摘 要:通過“古歷會(huì)積”的注釋，不僅揭示了推算“上元積年”的兩種方法，再現(xiàn)了一次不定方程組的祖沖之算法，而且明確了“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”的原意，糾正了對(duì)“古歷會(huì)積”的若干誤解。更有科學(xué)價(jià)值的是，我們找出日月五星(七曜)會(huì)合周期的最佳公倍數(shù)是806510日，“太初上元”被確認(rèn)為公元前248年冬至?xí)r。

關(guān)鍵詞:歷法 數(shù)論 大衍法 不定方程組

中圖分類號(hào):P194.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2012)04(b)-0247-02

“上元”是歷法授時(shí)的基準(zhǔn)，又稱為“歷元”?！肮湃擞跉v元之外，還要求日月合璧、五星聯(lián)珠，定為上元;于是還要推算七政的周期，使它同時(shí)發(fā)生于歷元，作為出發(fā)的始點(diǎn)，起算的開端。后來治歷的人，都沉溺在上元積年的推算，埋頭于各種周期的測(cè)驗(yàn);所以一部中國(guó)歷法史，實(shí)際上可以說是上元的演算史。”[1]28

1 選定上元為歷法的基準(zhǔn)

若設(shè)古歷的上元至淳祐丙午11月初5冬至(公元1246年12月14日19時(shí)26分[6]610)歷過年數(shù)為x，則稱x為上元積年數(shù)(一會(huì)積年)。又設(shè)古歷的上元至淳祐丙午11月初9日子時(shí)歷過日數(shù)為N(稱為上元積日數(shù))。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)“”或“”表示“是T的整數(shù)倍”(這是本文溝通古今的橋梁)。則題設(shè)(氣)、(朔)、(紀(jì))日滿足方程組:

(1)

其中N、x、y、z都是未知的正整數(shù)。

也就是 (2)

這樣“古歷會(huì)積”問題就轉(zhuǎn)化為求不定方程組(1)或(2)的解，也就是如何求上元積年數(shù)x？

2 適當(dāng)選取新的時(shí)間單位(日法)，將題設(shè)條件全變?yōu)檎麛?shù)

秦氏取通數(shù)1日=(日法)，則

年(氣分)，

月(朔分)，

甲子(紀(jì)分)，

剩余

這樣(2)就是

(3)

3 用“大衍總數(shù)術(shù)”將元數(shù)組(4)變成兩兩既約的定數(shù)組

顯然(4)式同解于

(4’)

秦九韶用“大衍總數(shù)術(shù)兩兩連環(huán)求等，約奇弗約偶”[2]2將(4)式直接化為

(5)

其中=487(氣定)、=19(朔定)、=225600(紀(jì)定)是兩兩既約的。因此(4)式同解于(5)式的充要條件(這是“總數(shù)術(shù)”不明確之處)是:剩余

(6)

4 應(yīng)用孫子定理即得方程組(5)的通解

，(t為整數(shù))，其中衍母 日(一會(huì)積日)年(一會(huì)積年)衍數(shù)G0=M/m0(氣奇)，G1=M/m1 (朔奇)，G2=M/m2(紀(jì)奇);

“用大衍求一，各得乘率”[2]15:氣乘率x0=473(見表2)，朔乘率x1=5，紀(jì)乘率x2=172717。故通解:

=2027467200(氣泛)+549336000(朔泛)

+1598150401(紀(jì)泛)

因?yàn)橛校€可以將通解改記為 (日) (7)

5 將剩余代入(7)式確定上元積年數(shù)

秦九韶是在這最后一步計(jì)算出錯(cuò)，他忽視了剩余必須滿足條件(6)。下面先改用“治歷演紀(jì)”中的演紀(jì)法(消元法)來解“古歷會(huì)積”問題，好和上面的“公式法”比較。

6 用演紀(jì)法解“古歷會(huì)積” 問題

由(1)式中的兩個(gè)不定方程:

直接來求上元積年數(shù)x。算法如下:

將(8)式即的一次項(xiàng)系數(shù)先化為整數(shù):，約去一次項(xiàng)系數(shù)的等數(shù)1461，化為 (8’)

上式當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)時(shí)有整數(shù)解，可改記為。

用大衍求一得乘率11，據(jù)性質(zhì)2有 立刻求得(8’)的通解:x=11R+19t，y=136R+235t(t∈Z) (8’’)

再將(8’’)代入(9)式消去變?cè)獂:， 將一次項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù):。上式當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)時(shí)才有整數(shù)解，可改記為:

用大衍求一得乘率77，據(jù)性質(zhì)2有

立刻解得(k∈Z) (9’)

將(9’)代入(8’’)得方程組(8)(9)的通解:

， (10)

若令，k=1代入得的最小公倍數(shù):1520(一會(huì)積年)。

題設(shè)，，，代入， ，若取，代入(10)式得 ，故歷過年數(shù)為1485(上元積年)。歷過日數(shù) 。故應(yīng)該取剩余， ，。它們滿足條件(6)，代入(7)式亦得N=542400。代入(1)式可以驗(yàn)證:

(會(huì)元)

可見“公式法”與“演紀(jì)法”(消元法)都是正確的，但消元法比公式法簡(jiǎn)單得多。

7 從“日月合璧、五星聯(lián)珠”找出會(huì)元數(shù)為806510日

計(jì)算“上元積年”的目的是找出上元。但是從1246-1485=-239并不能確定公元前239或240年歲首就是上元。由于年月的精度和日法、剩余的選擇不同，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響極大，我們改從“七曜同宮”入手。天文觀測(cè)知道，1962(壬寅)年2月5(甲戌)日(春節(jié)，日食)日月五星會(huì)聚寶瓶宮，以此為基準(zhǔn)，即取。又1961(辛丑)年十一月十五(己丑)日10時(shí)20分冬至，即。對(duì)(1)式進(jìn)行大量捜索計(jì)算，得到治歷者追求了兩千多年才被我們找到的七曜會(huì)合周期的最佳公倍數(shù)是806510日(會(huì)元)以及(1)式的解:

(七曜會(huì)聚周期)

其中，年;月。且有五星會(huì)合周期:木星;火星 ;土星;金星;水星。

因2208-1961=247，據(jù)此推定公元前247年(秦始皇肇位前1年)前12月16(甲申)日晨初朔旦為太初上元。

參考文獻(xiàn)

[1]陳遵嫣.中國(guó)古代天文學(xué)史[M].1955.

[2]秦九韶.數(shù)書九章(一至五冊(cè))[M].1985.

[3]李迪.通過《數(shù)書九章》探討“綴術(shù)”[C].《中國(guó)數(shù)學(xué)史論文集》(4)(吳文俊主編)，1996.