【摘要】數(shù)值分析是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用的橋梁，是理工院校學(xué)生的必修課.針對該課程的特點(diǎn)和教學(xué)過程中的一些問題，我們進(jìn)行了多年的教學(xué)改革研究，對教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法提出了一些設(shè)想，經(jīng)過實(shí)踐取得了良好的效果.

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析；科學(xué)計算；教學(xué)方法；教學(xué)模式

【中圖分類號】G642；G420 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【基金項目】河北省教育廳科研計劃項目（2010260），河北省自然科學(xué)基金項目（A2010000908）

一、引 言

數(shù)學(xué)問題的多樣性與數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及深入性，已經(jīng)成為現(xiàn)代科技發(fā)展的重要特征.Napoleon的經(jīng)典名言“國家富強(qiáng)，要靠數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)”已被認(rèn)為是一條不容置疑的真理.

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值計算方法及其理論.大數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過，任何問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，任何數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，任何代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程式的求解.由數(shù)學(xué)問題到方程式的轉(zhuǎn)化以及解方程就是數(shù)值分析問題.隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，幾乎所有的學(xué)科都走向了定量化和精確化.數(shù)值分析是一門與計算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性和實(shí)踐性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，主要介紹科學(xué)計算的基本理論和基本方法.目前數(shù)值分析已經(jīng)成為理工院校學(xué)生的一門核心基礎(chǔ)課程.為了在有限的學(xué)時內(nèi)達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，我們深入研究課程特點(diǎn)，并進(jìn)行了較大幅度的改革，取得了顯著成效.本文中，我們將與同行們交流近幾年推行的改革措施并提出一些設(shè)想供大家指正.

二、數(shù)值分析課程教學(xué)中存在的問題

（一）內(nèi)容多，課時少

這是一個各大院校共同面臨的問題.首先，課程本身包含內(nèi)容多.其次，數(shù)值分析方法是發(fā)展的，與時俱進(jìn)的.隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用越來越廣泛，科學(xué)計算成為學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)問題，經(jīng)典方法與現(xiàn)代手段結(jié)合得到不斷改進(jìn)，新方法、新理論也不斷產(chǎn)生.在有限的課時內(nèi)把所有的內(nèi)容都有效地傳授給學(xué)生對老師是一個挑戰(zhàn).

（二）內(nèi)容相對獨(dú)立，缺少連貫性

大多數(shù)教材對各種計算方法的講述相對獨(dú)立，不能很好地體現(xiàn)計算方法的發(fā)展過程和進(jìn)步性，各種方法之間的融合較少，不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

（三）重理論，輕實(shí)踐

大多數(shù)教材理論較深，例題較少，題型缺乏應(yīng)用背景，使得學(xué)生掌握了方法，卻只會做數(shù)學(xué)題，解決實(shí)際問題的能力差.

（四）直觀性差

由于數(shù)值分析課程本身的特點(diǎn)，教學(xué)過程需要多媒體輔助.但是很多多媒體課件僅僅是一些PPT.雖然對課時的有效利用有一定幫助，但是呈現(xiàn)給學(xué)生的仍然是繁瑣的公式推導(dǎo)，沒有充分發(fā)揮多媒體的動畫功能，學(xué)生對方法的理解仍停留在書面意義上，對授課效果的提升有限.

三、我們的教學(xué)改革實(shí)踐

近幾年來，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過完成教改立項和組織各種教研活動，“數(shù)值分析”課程在教學(xué)手段、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式以及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識等方面取得了系列成果.

（一）教學(xué)手段

我們在使用多媒體課件的同時，深入挖掘計算機(jī)輔助教學(xué)的潛力，將越來越多的方法（例如三次樣條插值、磨光算法等）制作成Flash動畫，直觀地展示這些方法的有效性及其作用過程.例如一個正方形（立方體）經(jīng)過幾次磨光之后逐漸變成一個圓（球），可以通過動畫展示整個過程及每次磨光的效果.再結(jié)合理論說明使課堂內(nèi)容通俗易懂，讓學(xué)生知其然更知其所以然.不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，輕松接受各種算法，還可以幫助他們深層理解，增強(qiáng)應(yīng)用和創(chuàng)新意識.

（二）教學(xué)內(nèi)容

授課過程中注意內(nèi)容的連貫性，還原學(xué)科發(fā)展歷程，體現(xiàn)“方法源于需要，理論源于實(shí)踐”.例如對于多項式插值我們給出如下關(guān)系圖:

關(guān)系圖說明：最古典的是多項式插值（包括：局部方法，一點(diǎn)處泰勒展開；整體方法，高次插值），但是由于次數(shù)較高時出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，于是出現(xiàn)了分片或分段低次插值，克服了龍格現(xiàn)象但是分段點(diǎn)處不光滑，進(jìn)而出現(xiàn)了樣條函數(shù)理論.這樣學(xué)生可以對課程有一個整體把握，同時感受數(shù)值分析方法的實(shí)用性與進(jìn)步性.再比如多項式插值的Lagrange公式、Newton公式以及Chebyshev多項式三者的優(yōu)缺點(diǎn)比較，以及Chebyshev多項式的節(jié)點(diǎn)選取是很關(guān)鍵的，再擴(kuò)展一點(diǎn)，聯(lián)系Leja點(diǎn)集和散亂數(shù)據(jù)插值的最優(yōu)節(jié)點(diǎn)組的自適應(yīng)選取便把學(xué)生帶到了目前科學(xué)計算的研究熱點(diǎn).如此學(xué)生覺得數(shù)值分析不僅切實(shí)有用，而且仿佛站在了專家學(xué)者們身旁，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)激情.

（三）教學(xué)模式

教學(xué)內(nèi)容為“理論闡述+算法推導(dǎo)+程序設(shè)計+算法實(shí)驗+數(shù)值解分析+算法實(shí)踐”.以“崇術(shù)重用”為原則，對于每個方法，我們適當(dāng)刪減繁瑣冗長的證明過程及運(yùn)算技巧，更多地結(jié)合實(shí)際問題和動畫演示，直觀地闡述方法的來源、方法的作用過程及效果.保證課程內(nèi)容的深入淺出.增加上機(jī)實(shí)驗，讓學(xué)生自己動手解決問題.鍛煉了他們的動手能力，符合理工院校高素質(zhì)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo).

（四）上機(jī)實(shí)踐

引進(jìn)Mahtematica軟件并完成了與教學(xué)內(nèi)容的融合，自主開發(fā)了一系列教學(xué)示范程序.我們要求學(xué)生在掌握一定的編程能力和數(shù)值算法以后，能對現(xiàn)有程序做改進(jìn)，能將所學(xué)的計算技巧融合使用.例如要求學(xué)生在非線性方程組的簡單迭代程序基礎(chǔ)上，編寫加速迭代算法程序，將比較成功的算法改進(jìn)展示給所有同學(xué)，對于有創(chuàng)新的幫助他們寫成論文發(fā)表.作為課外作業(yè)，我們選擇一些應(yīng)用性較強(qiáng)，但是計算量難以手工完成的問題，要求他們利用所學(xué)數(shù)值分析方法，在計算機(jī)上編寫程序語言并最終解決問題，并將這些作業(yè)完成情況作為課程期末考核的一個組成部分.這些措施提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行綜合分析的能力和科學(xué)計算能力，收到良好效果.

四、教學(xué)改革的一點(diǎn)設(shè)想

各大院校普遍存在一個問題，就是不同院系之間缺少交流，不同學(xué)科專業(yè)的學(xué)生互不了解，缺乏交流合作，更缺乏合作意識.我們設(shè)想將今后的數(shù)值分析教學(xué)過程與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來，對學(xué)生進(jìn)行跨專業(yè)分組，每組成員平時多多交流，對于上機(jī)作業(yè)以組為單位，發(fā)揮每個成員的專業(yè)優(yōu)勢，合作完成.學(xué)期末，每組隨機(jī)抽取一個較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模問題，限定時間內(nèi)完成，作為課程考核的指標(biāo)之一.鼓勵研究生與其他專業(yè)的研究生或老師合作，實(shí)現(xiàn)資源共享和知識互補(bǔ)，共同解決研究中碰到的科學(xué)計算問題.讓他們在學(xué)習(xí)研究中獲得快樂.

幾年來，我們以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計算能力為重心，以“分析與計算并重、經(jīng)典與現(xiàn)代交融、方法與實(shí)驗互證”為理念的教學(xué)改革實(shí)踐激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)解決實(shí)際問題的能力，為以后從事科學(xué)研究工作奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).同時也鍛煉了教師隊伍，在與學(xué)生的互動中，教學(xué)相長，提高了教學(xué)水平，得到了專家們的好評.

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