學(xué)習(xí)平行四邊形的判定時(shí)，我們通常學(xué)習(xí)了如下幾種判定方法:

⑴兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.這是平行四邊形的定義，也是一種判定方法.

⑵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

⑶一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;

⑷對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

除了以上四種判定方法外，本文補(bǔ)充另外幾種判定方法，若同學(xué)們認(rèn)真分析，探索研究，也就會發(fā)現(xiàn)還有如下的幾種判定方法:

⑸兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

⑹一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形;

⑺一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形.

下面就以上⑸ ⑹ ⑺ 三種判定方法分別作簡略證明.

求證⑸：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（這道題在新人教版教材中以練習(xí)題的形式出現(xiàn)。）

已知如圖① 四邊形ABCD中∠A =∠C ， ∠B =∠D ，求證四邊形 ABCD是平行四邊形。

證明：如圖① 在四邊形ABCD中 ∠A +∠B + ∠C + ∠D=360° ，∠ A = ∠C ， ∠B=∠D ∴ 2∠A+2∠B=360° ∴ ∠A+∠B=180° ∴ AD ∥ BC 同理可得AB ∥ CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形

即有：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

圖①

求證⑹：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形

已知：在四邊形ABCD中AB =CD ，∠ A = ∠C 求證 四邊形ABCD是平行四邊形

證明 1. 當(dāng)∠A 、∠C 是鈍角時(shí)，如圖② 在四邊形ABCD中，延長DA和BC，過B點(diǎn)作BE ⊥ DA的延長線于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥BC的延長線于F點(diǎn)， 則有 ∠BEA= ∠DFC =90° ，∵ ∠DAB= ∠BCD， ∠BAE=180° －∠DAB =180° －∠BCD =∠DCF 。 在△BAE和△DCF中，∵ ∠BEA= ∠DFC=90°， ∠BAE=∠DCF， AB=CD，∴△ABE ≌ △CDF（ AAS ） ∴ BE=DF， AE=CF 連結(jié)BD ， 在 Ｒｔ△BED和Ｒｔ△DFB中 ∵ BD=DB BE=DF ∴Ｒｔ△BED≌Ｒｔ△DFB ( HL ) ∴DE=BF 又∵AE=CF ∴ DE－AE=BF－CF 即AD=BC 又 ∵ AB=CD ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形 。

圖②

2.當(dāng)A ，C是直角時(shí)， 如圖③所示 連結(jié)BD，在Ｒｔ△ABD和Ｒｔ△CDB 中 ∵AB=CD ，BD=DB ∴Ｒｔ△ABD ≌ Ｒｔ△CDB （ HL ） ∴ AD=CB ， 又 ∵AB=CD ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形。

圖③

3.當(dāng)∠A ， ∠C是銳角時(shí)，如圖④所示，方法同1，過B點(diǎn)作BE ⊥AD于E點(diǎn)，過D 點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，可得Ｒｔ△ABE ≌ Ｒｔ△CDF（AAS） ∴ BE= DF， AE=FC . 連結(jié)BD，可證得 Ｒｔ△BED ≌Ｒｔ△DFC （HL）∴ DE=BF ∴ AE+DE=FC+BF ∴ AD=BC 又∵AB=CD ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形。

綜上1，2，3可得：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

圖④ 圖⑤

求證⑺：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形

已知如圖⑤ 在四邊形ABCD中，AB ∥CD，∠A ＝∠C ，求證：四邊形ABCD是平行四邊形

證明：如圖⑤在四邊形ABCD中 ∵AB ∥CD，∴∠A+ ∠D=∠B+∠C=180° ， ∵∠A= ∠C ， ∴∠B ＝∠D ∴四邊形ABCD是平行四邊形。

通過以上幾種判定法的補(bǔ)充，相信對同學(xué)們學(xué)習(xí)平行四邊形有所幫助，對于認(rèn)識和掌握平行四邊形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)以及它的判定方法，特別是平行四邊形的判定方法，都會更加詳細(xì)徹底，更加豐富全面。下面補(bǔ)充幾道練習(xí)題， 相信同學(xué)們能夠?qū)W以致用，并且在解決平行四邊形的判定題時(shí)，一定會達(dá)到游刃有余，輕松愉快的境界。