摘 要：稀疏表示理論是一種新興的信號表示模型，廣泛應(yīng)用于各種信號和圖像處理任務(wù)中。介紹了稀疏表示模型及其在提高圖像質(zhì)量中的應(yīng)用，并指出了該理論在圖像處理中急需解決的問題。

關(guān)鍵詞：稀疏表示 圖像質(zhì)量 幾何結(jié)構(gòu)

中圖分類號：TP3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2012）12（c）-00-01

1993年Mallat和Zhang提出了信號的稀疏表示，在信號逼近上取得了出色的表現(xiàn)，迅速引起了廣大學(xué)者的普遍關(guān)注，信號稀疏表示研究很快被從一維信號推廣到二維信號圖像的研究上。

稀疏表示的模型可以表示為：

式中為向量的l0范數(shù)，表示向量x中非零元素的個數(shù)，x即為信號y的稀疏表示。

在數(shù)字圖像處理中，由于圖像的數(shù)據(jù)信息具有冗余性，為冗余字典，因此可以在冗余字典上進(jìn)行稀疏表示，y則為圖像子塊的列向量表示。如何構(gòu)造表達(dá)能力強(qiáng)、訓(xùn)練簡單的冗余字典是圖像處理中的關(guān)鍵一步，自稀疏表示理論的提出，在圖像去噪、去模糊、超分辨率、圖像修復(fù)等方面得到了廣泛的應(yīng)用，取得了比傳統(tǒng)方法更好的處理結(jié)果。

1 稀疏表示理論在提高數(shù)字圖像質(zhì)量中的應(yīng)用

Michael Elad是較早將稀疏表示理論應(yīng)用于圖像去噪與超分辨率的代表人物[1]，他將K均值聚類方法引入字典訓(xùn)練過程中。在K均值算法中，求解一個包括K個代碼的碼本，使得在此碼本上，根據(jù)最鄰近分配法則，對包含N個信號的集合進(jìn)行分類，得到最佳分類。在稀疏表示中，稀疏表示的過程可以看做廣義矢量量化過程，其中的每個信號用多個代碼的線性組合表示。當(dāng)要求K-SVD中的每個信號只能用一個原子來近似時，K-SVD算法就退化為K均值算法。K-SVD在稀疏編碼與字典更新之間交替迭代，保證總誤差單調(diào)下降，因此可保證能收斂到局部（或全局）最小值，從而得到性能優(yōu)良的過完備字典。K-SVD訓(xùn)練字典方法廣泛的應(yīng)用在圖像復(fù)原問題上?；贙-SVD訓(xùn)練得到的過完備字典，取得了較好的圖像去噪與超分辨率結(jié)果。

統(tǒng)計學(xué)中的主成分分析（PCA）的概念，也被引入到字典訓(xùn)練當(dāng)中。在統(tǒng)計學(xué)當(dāng)中，變量個數(shù)太多會增加問題的復(fù)雜性主成分分析作為一種統(tǒng)計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，簡化復(fù)雜問題。PCA的核心思想，就是將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間。尋找 r 個新變量，使其反映事物的主要特征，每個新變量是原有變量的線性組合，體現(xiàn)原有變量的綜合效果，則這 r 個新變量稱之為“主成分”，它們兩兩正交不相關(guān)。這 r 個主成分可以在很大程度上反映原來變量的信息。Hui Zou引入了SPCA（Sparse PCA）的概念，他修改了傳統(tǒng)的PCA方法，利用主成分負(fù)載的稀疏性，使算法變得更加易懂，且得到更為稀疏的結(jié)果。

形態(tài)學(xué)成分分析（MCA）作為一種新興的信號分解方法，吸引了很多人的注意。MCA根據(jù)圖像信號組成成分的形態(tài)差異性，將圖像內(nèi)容分割為紋理區(qū)域和卡通區(qū)域。不同區(qū)域其擬合字典類型不同。小波變換可以很好的表示圖像光滑區(qū)域的特征，curvelet變換通過帶方向的局部傅里葉基，可以有效的處理邊緣特征。離散余弦變換（DCT）以及Gabor變換是紋理區(qū)經(jīng)常采用的兩種處理方式。MCA充分的考慮了圖像的結(jié)構(gòu)組成部分以及內(nèi)部特征，廣泛用于盲源分離、圖像分解、圖像修補(bǔ)等。

Julien Mairal將自然圖像的自相似性引入到圖像恢復(fù)模型中。圖像的自相似性，其根本是自然圖像的統(tǒng)計特征。Julien Mairal非局部模型與稀疏編碼結(jié)合成一個框架，將噪聲在相似塊之間進(jìn)行平均，取得了較好的去噪、去馬賽克結(jié)果。同樣，自相似性在圖像去模糊、圖像修補(bǔ)方面也展示了其良好的性能。

Weisheng Dong提出了一種新的圖像復(fù)原模型CSR，利用減小退化圖像分解系數(shù)與原圖分解系數(shù)之間的差異來達(dá)到復(fù)原圖像的目的，其本質(zhì)是自相似性的應(yīng)用。在超分辨率方面，他提出了自適應(yīng)稀疏域選擇超分辨率算法，認(rèn)為超分辨率重建結(jié)果的優(yōu)劣很大部分取決于稀疏域的選擇，對輸入的樣本先采用K-均值聚類，采用PCA算法進(jìn)行詞典訓(xùn)練，將非局部相似性（NL）和圖像去噪中的自回歸（AR）模型與超分辨率重建模型有效結(jié)合，提高了超分辨率重建質(zhì)量。

Nebojsa創(chuàng)造性的提出了圖像摘要的概念。他將圖像的特征提取為一幅摘要圖，在圖像處理過程中，對該摘要圖進(jìn)行分解處理，這是合理并且有效的。Louise 利用該思想，在圖像去噪方面取得了較好的去噪結(jié)果。

Kostadin在變換域，通過一組協(xié)作濾波器，將一幅圖像中結(jié)構(gòu)相似的二位塊聚合成一組，形成一個三維模型，以增強(qiáng)其表示的稀疏性。Aram利用該3D理論，建立了一個新的圖像模型—BM3D。BM3D在圖像復(fù)原方面表現(xiàn)了其卓越的性能。

最近，保持圖像幾何結(jié)構(gòu)的思想吸引了很多人的注意。Samy Bengio將圖像分割成相互重疊的塊，結(jié)構(gòu)相似的塊組成一個群組，分別對每個組進(jìn)行分解訓(xùn)練，這就是群組編碼的思想，其基本思想類似于非局部思想，也是利用了自然圖像的自相似性。關(guān)于結(jié)構(gòu)稀疏方面的研究展示了結(jié)構(gòu)分組比簡單不重疊的分組更一般的特性。例如，樹狀分組或是重疊分組。結(jié)構(gòu)稀疏正則化具有十分廣闊的應(yīng)用前景。結(jié)構(gòu)稀疏PCA作為一種新型的有效的非凸稀疏方法，在字典訓(xùn)練方面，可以取得較為理想的結(jié)果。

縱觀稀疏表示理論出現(xiàn)以后的圖像處理論文，廣大研究者著重于研究如何獲得表示能力強(qiáng)的冗余字典，以及通過結(jié)合多重約束，如平滑約束，相似性約束，幾何結(jié)構(gòu)不變性約束等來得到高質(zhì)量的圖像，近年來取得了很大的進(jìn)展。但是稀疏表示屬于一種優(yōu)化問題，涉及到字典學(xué)習(xí)和稀疏求解的計算過程比較復(fù)雜，因而對于該理論在圖像的實(shí)時處理上受到了限制，因此如何縮短計算時間也是這個模型急需解決的問題。

2 結(jié)語

該文介紹了稀疏表示模型，重點(diǎn)對其在提高數(shù)字圖像質(zhì)量方面的應(yīng)用進(jìn)行了綜述，最后指出稀疏表示模型在圖像處理中要實(shí)用化必須縮短計算時間。

參考文獻(xiàn)

[1] Michal Aharon，Michael Elad，and Alfred Bruckstein.K-SVD：An Algorithm for Designing Overcomplete Dictionaries for Sparse Representation.IEEE Transactions on Signal Processing，2006.