【摘要】在教學(xué)過程中，在學(xué)生處于不同的學(xué)習(xí)階段，針對同一問題，分別給出了三種不同的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生在知識更新后，對已解決的問題進(jìn)行再思考，尋求更多的方法，以達(dá)到調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性以及提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的興趣的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】定積分 多重積分 H·lder不等式 柯西-施瓦茲不等式

【基金項目】伊犁師范學(xué)院一般項目（2012YB016）

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）10-0083-01

高等數(shù)學(xué)是非數(shù)學(xué)專業(yè)的很多理、工、經(jīng)管各專業(yè)必修的一門數(shù)學(xué)課程，本課程的教學(xué)效果和質(zhì)量直接影響各專業(yè)學(xué)生后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，最終也必將影響著高等教育人才培養(yǎng)的質(zhì)量。跟初等數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)是一門高度抽象、邏輯嚴(yán)密的課程，針對大一新生開設(shè)的課程，學(xué)生開始剛剛接受抽象的內(nèi)容，此外，若再碰到具有較強技巧性的習(xí)題的時候，通常會讓很多學(xué)生都難以理解和接受，使得學(xué)生喪失學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，這在一定程度上會影響高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果和質(zhì)量。這樣，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，進(jìn)而提高教學(xué)效率，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革的一個重要研究課題。

筆者在第一次高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，很多學(xué)生會在課后輔導(dǎo)中詢問問題[1]的證明方法。

問題：設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，試證明：

f（x）dx≥f（x）dx 。

事實上，在教材的附錄中有證明提示，雖然大部分學(xué)生能夠在提示的基礎(chǔ)上證明該題，但是學(xué)生感覺該問題的證明方法不容易理解和接受。因此很多學(xué)生提出是否有其它簡單和容易接受的方法。幾次嘗試下來無果后，便失去了興趣，在后續(xù)的課程學(xué)習(xí)中也慢慢被抽象的概念和特殊的技巧消磨了最后的一點好奇心。在接下來的教學(xué)過程中，筆者開始思考證明該問題的其它方法，琢磨培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)興趣的方法。

在課堂教學(xué)后，我們拋開了教材前五章的知識點，嘗試尋求其它的證明方法，嘗試進(jìn)一步理解該題目的幾何背景，我們得到了如下的三種新的證明方法，得到了該題目的幾何背景和其為H？觟lder不等式或柯西-施瓦茲不等式的一種特殊情形的結(jié)論。接下來，為了論文的完整性，我們先給出具體的證明方法如下。首先給出證明方法需要用到的引理。

引理1.如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）≥0，則

f（x）dx≥0 （a

引理2.（ H？觟lder不等式）設(shè)1≤p，q≤∞，+=2若u∈Lp（？萃），v∈Lq（？萃）則有uvdx≤uvL（？萃），其中？萃∈Rn的有界開集。

方法一、設(shè)f（x）dx=a，則有定積分的性質(zhì)（引理1）可得：

[f（x）-a]2dx≥0，即：

[f（x）-a]2dx

=f2（x）dx-2af（x）dx+a2

=f2（x）dx-f（x）dx≥0

得證。

該方法有較強的技巧性，即上述計算過程中2af（x）dx和a2可以合并成一項，這樣導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生不能思考出問題的證明方法。

方法二、對于不等式的右邊，我們可做如下的處理：

f（x）dx=f（x）dxf（x）dx

=f（x）dxf（y）dy=f（x）f（y）dxdy

≤dxdy=f2（x）dx

得證。

該方法要用到二重積分[2]的知識和一個在高中數(shù)學(xué)經(jīng)常用到的不等式，該方法可以幫助學(xué)生從重積分的幾何背景的基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解該問題的幾何背景。此外，該方法還可以幫助學(xué)生理解定積分中換元法的重要性。

方法三、因為f（x）為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，所以f（x）有界，可知：f（x）屬于L1[0，1]和L2[0，1]。進(jìn)一步假設(shè)u（x）=f（x），v（x）=1在H？觟lder不等式[3]中取p=q=2，可得：

f2（x）dx1dx≥f（x）dx≥f（x）dx

容易得結(jié)論。該方法說明了問題是特殊的H？觟lder不等式。

另一方面，因為f（x）在[0，1]上連續(xù)，所以f（x）屬于歐氏空間 C[0，1][4]，其上的內(nèi)積定義為：

=f（x）g（x）dx。

進(jìn)而由柯西-施瓦茲不等式可得：

≤，整理也可得結(jié)論。

在后期的教學(xué)過程中，筆者嘗試將該習(xí)題當(dāng)作本章總復(fù)習(xí)時的例題，首先在課后附錄提示的基礎(chǔ)上完善教材中證明（方法一），講解了問題的技巧所在。此外，讓學(xué)生思考該問題的證明方法。并提醒學(xué)生該問題具有一定的幾何背景，但是需要其它的高等數(shù)學(xué)知識。最后，給學(xué)生留下時間去思考問題的幾何背景，以達(dá)到促使學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新知識的動力，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)的積極性和主動性。

在后面的教學(xué)過程中，經(jīng)常有學(xué)生詢問是否已經(jīng)學(xué)習(xí)了能解決問題的知識。這樣可以看出，我們的嘗試取得了較好的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（上冊）[M]，高等教育出版社，2007年4月。

[2]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧，數(shù)學(xué)分析講義[M]，高等教育出版社，2003年7月。

[3]匡繼昌，常用不等式[M]，山東科技出版社，2004年10月。

[4]張禾瑞，郝鈵新，高等代數(shù)[M]，高等教育出版社，2007年6月。