張留杰 宋其云

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2305問(wèn)題的證明及推廣

張留杰 宋其云

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

2305問(wèn)題AB是圓錐曲線(xiàn)mx2+ny2=1的斜率等于1的弦，AB的垂直平分線(xiàn)與該圓錐曲線(xiàn)交于點(diǎn)C、D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．[1]

拜讀本刊數(shù)學(xué)問(wèn)題解答2305問(wèn)題之后，引發(fā)了筆者深深思考，雖然題目條件中的有心圓錐曲線(xiàn)具有很強(qiáng)的一般性，但是對(duì)弦AB和直線(xiàn)CD的條件要求十分特殊，該問(wèn)題背后是否存在一般規(guī)律呢？該結(jié)論對(duì)拋物線(xiàn)是否成立？帶著這些思考開(kāi)啟了下面的探究之旅．

一、問(wèn)題的證明

該問(wèn)題所給的解答中，充分利用了“CD垂直平分AB”這一幾何特征，取CD的中點(diǎn)F(如圖1)，從而確定這四點(diǎn)共圓的充要條件是BF為圓的半徑，進(jìn)而得出等價(jià)條件|CD|2-|AB|2=4|EF|2，然后用解析法證明該等式，凸顯了解析幾何的本質(zhì)，即用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題．

圖1

如果不添加輔助線(xiàn)，設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為E，直接證明|EA|·|EB|=|EC|·|ED|，能夠回避求線(xiàn)段長(zhǎng)度的繁瑣過(guò)程，會(huì)顯得更加簡(jiǎn)捷．

證明：設(shè)E(x0,y0)，直線(xiàn)AB的方程為y=x+t，則y0=x0+t，因?yàn)镃D⊥AB，則直線(xiàn)CD的方程為y-y0=-(x-x0)，即y=-x+2x0+t．

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

=|EC|·|ED|，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

二、問(wèn)題的推廣

根據(jù)上述證明過(guò)程，筆者發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)E是AB中點(diǎn)”這一條件可以省去，然后根據(jù)有心圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可以得出如下結(jié)論：

結(jié)論1AB是圓錐曲線(xiàn)mx2+ny2=1的斜率為k的弦，若|k|=1，垂直于直線(xiàn)AB的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)交于點(diǎn)C、D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

波利亞在《怎樣解題》中指出“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思．”再次回顧該問(wèn)題，總感覺(jué)還有更一般性的規(guī)律，究竟由哪個(gè)條件進(jìn)行引申推廣呢？經(jīng)過(guò)一番思考，決定從AB和CD的斜率或傾斜角進(jìn)行探究．

命題1 若A、B、C、D為有心圓錐曲線(xiàn)mx2+ny2=1(m≠n)上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)E，α、β分別為直線(xiàn)AB、CD的傾斜角，試探究當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)，α與β的關(guān)系．

結(jié)論2 若A、B、C、D為有心圓錐曲線(xiàn)mx2+ny2=1(m≠n)上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)E，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線(xiàn)AB與CD的傾斜角互補(bǔ)．

類(lèi)似地，也很容易將該結(jié)論推廣到拋物線(xiàn)中．

所以根據(jù)2305問(wèn)題我們可以得出圓錐曲線(xiàn)上四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要定理，凸顯了該問(wèn)題背后深刻的內(nèi)涵和其使用價(jià)值．

定理A、B、C、D為圓錐曲線(xiàn)W上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)E，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線(xiàn)AB與CD的傾斜角互補(bǔ)．

[1]張國(guó)坤.數(shù)學(xué)問(wèn)題解答2305題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016.6.