摘 要:我們可以用提取公因式法、導(dǎo)數(shù)法、馬克勞林法確定無(wú)窮小量的階數(shù)，還可用無(wú)窮小量的主要部分計(jì)算復(fù)雜未定式。

關(guān)鍵詞:無(wú)窮小量階數(shù) 無(wú)窮小量的主要部分 復(fù)雜未定式的計(jì)算

中圖分類號(hào):O172.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2012)04(a)-0218-02

Infinitesimal order and its application

Duan Wen Xi

(Beijing Normal University Zhu Hai Campus)

Abstract:We can use the method of extracting common factor， derivative method，Mark McLaughlin method to determine the order of infinitesimal，We can also make use of infinitesimal main part to calculation complexity of the indeterminate form.

Key word:Order of the Infinitesimal Main part of the Infinitesimal calculation complexity of the

1 無(wú)窮小量階的概念及其運(yùn)算

定義1如果，就稱是時(shí)關(guān)于的階無(wú)窮小量。

對(duì)于無(wú)窮小量的運(yùn)算，我們有以下結(jié)論

(1)如果與都是時(shí)關(guān)于的階無(wú)窮小量，則是關(guān)于的階無(wú)窮小量，其中;

(2)如果，，則是階無(wú)窮小，其中;

(3)如果，則也是關(guān)于的階無(wú)窮小量;

(4)如果，則;

(5)如果，，則

;

(6)時(shí)，如果，，則

是關(guān)于的階無(wú)窮小。

例1時(shí)，是的高階無(wú)窮小，.是的高階無(wú)窮小量，則

是的高階無(wú)窮小，也是的高階無(wú)窮小量。

2 無(wú)窮小量階數(shù)的判斷

方法一、(提取公因數(shù)判斷法)

如果是有限項(xiàng)無(wú)窮小量的代數(shù)和，且

，則當(dāng)時(shí)，是時(shí)關(guān)于的階無(wú)窮小量。

例1 問(wèn)當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小量

是關(guān)于的幾階無(wú)窮小量？

解，

，所以，時(shí)

是關(guān)于的階無(wú)窮小量。

方法二(導(dǎo)數(shù)判斷法)

如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，且()但，則當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的階無(wú)窮小量。

證明 由羅必大法則

所以，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的階無(wú)窮小量。

例2 確定當(dāng)時(shí)是關(guān)于的幾階無(wú)窮?。?/p>

解記，則;

，;，;

，，所以是關(guān)于的階無(wú)窮小量。

方法三、(馬克勞林公式法)

如果是有限個(gè)同階無(wú)窮小量的代數(shù)和，則將的每個(gè)無(wú)窮小量用馬克勞林公式展開(kāi)，展到合并同類項(xiàng)后首次出現(xiàn)系數(shù)不為零的項(xiàng)為止，按這種要求，如果其中某一項(xiàng)需要展到項(xiàng)，則在這項(xiàng)的后面，要加上這項(xiàng)的高階無(wú)窮小．這種方法還經(jīng)常要利用、、、、的皮亞諾形式的馬克勞林公式。

例3

，

所以是關(guān)于的階無(wú)窮小量。

如果用馬克勞林展開(kāi)并合并同類項(xiàng)后仍然含有同階無(wú)窮小量的和差，那么，每個(gè)無(wú)窮小量應(yīng)多展一項(xiàng)。

例4 判斷是關(guān)于的幾階無(wú)窮?。?/p>

錯(cuò)誤的做法

。

因?yàn)樽詈蟮挠?jì)算結(jié)果含有兩個(gè)同階無(wú)窮小量的差，所以，還是無(wú)法判斷原無(wú)窮小量的階數(shù)。

正確做法如下:

。

所以是關(guān)于的二階無(wú)窮小量。

3 無(wú)窮小量階數(shù)的應(yīng)用

如果未定式的分子和分母是有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和，則用羅必大法則計(jì)算這類極限時(shí)，求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程必定很復(fù)雜，以下介紹應(yīng)用無(wú)窮小量階數(shù)計(jì)算這類復(fù)雜未定式的方法。

定義2 在某一變化過(guò)程中，是個(gè)不同階數(shù)的無(wú)窮小量，如果是其余各無(wú)窮小量的低階無(wú)窮小量，則稱為無(wú)窮小量的主要部分，簡(jiǎn)稱為的主部。

例5 當(dāng)時(shí)，的主要部分是．

例6 當(dāng)時(shí)，因是關(guān)于的三階無(wú)窮小量，所以

的主要部分是。

如果一個(gè)分式的分之與分母分別是有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和，則該分式的極限等于分子與分母主要部分比值的極限。

例7。

解 因時(shí)，，，所以，

，

例8

解，因是關(guān)于的一階無(wú)窮小量，所以，

．

例5

．

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué):上冊(cè)．5版．2011:56—59．北京:高等教育出版社．

[2]段文喜編著．考研數(shù)學(xué):上冊(cè)．2011:12—19．廣東:暨南大學(xué)出版社.