通過(guò)多年的教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)教材中有許多極有價(jià)值的題目.對(duì)于這類題目，我們不能就題論題，或者僅僅滿足于能正確解答題目，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真挖掘題目的內(nèi)涵，不斷地完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生對(duì)教材研究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力.

高中數(shù)學(xué)新教材第二冊(cè)（上）P96練習(xí)4：△ABC的一邊的兩頂點(diǎn)是B（0，6）、C（0，-6），另兩邊的斜率的積是-49，求頂點(diǎn)A的軌跡.

這道題的答案是：軌跡方程為x281+y236=1（x≠0），軌跡是一個(gè)橢圓（除短軸端點(diǎn)外）.

我把這道題當(dāng)做作業(yè)布置給學(xué)生，學(xué)生只是滿足于把題目解答出來(lái)，而且絕大多數(shù)學(xué)生都能正確解答本題.但是，在學(xué)了橢圓和雙曲線之后的一節(jié)習(xí)題課中，我要求學(xué)生研究這道題.下面是這一道課本習(xí)題的教學(xué)實(shí)錄.

師：今天這節(jié)課，老師想請(qǐng)同學(xué)們研究一道課本題（P96練習(xí)4）.

開(kāi)始，許多學(xué)生都認(rèn)真研究他們的解答，看看是否做錯(cuò)，很快他們發(fā)現(xiàn)他們沒(méi)有做錯(cuò)，他們說(shuō)：“老師，我們沒(méi)有做錯(cuò)，你要我們研究什么？”

師：是的，這道題你們是沒(méi)有做錯(cuò)，但老師就是要你們研究這道題.

經(jīng)過(guò)熱烈的討論，有學(xué)生說(shuō)：“老師，我想看看它的逆命題是否正確？”

師：很好，大家不妨以這位同學(xué)的想法為例做一些研究.

很快有學(xué)生寫(xiě)出了它的逆命題：

已知橢圓方程為x281+y236=1（x≠0），短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為B、C，若點(diǎn)A是橢圓上任意一點(diǎn)（異于B、C），求點(diǎn)A與B、點(diǎn)A與C的連線的斜率的積.

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到答案正好是-49.

這時(shí)一些學(xué)生臉上露出成功的喜悅，并感嘆：“原來(lái)這個(gè)命題的逆命題也成立！”

師：很好，同學(xué)們經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)命題及它的逆命題都是正確的，但這僅僅是研究的開(kāi)始，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)研究.

于是，學(xué)生再次進(jìn)入思維、探索的高潮，所有學(xué)生都在進(jìn)行積極的探索.有的學(xué)生想研究它的否命題、逆否命題，但很快發(fā)現(xiàn)研究這四種命題的關(guān)系沒(méi)有什么價(jià)值；有的學(xué)生研究橢圓的方程x281+y236=1（x≠0）中的數(shù)值與-49的關(guān)系；有的學(xué)生寫(xiě)出了P96練習(xí)4的一般形式：△ABC一邊的兩頂點(diǎn)B（0，m）、C（0，-m），另兩邊的斜率之積是常數(shù)-p，求頂點(diǎn)A的軌跡；還有的學(xué)生得出了更一般的命題：與兩定點(diǎn)的連線的斜率之積是定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓……

教師在教室巡視，不時(shí)給學(xué)生一些提示和點(diǎn)撥，經(jīng)過(guò)學(xué)生的研究和討論，得到了如下命題：

平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積等于常數(shù)e2-1（-1

此時(shí)，同學(xué)們十分高興，個(gè)個(gè)臉上都露出了成功的喜悅.

師：你們真了不起，通過(guò)研究你們發(fā)現(xiàn)了這樣漂亮的命題，真是太棒了.但是，誰(shuí)能使這個(gè)命題更加完美呢？

學(xué)生再一次進(jìn)入思維、探索的高潮.有的學(xué)生想到了教材P108習(xí)題1：△ABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B（0，6）、C（0，-6），另兩邊的斜率的積是49，求頂點(diǎn)A的軌跡.[答案：雙曲線x281+y236=1（x≠0）]；有些學(xué)生則直接對(duì)命題中的常數(shù)的取值范圍進(jìn)行研究，他們覺(jué)得這個(gè)常數(shù)的改變會(huì)引起曲線的形狀的改變……（下課鈴響了.）

師：同學(xué)們，這節(jié)課你們通過(guò)對(duì)一道課本題的研究，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的命題：平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積等于常數(shù)e2-1（-1

1.這里面蘊(yùn)含了什么哲學(xué)原理？

2.請(qǐng)大家給出一個(gè)統(tǒng)一的圓錐曲線的定義.

綜上可知，一道優(yōu)秀的習(xí)題、一種較好的解法及得出的優(yōu)美結(jié)論，可激發(fā)學(xué)生的興趣，發(fā)展學(xué)生的智力，提高學(xué)生的能力.作為教師，我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生探索研究的能力，讓學(xué)生逐步形成良好的思維習(xí)慣.

（責(zé)任編輯 黃春香）