？

這是一道操作題，它是結(jié)論開放性題目，學(xué)生可根據(jù)自己的實(shí)際水平來解決.大多數(shù)學(xué)生很快得到滿足要求的△BHC、△ECD，最后在教師引導(dǎo)下又找到△ACF.

應(yīng)用二 問題1：如圖3，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B、C.

（1）當(dāng)AB=1，CD=4，BC=5時(shí)，線段BC上是否存在點(diǎn)P，使△APD為等腰直角三角形？如果存在，求線段BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）在圖3中，當(dāng)AB=a，CD=b，BC=c時(shí)，那么當(dāng)a、b、c之間滿足什么關(guān)系時(shí)，在直線BC上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形？

圖3 圖4

問題2：給你一張長(zhǎng)方形紙，你能不借助任何工具，折出如圖4所示的等腰直角三角形嗎？

在這堂課中，教師從課本習(xí)題入手，以學(xué)生常見的“K”圖形為基點(diǎn)鋪開，通過改變條件、結(jié)論，把散落的相似題型融合在本題之中，再對(duì)基礎(chǔ)圖形進(jìn)行拓展，把圖形放置于“直角梯形”之中，變靜為動(dòng)，以“點(diǎn)動(dòng)”帶動(dòng)圖形的運(yùn)動(dòng)變化，探究幾何圖形中的存在性問題及幾何定值問題，并進(jìn)行逆向思維的滲透，讓學(xué)生將相似的數(shù)學(xué)情境和相關(guān)知識(shí)羅列在一起，得出相關(guān)問題的思路方法，逐漸總結(jié)歸納出同類問題的思維模式、解題方法與技巧.

三、雕琢細(xì)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

“課堂小細(xì)節(jié)，教學(xué)大文章.”教學(xué)細(xì)節(jié)猶如課堂中的精靈，充盈著靈動(dòng)的智慧，洋溢著人性的光輝.教學(xué)細(xì)節(jié)看似平常，但平常中蘊(yùn)含智慧；看似簡(jiǎn)單，而簡(jiǎn)單中孕育深刻.在應(yīng)試教育的背景下，教師應(yīng)敏銳地預(yù)見某些細(xì)節(jié)所根植的數(shù)學(xué)知識(shí)在未來的發(fā)展趨勢(shì)，做到未雨綢繆.

【案例3】 已知：|a-5|+b-5+（c-20）2=0，求a、b、c的值.

分析：這道題初看不難，它是初中階段三個(gè)非負(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用，但若再融進(jìn)偶次冪和完全平方的變式，估計(jì)就會(huì)難倒一大片學(xué)生.這時(shí)，不妨將細(xì)節(jié)雕琢得更細(xì)一些，讓學(xué)生能夠后續(xù)發(fā)力.為此，筆者設(shè)計(jì)如下題組.

題目 求下列各式中字母的值.

①|(zhì)a-5|+b-5=0

②|a-5|+b-5+（c-20）2=0

③|a-1|+b-2+c2+6c+9=0

④|a-1|+b-2+c2+6c+d2-22d+11=0

隨著題組梯度的逐步拔高，學(xué)生的思維不斷得到激發(fā)，解題思路也逐漸形成.如此逐步雕琢細(xì)節(jié)，或許時(shí)間只多用了2～3分鐘，但對(duì)于學(xué)生來說，知性感受將會(huì)是完全不同的.關(guān)注教學(xué)細(xì)節(jié)是提升教學(xué)智慧、提高教學(xué)實(shí)效的必由之路.只有從小處入手，大做文章，我們的課堂教學(xué)才會(huì)呈現(xiàn)出更多的細(xì)節(jié)之美，進(jìn)而更有效地促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展.

四、優(yōu)化練習(xí)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的求知欲

單一形式習(xí)題的反復(fù)練習(xí)，只是一種無差度的重復(fù)練習(xí)，雖然在某種程度上也能達(dá)到鞏固知識(shí)的目的，但是由于這樣的練習(xí)題是機(jī)械的、枯燥乏味的，所以它無法激起學(xué)生的興趣，不利于形成學(xué)生良好的持久記憶，更不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.因此，在課堂教學(xué)中，應(yīng)經(jīng)常設(shè)計(jì)一題多解、一題多變等練習(xí)，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性，使學(xué)生在練習(xí)訓(xùn)練的同時(shí)，能力也得到相應(yīng)的提高.

【案例4】 如圖5，AB∥CD，若∠C=60°，∠A=35°，求∠AEC的度數(shù).

解法一：如圖6，過E點(diǎn)作EF∥AB，利用平行線性質(zhì)得∠AEC=95°.

解法二：如圖7，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，利用平行線性質(zhì)和三角形外角定理得∠AEC=95°.

本題關(guān)鍵是化折為直，利用“三線八角”和三角形內(nèi)外角知識(shí)來解決.

將此題中的圖形稍加改變，可得到如下一組變式練習(xí).

變式1：如圖8，已知AB∥CD，求證：∠B+∠E+∠D=360°.

變式2：如圖8，已知∠B+∠E+∠D=360°，那么AB∥CD嗎？為什么？

變式3：如圖9，已知AB∥CD，那么∠A，∠C，∠E滿足怎樣的關(guān)系？

變式4：如圖10，已知AB∥CD，那么∠B，∠D，∠E滿足怎樣的關(guān)系？

變式5：如圖11，已知AB∥CD，求∠B，∠E，∠F，∠C滿足怎樣的關(guān)系？

變式6：如圖12，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠E=75°，求∠F的度數(shù).

通過以上的一題多解和一題多變的訓(xùn)練，學(xué)生掌握了這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)和規(guī)律，加深了對(duì)同類問題的理解.再遇到“改頭換面”的類似題目時(shí)，學(xué)生就會(huì)得心應(yīng)手、游刃有余，真正做到“解一題會(huì)一片”，從而脫離“題?！?，提高學(xué)習(xí)效率.

五、提煉思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的核心，是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的抽象與概括，是數(shù)學(xué)的靈魂.而習(xí)題課教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的最佳時(shí)機(jī).教師在習(xí)題課教學(xué)中應(yīng)注意提煉數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，這有利于學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，活化所學(xué)知識(shí)，深化思維層次，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.

【案例5】 七年級(jí)期末習(xí)題課中，筆者給出了一道題目：化簡(jiǎn)x-12+2-x3.并請(qǐng)兩位學(xué)生板演.其中一位學(xué)生通過通分求出正確的結(jié)果，而另一位學(xué)生的解題過程是：原式=3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1.當(dāng)筆者點(diǎn)評(píng)這位學(xué)生的解法時(shí)，引來了一些嘲笑.于是筆者立即問：“這位同學(xué)錯(cuò)在哪兒呢？”學(xué)生回答道：“他把方程變形（去分母）搬到解計(jì)算題上了，結(jié)果丟了分母.”這個(gè)做錯(cuò)的學(xué)生面紅耳赤，低下了頭.這時(shí)筆者順?biāo)浦?，來了一個(gè)“將錯(cuò)就錯(cuò)”：“剛才這位同學(xué)把計(jì)算題當(dāng)作方程來解，雖然解法錯(cuò)了，但卻給我們一個(gè)啟示：若能將該題去掉分母來解，其解法確實(shí)簡(jiǎn)潔明快，因此我們能否考慮利用方程思想來解決它呢？”由此得出一個(gè)新穎的解法，具體如下.

解：設(shè)x-12+2-x3=A，

去分母得：3（x-1）+2（2-x）=6A，

去括號(hào)得：3x-3+4-2x=6A，

合并同類項(xiàng)得：x+1=6A，

解得：A=x+16.

所以此題的結(jié)果是x+16 .（此時(shí)，那位做錯(cuò)的學(xué)生終于笑了.）

學(xué)生都贊嘆這種用方程思想解題的方法，覺得很有創(chuàng)意，同時(shí)明白代數(shù)式問題也可以用方程思想來解決，從而體會(huì)到方程思想在解題中的妙用，也驗(yàn)證了數(shù)學(xué)家笛卡爾說過的話：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題.因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎刃而解！”

總之，教學(xué)過程是一個(gè)不斷探索與實(shí)踐的過程，是一項(xiàng)系統(tǒng)工程.我們應(yīng)正確認(rèn)識(shí)習(xí)題課教學(xué)的重要性，運(yùn)用科學(xué)的方法組織習(xí)題課教學(xué)（由題海戰(zhàn)術(shù)向習(xí)題精選轉(zhuǎn)變，由重知識(shí)向重思維過程轉(zhuǎn)變，由重掌握向糾錯(cuò)反思轉(zhuǎn)變，由就題論題向借題發(fā)揮轉(zhuǎn)變），真正發(fā)揮習(xí)題功效，讓習(xí)題課教學(xué)更有效，更高效，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，提高學(xué)生的思維能力，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力、提高學(xué)生素質(zhì)之目的.

（責(zé)任編輯 黃春香）