[授課時間] 2012年12月

[授課地點、班級] 貴州省印江土家族苗族自治縣第二中學(xué)高一（5）班，普通班。

[班級狀況] 我校是三類高中，學(xué)生中考數(shù)學(xué)均分為20左右，新生到校后學(xué)校還要重新編班，把稍好一點的再次挑選出來組成實驗班，剩下的就是普通班，面對這樣的學(xué)生，要上好課，首先備人備教材，盡可能地把數(shù)學(xué)知識講得深入淺出。

教學(xué)內(nèi)容：《高中數(shù)學(xué)》《必修4》——形如 的三角函數(shù)式的化簡

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、類比、聯(lián)想能力：

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：

同學(xué)們首先回顧一下：

（1） 的取值范圍和 的取值范圍分別是什么？

教師設(shè)疑：

（1）2 、 、 （ ＞0）的取值范圍分別什么？

（2）若 ，則 和 的取值范圍分別什么？

（3） 的取值范圍是什么？

下面和同學(xué)們一起來探討形如 的三角函數(shù)式的的取值范圍，能否將 化成 或 的形式呢？如果能，問題得到解決，如何化呢？

請同學(xué)們仔細(xì)想一想，前面我們所學(xué)的哪些知識與之有聯(lián)系？同學(xué)們腦子一片茫然，不知所措。教師再循序善誘，式子 可以叫做什么式？（此時會有不同的答案，教師作簡要回答——三角函數(shù)式）。

請同學(xué)們回憶一下：

（1）任意角 的三角函數(shù)（正弦、余弦）的定義是什么？（由學(xué)生回答，教師糾正，此處略），這個定義與化簡此式有何聯(lián)系？怎樣聯(lián)系？下面請一個學(xué)生寫出正弦、余弦函數(shù)的定義的那兩個比（略）。

（2）兩個角和或差的正弦公式是什么？請一位同學(xué)上講臺寫出此公式（略）。

將此公式倒過來看：

（＊）

左邊有兩種三角函數(shù)——正弦和余弦，右邊只有一種三角函數(shù)——正弦，如果我們能把 化成 的形式，問題得到解決。

現(xiàn)在我們把（＊）式左邊的兩項寫成如下形式：

（＊＊）

再把式子 與（＊＊）式左邊認(rèn)真比較，找出兩式的區(qū)別與聯(lián)系，再把 、 與角 的余弦、正弦定義的那個比聯(lián)系起來，很容易得到：

， ，由此聯(lián)想：如果我們把 、 看作是角 的終邊上的一點（ ， ），且角 取最小正角（當(dāng)點（ ， ）在第一或二象限時）或最大負(fù)角（當(dāng)點（ ， ）在第三或四象限時），通過這樣聯(lián)想，自然就得到：

， ，從而原式順理成章地化成如下結(jié)果：

=

=

=

到此問題已順利解決。

對此公式作如下幾點說明：

（1）用此公式時，所給三角函數(shù)式必須與 形式一致；

（2）把角 叫作輔助角，由點（ ， ）所在象限及終邊經(jīng)過該點決定取最小正角（當(dāng)點（ ， ）在第一或二象限時）或最大負(fù)角（當(dāng)點（ ， ）在第三或四象限時），其大小由 、 決定。

（3）式子 恰好為點（ ， ）到原點 的距離。

下面運用此公式化簡下列各式（學(xué)生練習(xí)）：

（1） ；

（2） ；

（3） 。

教師巡視，10分鐘后，有30﹪的能完成任務(wù)，有40﹪只能機械地寫成公式形式，不能正地寫出輔助角，有20﹪只能作第（1）小題，有10﹪的全無所知。

課后評述：

（1）高中數(shù)學(xué)從上世紀(jì)90年代到目前改編三次，對此知識點包括教參書所提講法，得到結(jié)果都不是來得自然順暢，沒有真正體現(xiàn)知識點之間的必然聯(lián)系。

（2）對于這個知識點，以前幾次講法也是按照教參進(jìn)行，后發(fā)現(xiàn)學(xué)生總不明白結(jié)果的來龍去脈，到此次再講這個知識點時，也的確帶有一點靈感，許多知識之間的聯(lián)系的確需要教師備課時認(rèn)真挖掘，找到事物的必然聯(lián)系，順藤摸瓜，這樣學(xué)生接受起來也就容易了，做類似題目也就容易了。

（3）此節(jié)課，從過程和效果來看，對于經(jīng)常教素質(zhì)較好的學(xué)生而言，可能不足以在此大說特說，但對于我校這樣的學(xué)生而言，可以說是完美了！