[摘 要] 針對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問(wèn)題，合理整合教學(xué)內(nèi)容，講好思想方法，貫徹直觀(guān)性教學(xué)原則，加強(qiáng)啟發(fā)式教學(xué)方法，加強(qiáng)與高等數(shù)學(xué)的銜接性，適當(dāng)減輕學(xué)生記憶的壓力，從而收到良好的教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞] 復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)改革與實(shí)踐；啟發(fā)式教學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)] O177.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1005-4634（2013）04-0092-04

0 引言

復(fù)變函數(shù)與積分變換是大學(xué)工科相關(guān)專(zhuān)業(yè)，尤其是機(jī)電類(lèi)專(zhuān)業(yè)的必修基礎(chǔ)課，它在電路理論、通信工程、信息處理、自動(dòng)控制、信號(hào)與系統(tǒng)等課程中有著廣泛的應(yīng)用。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因此做好復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)工作是十分重要的。本文分析該課程教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問(wèn)題，總結(jié)和提出幾點(diǎn)教學(xué)改革的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，以期對(duì)提高該課程的教學(xué)效果提供有益借鑒。

1 復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問(wèn)題

多年來(lái)，筆者一直在河北工業(yè)大學(xué)統(tǒng)招生（一本）和城市學(xué)院（三本）從事復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)工作。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，該門(mén)課程的不及格率相對(duì)較高，學(xué)生學(xué)習(xí)該門(mén)課程的畏難情緒很大，甚至將其稱(chēng)為大學(xué)“最難的數(shù)學(xué)課”。每次期末考試時(shí)都會(huì)發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生得分較低，對(duì)一些重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容、考試必考內(nèi)容竟然一無(wú)所知，如求復(fù)變函數(shù)的可微點(diǎn)與解析點(diǎn)、求復(fù)變函數(shù)沿一個(gè)閉路的積分、用拉普拉斯變換解微分方程等。究其原因，有以下三點(diǎn)。

1）該課程理論性強(qiáng)，嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)多，缺少直觀(guān)性，缺少實(shí)際應(yīng)用的背景，這使得教學(xué)內(nèi)容枯燥，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，特別是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不好的同學(xué)，對(duì)該課程的學(xué)習(xí)望而生畏，甚至中途放棄。

2）該課程作為高等數(shù)學(xué)的后繼課程，與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)聯(lián)系極其緊密，許多理論知識(shí)是實(shí)函數(shù)到復(fù)函數(shù)的推廣，很多題目必須應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)才能完成，但許多學(xué)生對(duì)高數(shù)知識(shí)的掌握程度不能為學(xué)好該課程提供必要的基礎(chǔ)，高數(shù)的相關(guān)知識(shí)記憶不深，這是學(xué)好該門(mén)課的一個(gè)主要困難。

3）該課程結(jié)論密集，需要記憶的結(jié)論和公式太多，有些公式不記住便不可能完成一些基本的問(wèn)題，如一些常見(jiàn)函數(shù)在 處的泰勒展開(kāi)式、一些常見(jiàn)函數(shù)的拉普拉斯變換；有些公式不好記憶，形式上容易混淆，如拉普拉斯變換的性質(zhì)與傅里葉變換的性質(zhì)等等。筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在考試時(shí)將公式弄混，有的學(xué)生做考題時(shí)方法都對(duì)，只是應(yīng)用的公式就差一個(gè)符號(hào)。目前河北工業(yè)大學(xué)將向量分析與場(chǎng)論、復(fù)變函數(shù)、積分變換做為一門(mén)課在同一學(xué)期開(kāi)設(shè)，共64學(xué)時(shí)，該課程加上向量分析與場(chǎng)論必須記住的公式和結(jié)論，記憶的壓力確實(shí)不小，要想記憶好這些公式和結(jié)論，必須依靠平時(shí)的日積月累，僅靠考前突擊是不可能成功的。

學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換的實(shí)際情況，要求教師必須對(duì)該課程從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和改革，而任何改革必須從實(shí)際出發(fā)，因此要切實(shí)幫助學(xué)生掌握教學(xué)大綱規(guī)定的基本內(nèi)容，使其在參加全校統(tǒng)一進(jìn)行的期末考試時(shí)有更好的成績(jī)，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。

2 教學(xué)改革的內(nèi)容

2.1 整合教學(xué)內(nèi)容，講好思想方法

在教學(xué)中對(duì)教材《復(fù)變函數(shù)與積分變換》[1]中的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，主要是淡化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平和學(xué)時(shí)數(shù)，適當(dāng)刪減理論性較強(qiáng)的內(nèi)容和方法雷同的繁瑣定理證明，用寶貴的學(xué)時(shí)講好重點(diǎn)內(nèi)容，練好重點(diǎn)內(nèi)容，真正消化重點(diǎn)內(nèi)容，體會(huì)好課程內(nèi)容的思想方法。例如，復(fù)變函數(shù)中級(jí)數(shù)部分的重點(diǎn)是“復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)收斂圓的基本性質(zhì)”、“泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)的求法”、“孤立奇點(diǎn)類(lèi)型的判定和殘數(shù)的求法”。 顯然，其中的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“一致收斂”的概念，不是復(fù)變函數(shù)中的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生在高數(shù)中沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)實(shí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“一致收斂”的概念，若直接講解復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“一致收斂”的概念，就會(huì)成為“空中樓閣”，效果肯定不佳。因此，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“一致收斂”的相關(guān)結(jié)論可略去不講，而冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)可直接給出，后面定理證明中牽扯到“一致收斂”的，可略去不講或簡(jiǎn)要說(shuō)明一下方法即可[2]。類(lèi)似的，如柯西不等式、解析函數(shù)唯一性定理、拉普拉斯變換性質(zhì)中的終值定理和初值定理、傅里葉變換中的相關(guān)函數(shù)和巴塞瓦爾定理、-函數(shù)的一些復(fù)雜的性質(zhì)等均可略去不講或做簡(jiǎn)要介紹。再如，教材中對(duì)常見(jiàn)函數(shù)的拉普拉斯變換、拉普拉斯變換與傅里葉變換的性質(zhì)以及兩個(gè)變換中的卷積定理均給出了詳細(xì)的證明和推導(dǎo)，不難看出這些證明和推導(dǎo)的方法都是由定義出發(fā)進(jìn)行恒等變形，必要時(shí)進(jìn)行變量代換，對(duì)累次積分進(jìn)行積分交換次序，最后得到結(jié)論。因此，在講解這些證明和推導(dǎo)時(shí)，可選擇有代表性的內(nèi)容細(xì)致講解，方法雷同的證明和推導(dǎo)可適當(dāng)刪減或簡(jiǎn)單說(shuō)明，重要的是幫助學(xué)生體會(huì)研究問(wèn)題的思想方法。

2.2 貫徹直觀(guān)性教學(xué)原則和加強(qiáng)啟發(fā)式教學(xué)方法

直觀(guān)性原則是指在教學(xué)中，通過(guò)教師語(yǔ)言的形象描述，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)，直接觀(guān)察所研究的事物，形成有關(guān)事物全貌的清晰表象。啟發(fā)式教學(xué)方法是指教師在教學(xué)中，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，采用多種方式，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地思維。復(fù)變函數(shù)與積分變換內(nèi)容抽象，充滿(mǎn)了定義、定理和結(jié)論，眾多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)看上去數(shù)學(xué)符號(hào)一大堆，學(xué)生感到是在做數(shù)學(xué)游戲，普遍存在厭學(xué)情緒，課程的這種特點(diǎn)迫切需要抽象的問(wèn)題能夠有簡(jiǎn)單直觀(guān)的解釋?zhuān)芙Y(jié)合圖示的盡量結(jié)合圖示，教學(xué)語(yǔ)言盡量通俗和直白，闡述問(wèn)題力求簡(jiǎn)單和明了[3]。必須改變學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)講的局面，讓學(xué)生參加到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，使學(xué)生在老師的啟發(fā)下，通過(guò)思考教師提出的問(wèn)題，一步一步地理解和接受所學(xué)的知識(shí)，從而增加學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和興趣。

例如，教材[1]中有一個(gè)重要的結(jié)論“冪級(jí)數(shù) 收斂范圍是一個(gè)圓域，稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂圓，收斂圓半徑 稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑”。 教材中是應(yīng)用高數(shù)的知識(shí)，通過(guò)做一個(gè)實(shí)系數(shù)的冪級(jí)數(shù)來(lái)證明此結(jié)論。事實(shí)上，在此結(jié)論前剛講過(guò)阿貝爾定理，應(yīng)用阿貝爾定理并參考文獻(xiàn)[2]，結(jié)合畫(huà)圖可簡(jiǎn)單直觀(guān)地得出此結(jié)論。

2.3 加強(qiáng)與高等數(shù)學(xué)的銜接性

復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，是高等數(shù)學(xué)的繼續(xù)和發(fā)展，傅里葉變換也是在傅里葉級(jí)數(shù)基礎(chǔ)上的繼續(xù)，因此復(fù)變函數(shù)與積分變換和高等數(shù)學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，搞好與高數(shù)相關(guān)知識(shí)的銜接不僅有利于學(xué)好復(fù)變函數(shù)與積分變換自身的內(nèi)容，更有利于深化掌握高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。

復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)在內(nèi)容上有很多相似之處，如都包括極限、連續(xù)、可導(dǎo)、積分、冪級(jí)數(shù)等內(nèi)容，但它們也有自身特有的內(nèi)容，如解析、羅朗級(jí)數(shù)、孤立奇點(diǎn)分類(lèi)、殘數(shù)、保形映射等。復(fù)變函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

2）在復(fù)變函數(shù)中總是不斷地應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，可以說(shuō)對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度直接影響著復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)。如當(dāng)判定 可微時(shí)，首先要判定二元實(shí)函數(shù) 、 的可微性、復(fù)積分 的計(jì)算可轉(zhuǎn)為兩個(gè)實(shí)積分的計(jì)算、復(fù)級(jí)數(shù) 收斂的判定轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)收斂的判定等等。在應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和學(xué)時(shí)情況簡(jiǎn)要說(shuō)明在高等數(shù)學(xué)中的相應(yīng)概念、定理等相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生將過(guò)去用過(guò)的高等數(shù)學(xué)教材做為學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的最重要參考書(shū)之一，隨時(shí)查閱和對(duì)比，而教師也要熟悉學(xué)生所用的高等數(shù)學(xué)教材，了解學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本情況。

2.4 適當(dāng)減輕學(xué)生記憶的壓力

復(fù)變函數(shù)與積分變換這兩門(mén)課中有不少公式和結(jié)論，教師應(yīng)從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，側(cè)重于使學(xué)生掌握基本的思想和方法，盡量減少記憶的內(nèi)容，明確告之學(xué)生哪些是必須記住的公式和結(jié)論，哪些是不必記住的，從而減輕學(xué)生的壓力；要求學(xué)生記住的東西，教師自己必須先記住，師生共同尋找記憶公式的好方法，若要求學(xué)生必記的內(nèi)容，而老師自己卻看著書(shū)念或記憶不熟，勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生記憶眾多公式的信心和決心；為了幫助學(xué)生記憶，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)教學(xué)內(nèi)容和解題方法的總結(jié)、概括和提煉，分析公式的特點(diǎn)和規(guī)律，甚至對(duì)結(jié)論和公式做適當(dāng)?shù)恼吓c變形，力爭(zhēng)做到有理解的記憶，盡量避免死記硬背；在教學(xué)中，當(dāng)用到已學(xué)過(guò)的必須記住的公式和結(jié)論時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回憶，指出公式和結(jié)論的出處，提高重復(fù)率，在應(yīng)用公式和結(jié)論時(shí)強(qiáng)化記憶。

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者近幾年分別在河北工業(yè)大學(xué)統(tǒng)招生和城市學(xué)院（獨(dú)立學(xué)院）從事復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)工作，逐步嘗試按照上面教學(xué)改革的4個(gè)方面進(jìn)行了實(shí)踐。特別是近兩年秋季學(xué)期，改革的嘗試和實(shí)踐比較徹底，均收到了良好的效果。在與學(xué)生的交流中，感到學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)的畏難情緒大大減弱，記憶的壓力得到緩解，自信心和學(xué)習(xí)興趣有較大的提高，學(xué)生考試成績(jī)有所提高，不及格率有所下降。其中加強(qiáng)與高數(shù)的銜接性深受基礎(chǔ)較好準(zhǔn)備考研同學(xué)的歡迎。以2012年秋季學(xué)期為例，筆者擔(dān)任城市學(xué)院10個(gè)班的教學(xué)工作，此前河北工業(yè)大學(xué)城市學(xué)院按大類(lèi)招生，一年后再分流到各個(gè)專(zhuān)業(yè)，其中學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好、分流專(zhuān)業(yè)時(shí)分?jǐn)?shù)較高的某專(zhuān)業(yè)7個(gè)班的同學(xué)，在整個(gè)學(xué)期中都表現(xiàn)出良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)，課上與老師互動(dòng)，課下積極提問(wèn)題，最后正常入學(xué)的同學(xué)全部及格；另外某個(gè)專(zhuān)業(yè)的三個(gè)班，基礎(chǔ)相對(duì)較差，分流專(zhuān)業(yè)時(shí)分?jǐn)?shù)相對(duì)較低，其中兩個(gè)班的不及格率大大低于預(yù)期設(shè)想，三個(gè)班的整體考試結(jié)果比預(yù)期設(shè)想好。

總之，鑒于學(xué)時(shí)有限、學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)態(tài)度差異大等一系列復(fù)雜原因，做好復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)工作不是一件容易的事，要求教師必須在教學(xué)實(shí)踐中，從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，不斷摸索和改進(jìn)教學(xué)方法。教學(xué)的實(shí)踐表明，合理整合教學(xué)內(nèi)容，貫徹直觀(guān)性教學(xué)原則，加強(qiáng)啟發(fā)式教學(xué)方法，加強(qiáng)與高等數(shù)學(xué)的銜接性，適當(dāng)減輕學(xué)生記憶的壓力是提高復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)效果的有效途徑。

參考文獻(xiàn)

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