【摘要】本文在極值理論的GPD模型基礎(chǔ)上，引入了變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)GPD模型的閾值進(jìn)行了定量選擇，從而減少了一般極值理論因主觀判斷所引起的閾值選取的偏差。最后，將此方法建立的模型應(yīng)用到日元/美元匯率風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR和CVaR的計(jì)算中，取得了良好的效果。

【關(guān)鍵詞】GPD模型 變點(diǎn) 閾值 VaR CVaR

一、引言

風(fēng)險(xiǎn)度量是金融風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)，而風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）及由此衍生的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是當(dāng)今金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的主流方法，是應(yīng)用最廣泛的一種工具。傳統(tǒng)的VaR和CVaR計(jì)算方法一般都要對(duì)金融收益的分布類型進(jìn)行假設(shè)，這降低了模型的可信性。以極值理論為基礎(chǔ)的GPD模型并不假設(shè)金融收益的整體服從某一分布，而只是研究分布的尾部特征，這樣就避免了模型風(fēng)險(xiǎn)。因此，近幾年來，GPD模型越來越廣泛地應(yīng)用于金融風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)量之中。

但在實(shí)際處理風(fēng)險(xiǎn)度量中的厚尾問題時(shí)，閾值的選取是GPD模型的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，閾值選擇過大，則可用的數(shù)據(jù)就會(huì)很少，參數(shù)估計(jì)的方差偏大；若選擇過小，則導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)有偏或不相合。為此，很多學(xué)者在閾值的選擇上作了大量的研究，Embrechts（1997）[2]建議使用模擬法，通過研究在不同閾值的情況下極值指數(shù)的形狀來確定閾值的大小；Drees和Kaufmann（1998）[3]提出了利用重對(duì)數(shù)構(gòu)造Hill估計(jì)的樣本最優(yōu)分割的停止時(shí)間以此選取閾值。本文在以上研究的基礎(chǔ)上，引入變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行定量化的閾值選取，建立GPD變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)模型，并將此方法應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的計(jì)算中，以驗(yàn)證其有效性。

二、廣義Pareto分布與閾值選取

設(shè)X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)F支撐的上端點(diǎn)為x*，對(duì)某固定的大值uu，則稱它為超閾值（execeedance），稱Xi-u為超出量（excess）。在一定的條件下，超出量X-u服從廣義Pareto分布（GPD分布）。其尾部為

■（x；μ，σ，ξ）=（1+ξ■■，ξ≠01-exp（-■），ξ=0 （1）

當(dāng)ξ>0，分布具有厚尾特征，大部分金融數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)出這種厚尾特征，α=1/ξ稱為尾部指標(biāo)，一般用Hill估計(jì)量來估計(jì)尾部指標(biāo)。將X1，X2，…，Xn按照升序排列，得到次序統(tǒng)計(jì)量x（i），滿足x（i）？叟x（i-1），i=1，2…，n。Hill（1975）提出了以下尾部指標(biāo)α的Hill估計(jì)量：

α（k）=■■logx■-logx■，k=1，2，…，n-1 （2）

通過Hill估計(jì)法來選取閾值最常用的方法是作樣本的Hill圖，其定義為（k，α（k））：k=2，…，n的集合。閾值u要選擇Hill圖中呈現(xiàn)平穩(wěn)線性狀態(tài)的最大k值對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)Xk。觀察Hill圖是一種很便捷的閾值選取方法，但在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)存在兩個(gè)問題：一是如何界定序列的平穩(wěn)性？二是如何選擇跳點(diǎn)？依賴于主觀判斷來解決這兩個(gè)問題，通常會(huì)存在一定的偏差，這使得閾值的具體數(shù)值選取可能因人而異，同時(shí)難以通過計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。為此，本文引入斜率變點(diǎn)，通過尋找直線中斜率發(fā)生結(jié)構(gòu)性突變的點(diǎn)k來界定Hill估計(jì)的平穩(wěn)線性狀態(tài)，此點(diǎn)位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)值即為所求的閾值。

三、斜率變點(diǎn)的估計(jì)

有關(guān)變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的理論和變點(diǎn)的檢測(cè)方法可見文獻(xiàn)[4]和[6]，這里假定確有變點(diǎn)。按照文獻(xiàn)[6]中斜率變點(diǎn)的估計(jì)方法，本文給出σ在某點(diǎn)前后變化最大的點(diǎn)，將該點(diǎn)作為斜率變點(diǎn)的估計(jì)。本文直接引用文獻(xiàn)[6]中提出的簡(jiǎn)單模型：

y■=a■+σ■x■+ε■，1？燮i？燮k■a■+σ■x■+ε■，k■

這里斜率的變點(diǎn)為k0。假定在第k0個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)將數(shù)據(jù)分成兩段，且兩段數(shù)據(jù)得到的回歸系數(shù)值分別為σ■■，σ■■，并計(jì)算前后系數(shù)的差值，記為

Δ■=σ■■-σ■■ （4）

那么斜率變點(diǎn)的估計(jì)為Δ■達(dá)到最大的點(diǎn)，即k0=arg（■Δ■），如果有幾個(gè)點(diǎn)同時(shí)達(dá)到最大，則以最臨近的點(diǎn)作為斜率變點(diǎn)的估計(jì)。

四、基于變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)方法的GPD模型

通過上面的討論，可以考慮直線中斜率發(fā)生結(jié)構(gòu)性突變的點(diǎn)k來界定GPD模型中Hill估計(jì)的平穩(wěn)線性狀態(tài)，以此建立改進(jìn)的GPD模型，并將其用于VaR及CVaR的計(jì)算中，其具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

首先，通過（2）式計(jì)算GPD分布的尾部指標(biāo)α的Hill估計(jì)量；

其次，通過（3）式找到使（4）達(dá)到最大的點(diǎn)，該點(diǎn)即為斜率變點(diǎn)所在的位置；

再次，根據(jù)斜率變點(diǎn)所在的位置確定GPD模型的閾值u；

最后，根據(jù)選定的閾值u，應(yīng)用極值統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)GPD模型的未知參數(shù)，并代入以下計(jì)算式中，得出VaR和CVaR：

VaR■=u+■■（1-p）■-1 （5）

CVaR■=■+■ （6）

其中p為顯著性水平。

五、應(yīng)用實(shí)例

本文以日元/美元匯率為例，檢驗(yàn)上節(jié)所提方法應(yīng)用于金融風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算的有效性。采用的歷史數(shù)據(jù)為1973年1月1日至2012年7月31共10422個(gè)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源：美國聯(lián)邦儲(chǔ)備局INTERNET網(wǎng)站）。

（一）VaR和CVaR的計(jì)算

首先，根據(jù)極值理論，并借助R統(tǒng)計(jì)軟件中的極值統(tǒng)計(jì)包evir中的hill函數(shù)，得到相應(yīng)的Hill值，再利用變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)理論對(duì)Hill估計(jì)的斜率變點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)可知，通過（4）中Δ■達(dá)到最大，搜索得到變點(diǎn)位置k0=10224，即在第10224個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)Hill估計(jì)斜率發(fā)生了結(jié)構(gòu)性變化，由此得所求閾值為u=1.5811。

根據(jù)選定的閾值，超過閾值u的樣本數(shù)的個(gè)數(shù)為198個(gè)，為了提高估計(jì)的精確度，采用Bootstrap再抽樣的方法，即根據(jù)這198個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)分布，再從這個(gè)分布中抽取10000個(gè)樣本，一共抽10組，分別用這10組樣本用極大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到σ和ξ的估計(jì)值分別為0.5142和0.1829，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.05504和0.08110。再利用（5）式和（6）式得到在不同的置信水平下的VaR和CVaR，如表1。

表1 GPD模型下的VaR和CVaR

注：一般GPD模型下VaR和CVaR的計(jì)算直接引用文獻(xiàn)[1]中的方法計(jì)算得到。

從表1可以看出，基于變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)方法的GPD模型計(jì)算得到的不同置信水平下的VaR和CVaR值均明顯大于一般極值理論建立的GPD模型所計(jì)算的VaR和CVaR值，這表明一般極值理論建立的GPD模型存在著低估風(fēng)險(xiǎn)的可能，而通過變點(diǎn)定量選取閾值的方法能更為精確的刻畫風(fēng)險(xiǎn)程度，增加模型的靈敏度。

（二）模型的有效性檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，需要檢驗(yàn)計(jì)算的VaR對(duì)實(shí)際損失的覆蓋程度。根據(jù)樣本計(jì)算出損失超過VaR值的天數(shù)t，進(jìn)一步計(jì)算溢出率E=t/n。并將E值與顯著性水平p進(jìn)行比較。若E>p，說明模型低估了風(fēng)險(xiǎn)，反之表明預(yù)測(cè)結(jié)果覆蓋了實(shí)際的損失，但是如果E太小則說明估計(jì)過于保守。下表給出了檢驗(yàn)的結(jié)果：

表2 模型計(jì)算的VaR的檢驗(yàn)結(jié)果

從上表可以看出，兩個(gè)模型計(jì)算出實(shí)際溢出率E

六、結(jié)語

本文利用變點(diǎn)統(tǒng)計(jì)方法改進(jìn)了一般極值理論下的GPD模型，該方法能定量地確定GPD模型的閾值，克服了利用Hill估計(jì)等傳統(tǒng)方法在選取閾值時(shí)過于依賴于主觀判斷的缺陷，并將建立的模型應(yīng)用于金融風(fēng)險(xiǎn)度量和管理中，使得極值理論在金融風(fēng)險(xiǎn)的應(yīng)用中更為精確地度量VaR和CVaR。

但是，由于本文用于實(shí)證所收集的日元/美元匯率數(shù)據(jù)可能只是實(shí)際數(shù)據(jù)的一部分，還不能完全反映數(shù)據(jù)的真實(shí)情況，因此應(yīng)用上述估算的實(shí)證結(jié)果只是基于收集數(shù)據(jù)的反映，不一定能完全反映實(shí)際情況。如何在不完整數(shù)據(jù)及小樣本條件下，更合理、科學(xué)和準(zhǔn)確地估算和預(yù)測(cè)VaR和CVaR，還有一些關(guān)鍵問題值得做進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：西藏民族學(xué)院青年項(xiàng)目（10myQ03）；國家社科基金西部項(xiàng)目（11XJY011）。

作者簡(jiǎn)介：汪朋（1983-），男，湖北武漢人，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)碩士，講師，統(tǒng)計(jì)師，研究方向：統(tǒng)計(jì)決策和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。