【摘要】綜合高中函數(shù)模塊中,冪函數(shù)課題既是學(xué)生學(xué)得難點(diǎn),也是教師教的難點(diǎn)。江蘇省2010版單招考試數(shù)學(xué)考綱中,規(guī)定該考點(diǎn)為“了解冪函數(shù)舉例”。層次上已經(jīng)弱化為最低一級(jí)的“了解”,理論上也弱化為指數(shù)為非零有理數(shù)時(shí)的具體“舉例”。即便如此,對(duì)于我們師生之間的教與學(xué)也是一個(gè)考驗(yàn)。
【關(guān)鍵詞】?jī)绾瘮?shù) 課案設(shè)計(jì)
【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2012)10-0077-02
根據(jù)我校的課改要求,本人在校本教材與校本練習(xí)開(kāi)發(fā)中,就課案設(shè)計(jì)構(gòu)思上作了如下安排,課堂效益與輔導(dǎo)效果良好。
一、化歸鋪墊,認(rèn)知數(shù)與形的結(jié)合
1.將非零有理指數(shù)變形為分?jǐn)?shù)的形式: p、q既約,分母q為正整數(shù),分子p為非零整數(shù);當(dāng)有理指數(shù)為整數(shù)時(shí),分母q=1。
2.在第一象限,作三條輔助線x=1【過(guò)點(diǎn)(1,1)的x軸的垂線】;y=1【過(guò)點(diǎn)(1,1)的y軸的垂線】;y=x【過(guò)點(diǎn)(1,1)的第一象限的角分線】。
并將y=1變形為y=x0【補(bǔ)充規(guī)定當(dāng)x=0時(shí),y=1】;y=x變形為y=x1 。
3.分別作二次函數(shù)y=x2,反比例函數(shù)y=以及函數(shù)y=x的圖象并觀察:
①在第一象限中,觀察拋物線、雙曲線及y=x圖像與三條輔助直線的位置關(guān)系:
y=x2在直線x=1的右側(cè)位于直線y=x1之上,而有理指數(shù)>1;
y=x在直線x=1的右側(cè)位于直線y=x0與y=x1之間,而有理指數(shù)0<<1。
y=x-1在直線x=1的右側(cè)位于直線y=x0之下,而有理指數(shù)<0;
②判斷三個(gè)函數(shù)的奇偶性,觀察有理指數(shù)轉(zhuǎn)化為既約分?jǐn)?shù)后分子、分母的奇偶性:
y=x2是偶函數(shù),y=x2可變形為y=x,=,分母q為正奇數(shù),分子p為正偶數(shù);y=x-1為奇函數(shù),y=x-1可變形為y=x,=,分母q為正奇數(shù),分子p為負(fù)奇數(shù);
y=x為非奇非偶函數(shù),=,分母q為正偶數(shù),分子p為(正)奇數(shù)。
4.①分析y=x,y=x分別與直線x=,x=4交點(diǎn)與三條輔助直線的相對(duì)位置關(guān)系;
②分析y=x,y=x分別與直線x=,x=8交點(diǎn)與三條輔助直線的相對(duì)位置關(guān)系;
③分析y=x,y=x分別與直線x=,x=4交點(diǎn)與三條輔助直線的相對(duì)位置關(guān)系。
5.討論y=x,y=x,y=x,y=x在y軸左側(cè)的圖象情形,分析指數(shù)分?jǐn)?shù)的符號(hào),分母q、分子p的奇偶性。
二、分類(lèi)討論,合情歸納推理
第一類(lèi)情形:分?jǐn)?shù)為大于1的正數(shù)(>1)
在直線x=1的右側(cè),y=x位于直線y=x1的上方,第一象限的圖象示意圖為:
(一)分母q為正偶數(shù),分子p恒為正奇數(shù)(舉例如:y=x)
1.自然定義域?yàn)閇0,+∞)(偶次根式 中,xp≥0,x≥0)
2.y=x為非奇非偶函數(shù),圖象如圖1-1
3.值域?yàn)閇0,+∞)(圖象在y軸上的正射影為y正半軸,包括原點(diǎn))
4.圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1)以及原點(diǎn)。
(二)分母q為正奇數(shù),分子p為正奇數(shù)(舉例如:y=x3)
1.自然定義域?yàn)镽(奇次根式中xp∈R,x∈R)
2.y=x為奇函數(shù),推知圖象如圖1-2
3.值域?yàn)镽(圖象在y軸上的正射影為y軸)
4.圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1)以及原點(diǎn)。
第二類(lèi)情形:分?jǐn)?shù)為小于1的正數(shù)(0<<1)
在直線x=1的右側(cè),y=x位于直線y=x0與y=x1之間,第一象限的圖象示意圖為:
(一)分母q為正偶數(shù),分子p恒為正奇數(shù)(舉例如:y=x)
1.自然定義域?yàn)閇0,+∞)(偶次根式中,xp≥0,x≥0)
2.y=x為非奇非偶函數(shù),圖象如圖2-1
3.值域?yàn)閇0,+∞](圖象在y軸上的正射影為y正半軸,包括原點(diǎn))
4.圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1)以及原點(diǎn)。
(二)分母q為正奇數(shù),分子p為正奇數(shù)(舉例如:y=x)
1.自然定義域?yàn)镽(奇次根式中,xp∈R,x∈R)
2.y=x為奇函數(shù),推知圖象如圖2-2
3.值域?yàn)镽 (圖象在y軸上的正射影為y軸)
4.圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1)以及原點(diǎn)。
第三類(lèi)情形:分?jǐn)?shù)為負(fù)數(shù)(<0)
在直線x=1的右側(cè),y=x位于直線y=x0的下方,第一象限的圖象示意圖為:
(一)分母q為正偶數(shù),分子p恒為負(fù)奇數(shù)(舉例如:y=x)
1.自然定義域?yàn)椋?,+∞)(代數(shù)式中,x-p>0,x>0)
2.y=x為非奇非偶函數(shù),推知圖象如圖3-1
3.值域?yàn)椋?,+∞)(圖象在y軸上的正射影為y正半軸,包括原點(diǎn))
4.圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1),不過(guò)原點(diǎn)。
(二)分母q為正奇數(shù),分子p恒為負(fù)奇數(shù)(舉例如:y=x-1)
1.自然定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞)(代數(shù)式中,x-p≠0,x≠0)
2.y=x為奇函數(shù),推知圖象如圖3-2
3.值域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞)(圖象在y軸上的正射影為除去原點(diǎn)的y軸)
4.圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1),不過(guò)原點(diǎn)。